Help me : tan(x) = x

[Kyan]

j'ai un problème je ne comprend pas celà

n entier naturel
tan(x) = x
unique solution sur ]pi/2+npi; pi / 2 + (n+1) pi

on notera xn cette solution
monterr que (Xn ) est une suite croissante tenvdant vers + infini

[shokin]

Et si tu étudiais la fonction f(x)=tan(x)

Shokin

[Kyan]

ba le blem c que je suis un vrai quiche en math donc je comprend vraiment rien :s

[shokin]

Soit la fonction f(x)=tan(x)

f(x) = tan(x)
f'(x) = 1 + tan(x)^2 = 1/[cos(x)^2]

Soit la fonction g(x)=x

g(x)=x
g'(x)=1

Quand f'(x)=g'(x) ?
1 + tan(x)^2 =1
tan(x)^2 = 0
tan(x) = 0
x=0+kpi (avec k entier)

Pour tout x différent de 0 et compris dans [-pi/2 ; pi/2], tan(x)^2 >0 donc f'(x) > g'(x). Donc sur cet intervalle, il existe un et un seul point d'intersection entre f et g, et celui-ci est (0;0).

NB : raisonnement à peu près similaire dans les autres intervalles, mais le point d'intersection est différent.

Tu peux représenter, dessiner, graphiquement f(x) et g(x) pour t'aider.

Shokin

[MagAxX]

En appliquant le même raisonnement à l'équation :

tan(x)=2x ....

on trouve pour f'(x)=g'(x)

1+tan²(x)=2
tan²(x)=1
tan(x)=1 ...... donc x=0.7853981634

Or, on voit graphiquement que le résultat se situe autour de 1.16 ..... Comment faire

[Bloud]

En appliquant le même raisonnement à l'équation :

tan(x)=2x ....

on trouve pour f'(x)=g'(x)

1+tan²(x)=2
tan²(x)=1
tan(x)=1 ...... donc x=0.7853981634

Or, on voit graphiquement que le résultat se situe autour de 1.16 ..... Comment faire

Le x que tu trouves est solution de l'équation qui établit l'égalité entre les nombres dérivés mais pas entre les réels f(x) et g(x). En effet, f'(x)=g'(x) n'implique pas f(x)=g(x). C'est pour cela que tu ne trouves pas le même x. Conclusion : le x qui est bon est celui que tu "vois" sur ton graphique.

[Daniel75]

Bonsoir ,



N'importe quoi !


Si tan(x) = 1 , cela signifie tout simplement que : x = 45° , x , étant l'angle formé par l'abscisse représentant l'axe des cosinus et le rayon du cercle trigonométrique qui est égal à l'unité ( théorème de pythagore ) .

Il y a de la révision dans l'air , j'en ai bien l'impression !



A plus tard

[GuYem]

Bonsoir ,



N'importe quoi !


Si tan(x) = 1 , cela signifie tout simplement que : x = 45° , x , étant l'angle formé par l'abscisse représentant l'axe des cosinus et le rayon du cercle trigonométrique qui est égal à l'unité ( théorème de pythagore ) .

Il y a de la révision dans l'air , j'en ai bien l'impression !



A plus tard

Salut Daniel

Encore une intervention colorée

Ici le problème n'est pas de résoudre tan(x)=1 mais tan(x)=x.

De plus tu n'as donné qu'une solution parmi l'infinité possible de solutions de tan(x)=1. Que penses-tu de x=225°, et de x=405° ?

Les solutions de tan(x)=1 sont x=pi/4 modulo[pi].

[Père Occide]

Bonsoir.
Pour ce problème, on peut étudier la fonction f :
f(x) = tan x - x sur l'intervalle ]pi/2 + npi , pi/2 + (n + 1)pi[, n entier relatif.
On calcule donc f' (facile avec les formules usuelles), on en étudie le signe sur cet intervalle. On construit ensuite le tableau de variations. On regarde alors le SENS DE VARIATON et le SIGNE de f sur l'intervalle choisi.
Rappel : Si une fonction est strictement monotone sur I et qu'elle change de signe sur I, alors il existe x₀, appartenant à I, tel que
f(x₀) = 0.
Au boulot et à plus tard pour les questions suivantes.

