Help me : tan(x) = x

[invite94860396]

j'ai un problème je ne comprend pas celà

n entier naturel
tan(x) = x
unique solution sur ]pi/2+npi; pi / 2 + (n+1) pi

on notera xn cette solution
monterr que (Xn ) est une suite croissante tenvdant vers + infini
-----

[shokin]

Et si tu étudiais la fonction f(x)=tan(x)

Shokin

[invite94860396]

ba le blem c que je suis un vrai quiche en math donc je comprend vraiment rien :s

[shokin]

Soit la fonction f(x)=tan(x)

f(x) = tan(x)
f'(x) = 1 + tan(x)^2 = 1/[cos(x)^2]

Soit la fonction g(x)=x

g(x)=x
g'(x)=1

Quand f'(x)=g'(x) ?
1 + tan(x)^2 =1
tan(x)^2 = 0
tan(x) = 0
x=0+kpi (avec k entier)

Pour tout x différent de 0 et compris dans [-pi/2 ; pi/2], tan(x)^2 >0 donc f'(x) > g'(x). Donc sur cet intervalle, il existe un et un seul point d'intersection entre f et g, et celui-ci est (0;0).

NB : raisonnement à peu près similaire dans les autres intervalles, mais le point d'intersection est différent.

Tu peux représenter, dessiner, graphiquement f(x) et g(x) pour t'aider.

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4e552635]

En appliquant le même raisonnement à l'équation :

tan(x)=2x ....

on trouve pour f'(x)=g'(x)

1+tan²(x)=2
tan²(x)=1
tan(x)=1 ...... donc x=0.7853981634

Or, on voit graphiquement que le résultat se situe autour de 1.16 ..... Comment faire

[Bloud]

En appliquant le même raisonnement à l'équation :

tan(x)=2x ....

on trouve pour f'(x)=g'(x)

1+tan²(x)=2
tan²(x)=1
tan(x)=1 ...... donc x=0.7853981634

Or, on voit graphiquement que le résultat se situe autour de 1.16 ..... Comment faire

Le x que tu trouves est solution de l'équation qui établit l'égalité entre les nombres dérivés mais pas entre les réels f(x) et g(x). En effet, f'(x)=g'(x) n'implique pas f(x)=g(x). C'est pour cela que tu ne trouves pas le même x. Conclusion : le x qui est bon est celui que tu "vois" sur ton graphique.

[invitef4d4c95a]

Bonsoir ,



N'importe quoi !


Si tan(x) = 1 , cela signifie tout simplement que : x = 45° , x , étant l'angle formé par l'abscisse représentant l'axe des cosinus et le rayon du cercle trigonométrique qui est égal à l'unité ( théorème de pythagore ) .

Il y a de la révision dans l'air , j'en ai bien l'impression !



A plus tard

[GuYem]

Bonsoir ,



N'importe quoi !


Si tan(x) = 1 , cela signifie tout simplement que : x = 45° , x , étant l'angle formé par l'abscisse représentant l'axe des cosinus et le rayon du cercle trigonométrique qui est égal à l'unité ( théorème de pythagore ) .

Il y a de la révision dans l'air , j'en ai bien l'impression !



A plus tard

Salut Daniel

Encore une intervention colorée

Ici le problème n'est pas de résoudre tan(x)=1 mais tan(x)=x.

De plus tu n'as donné qu'une solution parmi l'infinité possible de solutions de tan(x)=1. Que penses-tu de x=225°, et de x=405° ?

Les solutions de tan(x)=1 sont x=pi/4 modulo[pi].

[Père Occide]

Bonsoir.
Pour ce problème, on peut étudier la fonction f :
f(x) = tan x - x sur l'intervalle ]pi/2 + npi , pi/2 + (n + 1)pi[, n entier relatif.
On calcule donc f' (facile avec les formules usuelles), on en étudie le signe sur cet intervalle. On construit ensuite le tableau de variations. On regarde alors le SENS DE VARIATON et le SIGNE de f sur l'intervalle choisi.
Rappel : Si une fonction est strictement monotone sur I et qu'elle change de signe sur I, alors il existe x₀, appartenant à I, tel que
f(x₀) = 0.
Au boulot et à plus tard pour les questions suivantes.

