A dormir debout!!!

[invite421bc1da]

Voilà la figure (fabriquée par mes propres soins ): il s'agit là d'un triangle isocèle rectangle de côté 16. Il faut déterminer combien de triangles isocèles rectangles comporte cette figure. J'aimerais que l'on me dise comment faire, parce que moi... . Merci d'avance.

Saladin le Grand.

++

EDIT: je vais poster l'image.

[invite421bc1da]

Voilà: il faut zoomer pour que les traits soient nets.

[invite7553e94d]

Salut,
petit indice, voici le nombre de triangles dans des sous triangles :



Bonne chance

[inviteea6fd0dc]

Bonsoir,

La suite du côté va de 1 à 16, l'incrément étant 1
La suite du nombre de triangles semblables associés démarre à 2 et est d'incrément 4

D'où une suite de d'incrément 4 de 2 à 62, dont la somme est 512.

Amicalement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7553e94d]

Bonsoir baguette,
ton message est particulièrement obscur ... Tu pourrais nous expliquer un peu plus en détail s'il-te-plait ?

Merci.

[invité576543]

Autre tableau, une manière différente, mais pas nécessairement contradictoire, de celle de prgasp de voir les choses




Au passage, ça donne 3 pour la "taille 1" et non pas 1 comme je l'avais écrit

Cordialement,

[invité576543]

Rectification...



Mais je peux encore me tromper

Cordialement,

[SunnySky]

Un extrait de mon tableau Excel

 Cliquez pour afficher

Est-ce que ça a du bon sens?

[invited9eee6d7]

Salut

Il y a 4 triangles isocèles dans un carré d'unité 1.

Nombre de carré de côté 1 :



Donc il y a triangles isocèles

EDIT : pour les petits parce que pour toutes les tailles, y'en a bien plus.

[SunnySky]

Évidemment, il faut trouver une tendance, mais je ne la vois pas tout de suite. De mon côté, sur la première ligne, je vois 3 triangles rectangles isocèles. Sur les deux premières lignes ensemble, j'en vois 15. Et là, ça se complique. je continue à chercher...

[SunnySky]

Bon, j'en ai oublié. Sur la deuxième ligne, j'arrive à 17, comme toi, prgasp77 (quoique je numérote les lignes différemment). Je comprends ton 8+6+2+1. Mais je bloque à ce niveau. Je n'arrive pas à trouver autant de triangles que tu n'en indiques par la suite. Pour la troisième ligne, je n'ai que 18+15+5+3+1 pour le moment. Le nombre de "petits" triangles me semble être donné par 2n2.

[mécano41]

Bonjour,

Je trouve 511 triangles rectangles isocèles.

Il me semble qu'en procédant ainsi on ne doit pas en oublier :

- je trace le triangle 16 cm x 16 cm : je note 1
- je trace la hauteur sur l'hypothénuse ce qui divise en deux nouveaux triangles : je note 2
- je trace la hauteur sur l'hypothénuse des ces deux triangles ce qui divise en quatre nouveaux triangles : je note 4
- je continue en constatant que le nombre de triangles créés double à chaque fois
- dans le même temps, le côté du triangle initial de 16 cm, est divisé en deux une fois sur deux seulement. Comme il faut que ce côté soit divisé par 16 à la fin, ce sera donc à la 8ème division et le nombre de triangles ajouté lors de cette division est soit 256.
-le nombre total de triangles est donc la somme des puissances de 2 de 1 à 8 soit 1+2+4+8+16+32+64+128+256 = 511

Cordialement

[SunnySky]

mécano41: je crois qu'il t'en manque beaucoup... entre autres, il faut compter celui qui est mis en évidence sur cette figure.

Si on ne compte que les petits triangles, ceux dont l'hypoténuse est formée par un seul segment vertical ou horizontal, on arrive à:
1-2
2-8 (2+6)
3-18 (2+6+10)
4-32 (2+6+10+14)
...

Dans chaque carré, il y en a 4, et à chaque extrémité de ligne il y en a 2. Une ligne x ajoute 4x-2 petits triangles (puisqu'il manque deux triangles pour former x carrés).

Cette série peut être décrite par 2n². Par conséquent, il y a 2*16² = 512 petits triangles au total. Maintenant, il faut compter les autres...

[invité576543]

Bonjour,

Je suis étonné par la petitesse des nombres proposés! Et ce même dans le tableau de prgasp. Si dans le cas de taille 1 il n'y a qu'un triangle iso. rect., j'en compte déjà 17 (1+2+6+8) dans le cas de la taille 2.

Mais peut-être il y a différentes interprétations de l'énoncé...

Cordialement,

[invité576543]

Autre hypothèse, je n'ai pas compris la notion de taille de prgasp, et ce qui est pour moi la taille 2 est pour lui la taille 4?

