(n-1)n(n+1), divisible par 3

[invite0931ef5e]

Salu à vous, comment vous montreriez ça (n-1)n(n+1) avec n un entier naturel est dans tou les cas divisible par 3 ??
(exo de spé math de terminal avec 2 étoiles) facile normalement lol

[invite9de6d49f]

pour qu'un nombre soit divisible par 3, il faut que la somme des chiffres qui le composent soit divisible par 3.
je te laisse en déduire la démonstration à ton problème...

[invite9de6d49f]

en fait je t'induis un peu en erreur, l'explication est plus simple.
un nombre quelconque c'est la somme algébrique d'un nombre divisible par 3 + un nombre<3
donc...

[invite0931ef5e]

jtrouve pas pour le moment, est ce que tu pourrai me dire, si tu me dis ça parce que tu connais la demonstration ou si c'est juste une idée que t'as pas vérifié ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9de6d49f]

ça fait longtemps que je n'ai pas posé de démonstration mais ça me semble évident. j'aimerais que tu réfléchisse un peu avant de te l'expliquer.
pour que ce nombre soit divisible par 3 il faut que l'un de ses facteur le soit.
et regarde ce que je t'ai écrit précédemment.
que peux tu en conclure?

[invite9de6d49f]

si ça peut t'aider pose le problème comme ça:
n(n+1)(n+2)

[invite0931ef5e]

c bon j ai trouvé , on met n en facteur ca donne n((1-1/n)+1+(1+1/n)) ca donne n(3) merci pour les conseil bonne journée

[invite9de6d49f]

bonne journée à toi aussi

[invite9de6d49f]

attends c'est faux ce que tu as écrit j'ai lu trop vite ta démo

[invited78e0bbb]

moi j'aurais dit que (n-1) n et n+1 sont trois nombres consecutifs donc forcément l'un d'entre eux est divisible par trois donc le produit et également divisible par trois

[invite9de6d49f]

c'est l'explication à laquelle je pensais moi aussi

[invite0931ef5e]

okay, c'est surement cette méthode qu'ils attendent elle est plus clean lol mais la mienne marche aussi Widget jpe developer > n = n*1 et n+1 = n(1+1/n) et n-1 = n(1-1/n)
donc on a n(1+(1+1/n)+(1-1/n)) = 3n

[invite9de6d49f]

non tu mélange multipliaction et addition.

[invite0931ef5e]

ok compris (I'm a n00b lol)

[invite9de6d49f]

fais quand meme gaffe à ne pas faire ce genre d'erreur au bac.
bon courage pour tes révisions

[invite015cb473]

Salut,
pour faire ça proprement, tu peux développer 3 cas en posant n=3p+1, n=3p+2 puis n=3p (trivial celui là). Tu obtiens n^3-n à développer puis à factoriser par 3. Et avec une récurrence sur 3 rangs, ça sera bien rigoureux.
Parce que même si l'explication de Widjet est évidemment la bonne et qu'on se dit alors "mais bien sûr ça se voit", c'est ce qui paraît le plus évident à expliquer à l'oral qui est le plus dur à mettre au propre... Enfin je trouve.

Cordialement,
Ecthelion

[invite0931ef5e]

J'ai fais les 3 cas, que des facteur divisible par 3, bien vu
merci pour le complément

[invitec053041c]

Je ne vois pas pourquoi vous vous compliquez la vie ?!
Sur trois entiers consécutifs, un des 3 est forcément divisible par 3, donc le produit aussi.

[invite9de6d49f]

ecthelion a parfaitement raison.
meme si ça semble évident, on ne peut pas répondre à une question simplement en répétant cette question.
et la récurence semble la démo la plus appropriée

[invitec053041c]

ecthelion a parfaitement raison.
meme si ça semble évident, on ne peut pas répondre à une question simplement en répétant cette question.
et la récurence semble la démo la plus appropriée

C'est pas simplement évident, c'est obligatoire!
Dans ce cas là pour démontrer une propriété chez les complexes, il faut pas oublier qu'un complexe c'est 2 réels, que les réels sont des limites de suites de rationnels, qui sont eux-même un quotient de deux entiers relatifs construits à partir de N, et là on revient aux fondamentaux du "compté de cailloux".
Faut pas exagérer.