[invite95753ccc]

La hprase qu'on m'obligeai à mettre était:
Comme f (donc ici tan(x)-x) est strictement croissante sur l'intervalle [I;J], alors f réalise une bijection de [I;J] dans [f(I);f(J)] (à calculer...). Comme a appartient à [f(I);f(J)] il existe une seule solution à l'équation f(x)=a dans l'intervalle [I;J].

Après tu calcules f((J-I/)2) pour voir quel valeur tu obtiens... si 0 est dans l'intervalle [[f(I);f((J-I/)2)] tu redivise cet intervalle par deux et ainci de suite jusqu'a s'apporocher de la réponse le plus possible... (dichotomie)

[invitef4d4c95a]

Bonsoir , Guyem ,

Salut Daniel

Encore une intervention colorée

Ici le problème n'est pas de résoudre tan(x)=1 mais tan(x)=x.

De plus tu n'as donné qu'une solution parmi l'infinité possible de solutions de tan(x)=1. Que penses-tu de x=225°, et de x=405° ?

Les solutions de tan(x)=1 sont x=pi/4 modulo[pi].

Oui , j'ai bien compris qu'il ne s'agissait pas de résoudre l'équation : tan(x) = 1 !

Je ne faisais que commenter le résultat final de : Bloud , qui , de la manière dont il a écrit ce dernier , prête à confusion .
En effet , la tangente d'un angle (x) ne peut pas être égal à l'angle (x) lui-même !

Pour ce qui est de la multitude de solution de l'équation : tan(x) = 1 , soit : x = 45° ou pi/4 , bien évidemment , puisque la fonction tangente comme la fonction cotangente sont périodiques sur : k.pi , alors que les fonctions : sinus et cosinus sont elles périodiques sur : 2k.pi !


A plus tard

[invite578a92be]

Oui c'est sur que la solution la plus simple semble être de poser la fonction f(x)=tan(x)-x, continue.

Il s'agit alors de montrer que cette fonction s'annule sur chaque intervalle ]n*Pi-Pi/2,n*Pi+Pi/2[

On dérive et on trouve que la fonction est strictement croissante sur cet intervalle (même si f'(n*Pi)=0).

En remarquant alors que lim(x->n*Pi-Pi/2)f(x)=lim(x->n*Pi-Pi/2)tan(x)=-infini et lim(x->n*Pi+Pi/2)f(x)=lim(x->n*Pi+Pi/2)tan(x)=+infini, et sachant que f est continue, on en déduit par le théorème des valeurs intermédiaires que f s'annule au moins une fois sur l'intervalle considéré. L'unicité s'en déduit grâce à la monotonie.

Enfin, une fois que tu sais que (Xn) appartient à ]n*Pi-Pi/2,n*Pi+Pi/2[, tu en déduis facilement la limite ...

Par contre Boobooboo, pour quoi faire une dichotomie? Si tu as que f varie de -infini à +infini tu sais déjà que a=0 y est inclus.

Bon salut

[Bloud]

Je ne faisais que commenter le résultat final de : Bloud , qui , de la manière dont il a écrit ce dernier , prête à confusion .
En effet , la tangente d'un angle (x) ne peut pas être égal à l'angle (x) lui-même !

Ah bon ? tan 0 = ? Si je ne me trompe pas, le résultat est 0 et 0=(supense...)0!!! Je suis désolé mais je crois bien que l'équation "tan (x) = x" a même une infinité de solution (il suffit de tracer les courbes représentatives des fonctions tan et identité pour s'en convaincre).

Amicalement, Bloud.

[invite578a92be]

Exactement, surtout que le but de l'énoncé est de prouver qu'il y a justement une infinité de valeurs

D'ailleurs sur quel argument repose l'affirmation gratuite que la tangente d'un angle ne peut pas être égale à l'angle lui-même?

[invite94860396]

Merci beaucoup sa m'aide très fortement !!!!!! Jvous aimes !!!

[invitef4d4c95a]

Bonsoir ,

Ah bon ? tan 0 = ? Si je ne me trompe pas, le résultat est 0 et 0=(supense...)0!!! Je suis désolé mais je crois bien que l'équation "tan (x) = x" a même une infinité de solution (il suffit de tracer les courbes représentatives des fonctions tan et identité pour s'en convaincre).
Amicalement, Bloud.