Cordialement,

[SunnySky]

Autre hypothèse, je n'ai pas compris la notion de taille de prgasp, et ce qui est pour moi la taille 2 est pour lui la taille 4?
Cordialement,

En effet. C'est ce que je voulais dire quand je disais que je notais les lignes différemment. prgasp semble noter les demi-lignes. Je n'en vois pas l'intérêt, mais lui, il semble savoir où il va...

Là, on se rejoint. J'arrive exactement aux mêmes valeurs. Mais je ne vois pas comment généraliser...

[inviteea6fd0dc]

Bonjour,

Enoncé un peu obscur d'où mon erreur de départ dans le raisonnement

Il y a 1023 triangles (en comptant le triangle global)

512+256+128+64+32+16+8+4+2+1= 1023

Amicalement

[inviteea6fd0dc]

Re bonsoir,

Le nombre de triangles formant le pavage se trouve facilement comme l'a très bien démontré duddle, 16*16/2 = 512

or, chaque division à partir du triangle de base double le nombre de triangles.

Le total de la suite des divisions est donc le total de la suite géométrique inverse à partir du résultat global.

Alain

[invitef34185c4]

4308.
Again !

Il faut :
Calculer le nombre de demi-case possible pour chaque largeur de case.
Par exemple pour une largeur de 9 ça donne :
(8*9)/2=36 semi-case
Ce qui donne respectivement pour des coté de 1 à 16, la suite suivante :
136,120,105,91,78,66,55,45,36, 28,21,15,10,6,3,1


Calculer le nombre de carrés complets dans l'aire de la figure pour chaque largeur de carré égale ou inférieure à 16/2 (car supérieur à 9, ça rentre pas)
Par exemple pour 7 ça donne :
(16+1)-(7*2)=3
3 est le nombre de case de 7 possible en largeur, avant de buter contre le diagonale.

Nombre de case de largeur 7:
(3*4)/2=6
Donc 6 cases de coté 7 possibles dans une aire de 16
Ce qui donne la suite suivante pour des coté de 1 à 8
120,91,66,45,28,15,6,1

En multipliant cette suite par 8 on obtient déjà le nombre d'isocèle pour chaque taille de case entrant dans l'air.
Reste à y ajouter les demi-case de la diagonale, pour ça on se sert du nombre de demi-case totale caculé plus haut.

nombre de demi case - nombre de case complete = demi-case de la diagonale
Pour 5 par exemple :
78-28=50
Ce qui donne pour les cases de coté 1 à 8 (au-delà on a déjà le nombre de demi-case totale et il n'y a pas de case complète):
16,29,39,46,50,51,49,44
et donc
36,28,21,15,10,6,3,1 demi-case pour 9 à 16

Ne reste plus qu'a multiplié le nombre de cases completes par 8
et le nombre de demi-case par 3
ce qui donne 4308

Je ne sais pas si c'est ce que tu attendais Saladin.
Je pense que mon résultat est juste.
J'ai pas les compétence pour en faire ue formule applicable a des variable, mais ça semble possible.
Avec peut être un problème pour un isocèle de base ayant pour unité un chiffre impaire.

[invite2896c078]

fastoche: pour les petits triangles 512 y suffis de les comptés
pour les autres triangles, là,

[SunnySky]

Je crois plutôt qu'il y en a 5848.

[inviteea6fd0dc]

Le nombre total ne peut qu'être la somme de la suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ...... de 1 au Xème terme
Aucun total de cette suite géométrique n'arrive à 5848

De plus, le total ne peut être qu'un nombre impair puisque le triangle de base est 1.

Amicalement

[SunnySky]

Mon raisonnement:

 Cliquez pour afficher

taille 0,7: 2n²=512 (ce qui semble rallier tout le monde)
taille 1: 2n²-n car chaque ligne en ajoute 4n+1
taille 1,4: même série que taille 0,7: on l'obtient par un changement d'échelle (là, je suis loin d'être sûr de mon coup...)
taille 2: même série que taille 1, par changement d'échelle toujours

J'en arrive à une généralisation pour chaque taille et Excel m'additionne tout cela...

Je ne suis pas sûr d'avoir raison, mais c'est mon opinion actuelle.

[invité576543]

Mais je ne vois pas comment généraliser...

Moi non plus. J'ai déjà du mal avec la taille 4! On a (en partant de la droite) 1, 2, 6, 6 et non 1, 2, 6, 8...

Cordialement,

[invite421bc1da]

Salut

Il y a 4 triangles isocèles dans un carré d'unité 1.

Nombre de carré de côté 1 :



Donc il y a triangles isocèles

EDIT : pour les petits parce que pour toutes les tailles, y'en a bien plus.

Evidemment, mais je pense que je suis aussi capable de faire ce calcul, enfin j'espère... mais oui il faut toutes les tailles possibles, et je n'ai meme pas demandé tout les triangles!!! juste les isocèles rectangles.

PS: pour ceux qui cherchent, merci à eux, mais s'il serait possible de développer un peu plus en donnant les réponses, parce que moi je ne suit pas tout , merci beaucoup ++

Amicalement

Saladin le Grand