Une petite limite

[Bleyblue]

Bonjour,

Je cherche la valeur de la limite :



J'ai essayé sur plusieurs chemins différents ((x,0), (0,y),(x,x²),(x,mx), ...) et ça me donne toujours zéro donc je conjecture que la valeur est zéro et je dois démontrer.

J'ai fais ça comme ça mais je ne sais pas si ça passe :

La distance entre les valeurs de la fonction et le point zéro vaut :



et :



D'autre part :

(car y² positif ou nul)

(en prenant la racine des deux membres qui sont tous deux positifs ou nuls)

(car |y| positif ou nul)

(pour tout (x,y) différent de (0,0))

Comme :

et

par application du théorème du coinçage (ou du sandwich ou de l'étau ou des gendarmes, c'est comme vous voulez) :



Ca marche ça où pas ?

merci

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Oui, ça marche. Néanmoins, dans ce problème, tu peux faire un peux plus simple, en disant que si x est non nul, alors
, ce que tu vois facilement en divisant par x en haut et en bas.
Si x est nul, c'est évidemment vrai. Tu conclus comme tu le fais.
D'ailleurs, je n'ai fait que réécrire la même chose que toi, sauf que je fais ressortir que ta fonction peut s'écrire comme une fonction de y/x. Tu verras qu'en général, si tu peux faire ça, cette méthode marche bien pour prouver la continuité, ou d'éventuelles discontinuités.

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rvz

[Bleyblue]

Ah d'accord. Je me demande un peu vers quoi je vais comme ça ... parcequ'a première vue il s'agit d'une fonction relativement simple et ça a quand même pris quelques lignes pour montrer la réponse.
Si je devais calculer une limite d'une fonctions plus compliquées avec un cas d'indétermination ? Ici ça a marché parceque j'ai facilement pu encadrer la fonction mais ça n'ira pas touours ...

merci

[invite6b1e2c2e]

Eh oui.

Cela dit, je ne vois pas de manière plus générales de faire ça. Pour ce genre de questions, c'est un peu du cas par cas. C'est pour ça que les fonctions holomorphes, c'est mieux

__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ca veut dire quoi holomorphe ?
(il va faloir que je trouve un document qui récapitule toutes les défintions avec des termes en "morphes" (holomorphe, isomorphe, automorphe, ...) parque ce que j'en rencontre partout et le seul que j'ai rencontré dans le cadre de mes cours c'est isomorphe)

merci

[invite6b1e2c2e]

Pour le coup, holomorphe, c'est un peu différent des autres.

Je fais vite une liste des "morphes" que je connais :

Algèbre
-isomorphe/isme (en général en algèbre) : 2 ensembles structurées (groupes, espaces vectoriels, anneaux, corps, etc) dont les structures se correspondent. Ex : Isomorphisme de groupe, isomorphisme d'espaces vectoriels, etc

- automorphe/isme : Un seul ensemble structuré, dont la structure est conservée via une application qui conserve ladite structure. En gros, un automorphisme, c'est un isomorphisme qui part d'un ensemble E et arrive dans le même ensemble E.

Analyse réélle :
- homéomorphes : deux ouverts U et V sont homéomorphes s'il existe une application f continue, bijective, à réciproque continue.

- C^k difféomorphes : Pareil que précédemment, mais f doit être C^k et sa réciproque aussi.

Analyse complexe :
-holomorphe : Dérivable au sens complexe. Plein de propriétés sympathiques, comme être développable en série entière en chaque point de l'intérieur de son ensemble de définition.

- méromorphe : dérivable au sens complexe sauf en un certain nombre de points.

Je dois en oublier plein, mais c'est ceux qui me viennent comme ça.

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rvz

[invitedf667161]

Marrant, j'en trouve pas d'autres des "morphes" ...

[Bleyblue]

oh c'est chouette ce résumé rvz, merci beaucoup
(sinon je n'ai encore jamais vraiment fait d'analyse complexe)

[Bleyblue]

Tiens des fonction réelles à valeurs réelles injectives continues sur leur domaine mais à la réciproque non continue, ça existe ça ? J'ai essayé d'en trouver mais je ne vois pas

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Des idées en vrac (je me restreins à une fonction qui vérifie ce que tu dis sur un intervalle) :
f Fonction continue injective => f strictement monotone.
g strictement monotone => g continue sauf sur un ensemble au plus dénombrable de points où il pourrait y avoir des sauts.

Du coup, je pense que des fonctions f qui vérifient ce que tu dis ne vont pas exister.

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rvz

[Bleyblue]

D'accord.

Et dans ta défintion d'homéomorphe tu précises "a réciproque continue". Il est existe donc des bijections :



(|A| = |B|)

admettant une réciproque non continue ?

merci

p.s. : je ne sais pas ce qui se passe avec le code latex ...

[invite6acfe16b]

Tiens des fonction réelles à valeurs réelles injectives continues sur leur domaine mais à la réciproque non continue, ça existe ça ? J'ai essayé d'en trouver mais je ne vois pas

Salut,

Je n'ai pas d'exemple à domaine dans R, mais, l'application qui va du cercle dans l'intervalle [0,2Pi[ donnée par est bijective continue, mais pas de réciproque continue.

Edit : Est-ce que c'est seulement moi, ou est-ce que le LaTex n'apparait pas ?

[invite6acfe16b]

Comme le latex n'apparait pas et que je pense que c'est le cas de tout le monde, je réécris mon message précédent :

Je n'ai pas d'exemple à domaine dans R, mais, l'application qui va du cercle S^1 dans l'intervalle [0,2Pi[ qui envoie un point du cercle sur son angle est bijective continue, mais pas de réciproque continue.

Edit : Est-ce que c'est seulement moi, ou est-ce que le LaTex n'apparait pas ?

[invite6b1e2c2e]

Il semble que LateX soit un peu mort en ce moment.

Pour répondre à Bleyblue, en dimension strictement supérieur à 1, je pense qu'il peut y avoir des problèmes. Par exemple, tu prends X le demi espace de R^2 (pareil que C avec Im(z) >0), auquel tu ajoutes la demi droite R+*. Alors la fonction z -> z^2 est bijective de X dans C, continue, mais la réciproque n'est pas continue. En effet, si tu te places par exemple au point 1 (ou (1,0) si tu vois ça comme R^2), alors tu vas être bien embêté pour trouver un voisinage où tu peux définir une réciproque continue.

Mais en dimension 1, je persiste à penser que ça n'existe pas, à cause de ces considérations de monotonie. Du coup, je serais très curieux de voir le contre-exemple proposé par Sylvestre : En attendant que le latex réapparaisse :S ...

__
rvz

[invite005f4666]

Marrant, j'en trouve pas d'autres des "morphes" ...

Salut, et si, j'en ai un autre : anthropomorphe !

Bon, pardon aux modos, c'était juste pour blaguer !

J.Bray