Le résultat que tu donnes est un cas particulier comme il en existe beaucoup en mathématique !
Toutefois , le : x , qui est entre paranthèses est un angle et son unité est le : " degré " , alors que le : " x " qui est de l'autre côté de l'égalité est une mesure algébrique de cet angle et n'a pas d'unité !
C'est la raison pour laquelle tu ne peux pas exprimer l'égalité ci-dessus de cette manière !
En effet , si je reprends ton raisonnement , cela signifierait que , par exemple :

tan 45° = 45°

ce qui est complètement absurde , tu le reconnaîtera bien , j'espère !

Par conséquent , je pense que le problème a été mal posé ou bien mal retranscrit , tout simplement !


A plus tard

[invitef4d4c95a]

Bonsoir ,

Exactement, surtout que le but de l'énoncé est de prouver qu'il y a justement une infinité de valeurs

D'ailleurs sur quel argument repose l'affirmation gratuite que la tangente d'un angle ne peut pas être égale à l'angle lui-même?

Ce n'est pas le fait de démontrer qu'il y a une infinité de solution qui me dérange , c'est la manière dont a été rédigé l'énoncé du problème qui me choc !

L'affirmation sur laquelle repose mon argument se trouve être les définitions même , d'un angle et de sa mesure algébrique !

Ce n'est pas moi qui les ai inventé !
Ce sont des définitions de géométrie et de trigonométrie !

A plus tard

[moijdikssékool]

j'aime redonner la signification graphique de tan

[GuYem]

Je crois qu'il est aussi bon de rappeler l'allure de la fonction tangente tracée sur TOUT son domaine de définition. Ici c'est la périodicité qui fait tout le boulot.

Tracez la droite y=x sur ce graphe et vous voyez immédiatement apparaitre le résultat : tan(x) = x admet une infinitité de solution chacune dans un intervalle du type ]-pi/2 + kpi , pi/2 + kpi [. Ces solutions tendent vers l'infini.

http://www.efunda.com/math/trig_func...s/tan_plot.gif

[invitef4d4c95a]

Bonjour ,

j'aime redonner la signification graphique de tan

Absolument ! Par conséquent , on voit bien qu'un angle n'a rien à voir avec une tangente qui est le rapport entre la mesure algébrique du côté opposé à l'angle : x et de son côté adjacent !


A plus tard

[invitef4d4c95a]

Bonjour ,

Je crois qu'il est aussi bon de rappeler l'allure de la fonction tangente tracée sur TOUT son domaine de définition. Ici c'est la périodicité qui fait tout le boulot.

Tracez la droite y=x sur ce graphe et vous voyez immédiatement apparaitre le résultat : tan(x) = x admet une infinitité de solution chacune dans un intervalle du type ]-pi/2 + kpi , pi/2 + kpi [. Ces solutions tendent vers l'infini.http://www.efunda.com/math/trig_func...s/tan_plot.gif

Oui , mais ce que tu as représenté est la fonction : tan(x) = f(x) et non : tan(x) = x , qui à mon sens n'en a aucun !


A plus tard

[Bloud]

Bonsoir ,



Le résultat que tu donnes est un cas particulier comme il en existe beaucoup en mathématique !
Toutefois , le : x , qui est entre paranthèses est un angle et son unité est le : " degré " , alors que le : " x " qui est de l'autre côté de l'égalité est une mesure algébrique de cet angle et n'a pas d'unité !
C'est la raison pour laquelle tu ne peux pas exprimer l'égalité ci-dessus de cette manière !
En effet , si je reprends ton raisonnement , cela signifierait que , par exemple :

tan 45° = 45°

ce qui est complètement absurde , tu le reconnaîtera bien , j'espère !

Par conséquent , je pense que le problème a été mal posé ou bien mal retranscrit , tout simplement !


A plus tard

Salut !
Premièrement, je donne un cas particulier. Cependant, si je raisonne comme toi, dans le cas présent, il y a une infinité de cas particuliers.
Deuxièmement, je ne vois pas pourquoi tu me parles d'unité. Quand tu veux résoudre l'équation "x²=x" par exemple, est-ce que tu te poses cette question ? Pourtant, imaginons que x soit une distance en mètre. x² est donc en m². Par conséquent, si je suis ton raisonnement, mon équation est complètement absurde parce qu'il n'y a pas la même unité ? Pour moi, quand je résous une équation je cherche une égalité de valeurs sans me préocupper des unités. Au passage, on utilise le plus souvent le radian en trigo et le radian n'est pas une unité (en effet, sinon pourquoi le négligerait-on lorsque l'on fait une analyse dimensionnelle ?).