[Boobooboo]

La hprase qu'on m'obligeai à mettre était:
Comme f (donc ici tan(x)-x) est strictement croissante sur l'intervalle [I;J], alors f réalise une bijection de [I;J] dans [f(I);f(J)] (à calculer...). Comme a appartient à [f(I);f(J)] il existe une seule solution à l'équation f(x)=a dans l'intervalle [I;J].

Après tu calcules f((J-I/)2) pour voir quel valeur tu obtiens... si 0 est dans l'intervalle [[f(I);f((J-I/)2)] tu redivise cet intervalle par deux et ainci de suite jusqu'a s'apporocher de la réponse le plus possible... (dichotomie)

[Daniel75]

Bonsoir , Guyem ,

Salut Daniel

Encore une intervention colorée

Ici le problème n'est pas de résoudre tan(x)=1 mais tan(x)=x.

De plus tu n'as donné qu'une solution parmi l'infinité possible de solutions de tan(x)=1. Que penses-tu de x=225°, et de x=405° ?

Les solutions de tan(x)=1 sont x=pi/4 modulo[pi].

Oui , j'ai bien compris qu'il ne s'agissait pas de résoudre l'équation : tan(x) = 1 !

Je ne faisais que commenter le résultat final de : Bloud , qui , de la manière dont il a écrit ce dernier , prête à confusion .
En effet , la tangente d'un angle (x) ne peut pas être égal à l'angle (x) lui-même !

Pour ce qui est de la multitude de solution de l'équation : tan(x) = 1 , soit : x = 45° ou pi/4 , bien évidemment , puisque la fonction tangente comme la fonction cotangente sont périodiques sur : k.pi , alors que les fonctions : sinus et cosinus sont elles périodiques sur : 2k.pi !


A plus tard

[Ilùvatar]

Oui c'est sur que la solution la plus simple semble être de poser la fonction f(x)=tan(x)-x, continue.

Il s'agit alors de montrer que cette fonction s'annule sur chaque intervalle ]n*Pi-Pi/2,n*Pi+Pi/2[

On dérive et on trouve que la fonction est strictement croissante sur cet intervalle (même si f'(n*Pi)=0).

En remarquant alors que lim(x->n*Pi-Pi/2)f(x)=lim(x->n*Pi-Pi/2)tan(x)=-infini et lim(x->n*Pi+Pi/2)f(x)=lim(x->n*Pi+Pi/2)tan(x)=+infini, et sachant que f est continue, on en déduit par le théorème des valeurs intermédiaires que f s'annule au moins une fois sur l'intervalle considéré. L'unicité s'en déduit grâce à la monotonie.

Enfin, une fois que tu sais que (Xn) appartient à ]n*Pi-Pi/2,n*Pi+Pi/2[, tu en déduis facilement la limite ...

Par contre Boobooboo, pour quoi faire une dichotomie? Si tu as que f varie de -infini à +infini tu sais déjà que a=0 y est inclus.

Bon salut

[Bloud]

Je ne faisais que commenter le résultat final de : Bloud , qui , de la manière dont il a écrit ce dernier , prête à confusion .
En effet , la tangente d'un angle (x) ne peut pas être égal à l'angle (x) lui-même !

Ah bon ? tan 0 = ? Si je ne me trompe pas, le résultat est 0 et 0=(supense...)0!!! Je suis désolé mais je crois bien que l'équation "tan (x) = x" a même une infinité de solution (il suffit de tracer les courbes représentatives des fonctions tan et identité pour s'en convaincre).

Amicalement, Bloud.

[Ilùvatar]

Exactement, surtout que le but de l'énoncé est de prouver qu'il y a justement une infinité de valeurs

D'ailleurs sur quel argument repose l'affirmation gratuite que la tangente d'un angle ne peut pas être égale à l'angle lui-même?

[Kyan]

Merci beaucoup sa m'aide très fortement !!!!!! Jvous aimes !!!