Calculer Train d’Engrenages pour obtenir un Rapport donné, très précis

[SULREN]

Bonjour,

Dans certains mécanismes (certes, très particuliers) on utilise des trains d’engrenages comportant de 4 à 8 roues/pignons, pour obtenir un « rapport de transmission » entre l’arbre menant et l’arbre de sortie du train, rapport défini par 5 à 10 chiffres significatifs selon le besoin, donc très précis, en admettant cependant qu’il subsiste une erreur maximale bornée par le dernier chiffre.

r = f (Z1………Zn ; PS1….PSm)

r est le rapport de transmission, aussi désigné par : raison du train
f est une formule impliquant les vitesses des portes satellites PS et les nombres de dents de toutes les roues dentées du train. (Z est communément utilisé en mécanique pour désigner les nombres de dents des engrenages).

Trouver r en connaissant f :
En disposant de la description du train, la formule f est facile à écrire et un calcul très élémentaire permet ensuite de trouver la valeur de r.
Dans le cas des trains épicycloïdaux (dits aussi planétaires), où tous les axes ne sont pas fixes mais peuvent être des satellites, c’est légèrement plus complexe parce qu’il faut savoir utiliser la formule de Willis.

Trouver f et les Zi et FSj qui donnent la meilleure approximation d’un r qu’on s’est fixé comme objectif :
L’exercice est là très difficile dans la majorité des cas, déjà parce qu’il faut se choisir une organisation des portes satellites, et que même s’il n’en existe pas (cas des trains à axes fixes) un grand nombre de combinaisons de Zi permettent d’obtenir une erreur inférieure à l’erreur max spécifiée.

Cet exercice a pourtant été résolu depuis l’Antiquité par des calculs faits à la main et cela a continué jusqu’à l’arrivée des calculateurs numériques.
L’étude de ces cas anciens m'a conduit à ouvrir ce fil pour y poser des questions.

Mécanisme d’Anticythère : (environ 2 siècles avant JC) : très connu de tous ; 2 discussions sur FS
Les périodes des mouvements des astres du système solaire étaient connus avec une bonne précision depuis des siècles.
Ces périodes ont été modélisées (*) par des trains d’engrenages avec une grande précision, à ce qu’en dit la presse de vulgarisation sur ce mécanisme.
Je prendrai le temps de vérifier moi-même les performances de ces trains d’engrenages, sur la base de ce que nous en montre les maquettes qui reconstituent le mécanisme d’origine.

(*) Attention : il s’agit de la modélisation en valeur moyenne, c’est-à-dire de la composante fondamentale de la fonction qui décrit cette période et qui peut comprendre des centaines de termes périodiques.

QUESTION 1: Quels outils scientifiques ou mathématiques ont utilisé les concepteurs du mécanisme d’Anticythère ?

L’horlogerie :
A ses débuts, au début de la Renaissance, l’horlogerie utilisait l’échappement à folio.
Je ne pense pas me tromper en disant que pour calculer le train de rouages du mouvement horaire d’une horloge et de celui de son mouvement de sonnerie, il n’y a aucun besoin d’outils mathématiques. Les quatre opérations de base : + ;- ; : ; x ; suffisent.

Plus tard, en 1656 Christian Huygens a beaucoup contribué à l’amélioration de l’horlogerie en introduisant le pendule comme élément régulateur dans l’échappement.
Il connaissait bien les fractions continues et en aurait fait la promotion au sein de la profession s’il y avait eu besoin d’un tel outil.

