[spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

[invitefc60305c]

Bonjour à tous.
Me revoilà !
http://forums.futura-sciences.com/BA...eSjuin2004.pdf

1) avec

a) Mq si a existe alors a impair.

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Par l'absurde, supposons a pair soit a=2k, alors a²+9 est impair, or pair, ce qui est absurde.

b) Mq en raisonnant modulo 4 que l'équation proposée n'a pas de solutions.

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et puisque
donc on a <=> <=> ce qui est impossible.

2) avec

a) Mq si alors congru à 1 ou 4 modulo 4.

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Par l'absurde, supposons que ou 2 [4]
Ce qui est impossible est tjrs impair or un nombre impair ne peut etre divisible par 4. De même, etre congru à 2 modulo 4 implique être pair, or est impair.

b) Mq si a existe alors a pair et en déduire que n pair.

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Par l'absurde, tjrs impair et a²+9 tjrs pair (si a impair), ce qui est impossible.

a pair donc
Donc est congru à 1 modulo 4. Or <=> .

Preuve : si n = 2q, alors
Si n = 2q+1 alors

c) On pose n = 2p avec p un naturel supérieur ou égal à 2. Déduire d'une factorisation de que l'équation proposée n'a pas de solutions.

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ce qui implique que ce qui est impossible.

3) avec

a) En raisonnant modulo 3, mq que l'équation n'a pas de solutions si n impair.

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n impair implique <=> donc <=> <=> OU <=> ou -1 [3]
Donc devient ou Ce qui est impossible.

b) On pose n=2p. Démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance entière de 5.

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AUCUNE IDEE