Ciao

[invitef4d4c95a]

Bonsoir ,

Salut !
Premièrement, je donne un cas particulier. Cependant, si je raisonne comme toi, dans le cas présent, il y a une infinité de cas particuliers.
Deuxièmement, je ne vois pas pourquoi tu me parles d'unité. Quand tu veux résoudre l'équation "x²=x" par exemple, est-ce que tu te poses cette question ? Pourtant, imaginons que x soit une distance en mètre. x² est donc en m². Par conséquent, si je suis ton raisonnement, mon équation est complètement absurde parce qu'il n'y a pas la même unité ? Pour moi, quand je résous une équation je cherche une égalité de valeurs sans me préocupper des unités. Au passage, on utilise le plus souvent le radian en trigo et le radian n'est pas une unité (en effet, sinon pourquoi le négligerait-on lorsque l'on fait une analyse dimensionnelle ?).

Ciao

L'équation : x² = x , n'a absolument rien à voir avec l'égalité que tu as écris , soit : tan(x) = x !
En effet , dans le premier cas , nous avons a résoudre une équation du second degré à deux inconnus .
Dans le deuxième cas , d'un côté de l'égalité tu as un terme qui représente la mesure algébrique d'un angle et de l'autre , un terme qui représente l'angle en question !
Comment peux-tu résoudre une telle égalité !?

C'est un peu comme si tu disais qu'une orange est égale a son jus !

Dans l'exemple que tu donnes , imaginant que , x² : représente des mètres carrés et que , x : représente des mètres , ce n'est pas l'équation à résoudre qui est absurde mais le fait que tu dises qu'une surface est égale à une distance !

Oui , on utilise plus souvent le radian en trigonométrie que le degré mais là n'est pas le problème !

Soit , alors disons que pour toi :

tan(pi/4) = pi/4

Cela ne change rien à l'affaire , puisqu'il est toujours incorrect d'écrire une telle égalité !

Pour information et si mes souvenirs sont toujours exacts :

1 radian = 57° 17' 45"

A plus tard

[martini_bird]

Salut,

Daniel75, ton interprétation est correcte dans la mesure où tu restreint l'intervalle de l'angle à [0, 2[ (où à [0°, 360°[ si tu préfères). Cependant on peut définir la tangente sur IR en comptant les tours: par exemple un angle de 720° n'est pas la même chose qu'un angle de 360°.

Du coup l'équation tan x=x admet une infinité de solutions.

1 radian = 57° 17' 45"

Ceci n'est qu'une approximation.

Cordialement.

[invitef4d4c95a]

Bonsoir ,

Salut,

Daniel75, ton interprétation est correcte dans la mesure où tu restreint l'intervalle de l'angle à [0, 2[ (où à [0°, 360°[ si tu préfères). Cependant on peut définir la tangente sur IR en comptant les tours: par exemple un angle de 720° n'est pas la même chose qu'un angle de 360°.

Du coup l'équation tan x=x admet une infinité de solutions.

Ceci n'est qu'une approximation.
Cordialement.

- IR ?

- Oui , bien sûr que c'est une approximation mais là n'était pas mon propos !
Ce que je voulais faire comprendre à : Bloud , c'est qu'il y a une relation entre les degrés et les radians et désolé de te contredire , Bloud , mais le radian est bien une unité de mesure d'un angle !


A plus tard

[martini_bird]

- IR ?

C'est l'ensemble des nombres réels, la droite réelle, les nombres que tu connais et tous les nombres que tu ne connais pas aussi...

Bref je voulais dire que la tangente de ()° c'est quelque chose de bien défini aussi.

[invitef4d4c95a]

Gnéééééé !?

[invitea2eab75e]

Euhhh, la j'avoue je suis embrouillé par le nombre de post qui se contredise Au final quel est la bonne méthode.
Pour ce qui est de l'histoire tan45°=45, déja nous n'utilisons plus les degrés mais les radians, d'autre par je crois pas qu'il faille prendre en considération l'unité dans une résolution d'équation, il ne faut s'occuper que de x et de sa valeur.
Vous rentrez dans des débats qui me semble t-il sont superflu, bref la méthode la mieux adapter a mon énoncé est celle de bloud ??
Merci pour votre aide
Winphoenix @+

[GuYem]

Réponse à ta question : oui.

Je me rappelle de ce topic, et il est vrai qu'il avait quelque peu (pour ne pas dire beaucoup) dévié.