[invited78e0bbb]

la méthode d'ecthellion est celle qu'il faut utiliser dans le cas général et qui marche tout le temps mais dans ce cas là je pense que dire que ce sont 3 nombres consécutifs suffit. c'est comme prouver qu'un nombre pair est divisible par 2.

[invite018d1711]

Donc bonjour =)
Je suis en 3ème et nous avons eu cette exercice dans un Dm ^^'

Donc voilà en gros j'ai compris pourquoi, mais je ne sais pas comment le démontrer =/
Et faire plein de calcul un peu partout sur la feuille ça va pas me rapporter beaucoup de point ^^'

Donc voilà si vous pouvez m'aider, sans me dire exactement comment faire ^^

merci =)


/!\ EDIT /!\ Désolé d'avoir fait un gros up x)

[invite3c51923e]

En troisième vous avez de l’arithmétique? WTF?
Ba relis le sujet en entier et tu trouvera les réponses.
Pour moi la meilleur restant de dire soit n=3p ou n=3p+1 ou n=3p+2.

(Meilleur dans le sens où celle avec le théorème de Fermat est relativement absurde car imo si l'on s'autorise d'utiliser ce théorème on s'autorise aussi de dire immédiatement "dans trois entiers consécutifs un est divisible par 3")

[pallas]

une démonstration simple
Comme n est un entier
ou n= 3k alors terminé
ou n=2k++1 alors n+1= 3k+2 et n+2 = 3k+3 donc terminé
ou n=3k+2 alors ... terminé

[invite51d17075]

une démonstration simple
Comme n est un entier
ou n= 3k alors terminé
ou n=2k++1 alors n+1= 3k+2 et n+2 = 3k+3 donc terminé
ou n=3k+2 alors ... terminé

ben oui , c'est le plus immédiat ( a la petite faute de frappe prèt sur la deuxième ligne )
faire intervenir fermat,c'est un peu prendre un marteau pour ecraser une mouche !
quand au raisonnement par recurrence , c'est le mode "pourquoi faire simple quand ...."

[invite0d3d440a]

Salut
J'ai eu la même question en cours de spécialité math en terminal, il faut en effet montrer que ce sont trois nombre consécutif , donc il y en a forcément un multiple de 3 , donc c'est divisible par 3 .

[invite018d1711]

J'ai pas tout compris...

[invitee27a8b07]

Si tu prends les nombres entiers dans l'ordre, tu auras un nombre multiple de 3, deux nombres qui ne sont pas multiples de 3, un multiple de 3, etc.

Il suffit de compter : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... (en gras, les multiples de 3).

n-1, n et n+1 sont trois entiers consécutifs, donc l'un d'eux est forcément un multiple de 3.

[invite018d1711]

Ah d'accord

Merci =)

[invite018d1711]

Donc me revoilà, désolé du double post =/

Donc en gros j'ai compris pourquoi, mais je n'arrive pas à le démontrer !

En gros voici l'exercice:


1) Choisir trois nombres entier consécutifs. Vérifier que leur somme est un multiple de 3.

2) Si on désigne n un nombre entier, comment se note le nombre entier qui le suit et celui qui le précède ?

3) Démontrer que la somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3.


Et voici ce que j'ai fait pour l'instant:

1) 11, 12 et 13. 11+12+13=36. 36/3=12.

2) n-1<n<n+1

3) n-1<n<n+1 est la même chose que 3n.

Or 3xn, quelque soit n , le résultat sera toujours divisible par 3.

Donc la somme de 3 nombres entier consécutifs est toujours divisible par 3.


Donc voilà, sauf que pour la 3, ça m'a pas l'air très clair =/
Pouvez-vous me dire si cela peut aller ?

Merci =)