En plus des fractions continues, en 1858 l’horloger mathématicien Achille Brocot, (ainsi que Stern en Allemagne, ont même mis au point un outil dit « arbre de Stern Brocot » (lié aux suites de Farey) qui permettait à leurs collègues horlogers ne maîtrisant que les quatre opérations de base de calculer ces trains. C’était bien plus simple à appliquer pour eux que les fractions continues.
J’en parlais ici en 2010 :
https://passion-usinages.forumgratui...rbre-de-brocot

Début du filetage sur tours (fin XIXe et XXe siècles) :
Les tourneurs ont eu besoin de calculer le train d’engrenages (à monter sur la lyre du tour, ou tête de cheval) reliant la broche du tour à la vis mère du tour, pour usiner des filetages à des pas donnés.
Les fabricants de tour ont créé des tableaux de trains pour obtenir les pas standards (en utilisant probablement les Fractions continues ou l’arbre de Brocot).
Le tourneur pas matheux pour deux sous et qui voulait réaliser des pas de vis hors standard, cherchait par tâtonnements et comme il n’avait pas besoin d’une grande précision pour les vis, il y arrivait souvent. Puis plus tard, avec l’arrivée d’Internet, il a demandé de l’aide sur les forums (où certains comme moi lui faisaient les calculs appropriés).

Horloges Astronomiques :
Dans ce cas un rapport de transmission très précis était recherché d’emblée, et l’usage des fractions continues s’est révélé indispensable.

-1) Huygens les a utilisées pour son planétaire Terre Saturne.
Train qui devait réaliser le rapport : 77708431/2640858 = 29,42544847167
Voir Wikipedia, en fin de page :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue

-2) Le Chanoine Mathématicien Jean Fusoris a obtenu des résultats très précis sur son horloge construite en 1424 pour la cathédrale de Bourges et offerte à cette ville par le roi Charles VII.
Je suppose qu’il a utilisé les fractions continues, mais je n’en ai pas trouvé la preuve dans les écrits que j’ai lus sur cette réalisation.

QUESTION 2 : Quelqu’un le sait-il ?

-3) Horloge de Strasbourg construite en 1840:
Jean Baptiste Schwilgué a utilisé les fractions continues.

Aujourd’hui et Concernant le problème en objet :
-a) Les fractions continues existent toujours. Brocot aussi. Leur mise en œuvre ne se fait plus à la main, mais par exécution d’un programme, ou sur tableur.
Voir par exemple mon tableur pour les fractions continues, en photo ci-jointe.

-b) Il doit aussi exister des outils numériques à foison. Chacun pouvant créer le sien.
Ils sont ultra performants, mais ne sont que de « purs outils de calcul » pas des « méthodes mathématiques au sens noble ».

QUESTION 3 : existe-t-il des méthodes mathématiques venues s’ajouter aux fractions continues et à l’arbre de Brocot ?
C'est plus par curiosité que pour un besoin d'usage.

Merci d’avance pour vos réponses.
-----

[f6bes]

Bjr, J'ai lu rapidement en travers.....mais le probléme (en dehors de la théorie ) c'est d'obtenir un résultat pratique et reproductible.
En bref : plus il y a d'engrenages, plus il y a de frottement qui viennent contrarier les beaux calculs sur papier.
Question: comment remédier à cet état de fait ?
Ajuster la vitesse initiale ?
Si on tiens à une extréme préçision faut éliminer des tas de contraintes ( hygrométrie,température, propreté du milieu....)
On s'en sort comment ? (nous sommes dans de la mécanique )
Bonne journée

[f6exb]

Salut Raymond,
Ce n'est pas un problème de vitesse qui turlupine René, mais de rapport entre le nombre de tours à l'entrée du mécanisme et le nombre de tours sur l'arbre de sortie.
Combien de rouages minimum, avec quelles (dentures ? dentitions ?) utiliser pour obtenir par exemple 4,47896547521 tours à l'entrée de façon à ce que l'arbre de sortie tourne d'un tour.
Quelles méthodes de calcul utiliser ?

[SULREN]

Bonjour,
@f6bes a écrit:

En bref : plus il y a d'engrenages, plus il y a de frottement qui viennent contrarier les beaux calculs sur papier.
Question: comment remédier à cet état de fait ?
Ajuster la vitesse initiale ?

Ce souci est tout à fait légitime, mais la réponse dépend essentiellement du couple qu'on transmet, de la vitesse de rotation et du sens du train (réducteur ou multiplicateur).

En mécanique:
- On travaille souvent sous couple élevé et à grande vitesse, d'où la lubrification sous carter.
- On utilise le profil de denture en développante de cercle, qui présente plein d'avantages, mais le défaut (dit-on) d'un rendement faible en train multiplicateurs. Ces trains sont rares en mécanique. On est presque toujours en trains réducteurs.

En horlogerie:
- On tourne lentement, pas de carter, pas d'huile.
- Big problème: on travaille sous fort couple et en train multiplicateur... d'où l'absence de développante de cercle et la préférence pour la denture ogivale (ou épicycloïdale).

En mécanismes astronomiques: (Anticythère, Bourges, Strasbourg etc) on tourne lentement, ET sous très faible couple, ET quasiment toujours en trains réducteurs.
Donc aucun souci de frottements, d'usure.
On pourrait donc très bien utiliser la développante de cercle, mais comme ces mécanismes sont souvent associés à des horloges pour les entraîner, on est resté en ogival par tradition, souci d'esthétique, etc.

Bonne journée à toi aussi Raymond.

[A voir en vidéo sur Futura]

[SULREN]

Re,

L'ami Denis dit:

Ce n'est pas un problème de vitesse qui turlupine René, mais de rapport entre le nombre de tours à l'entrée du mécanisme et le nombre de tours sur l'arbre de sortie.

Oui pour réaliser des horloges astronomiques mécaniques il faut:
- Bien connaître les périodes des mouvements dans le système solaire, donc étudier la mécanique céleste: lire les ouvrages de l'IMCEE, de Jean Meeus, etc. J'en ai un plein rayon dans ma bibliothèque.
- Avoir l'outil qui permet de calculer les trains d'engrenages: ceux que j'ai cités plus haut, mais que je n'utilise pas. Je me suis créé le mien (beaucoup de travail de réflexion et d'écriture de code) et il répond parfaitement à mes besoins.
- Ensuite le plus dur (et de très loin) c'est de réaliser les trains d'engrenages. Maintenant avec l'impression 3D les choses s'arrangent....mais certains diront que c'est bien moins esthétique que les rouages en laiton.

On a une idée du problème ici:
https://en.wikipedia.org/wiki/Antikythera_mechanism

et sur la vue de reconstitution de ce mécanisme que ce site donne.

[f6bes]

Remoi,
Ben....c'est presque simple !!!...Ouf !!
https://forums.futura-sciences.com/a...amechanism.png
Merçi pour les explications !
Bonne journée

[Liet Kynes]

Bonjour,

Question bête si des disques remplacent les engrenages, disques ayant une propriété de friction entre eux suffisante pour que tout le mécanisme tourne sans patinage, est-ce que l'on obtient l'idéal d'approximation de l'heure?
Question subsidiaire, si oui, avec cette horloge "théorique", il y a t-il simplification du mécanisme (nombre de disques inférieur au nombre d'engrenages ) ?

[SULREN]

Bonjour,

Ma réponse est « yes, definitely »

Les disques dont tu parles peuvent être assimilés à des engrenages à denture infiniment fine, donc pouvant avoir un nombre infini de dents, tout en restant de petit diamètre.

Exemples pris dans mon « trivial » domaine de la mécanique :

-A) Avec un diamètre maximal autorisé pour les engrenages fixé à une certaine valeur, je peux faire Pi avec un train de 8 engrenages de la façon suivante :
40/31 * 55/69 * 107/67 * 197/103 donne Pi avec une précision relative de 6,1*10^-12
(c’est le train Z1 à Z8 dont j’ai parlé à @Mediat dans une autre discussion, sans indiquer les nombres de dents)

-B) Avec le même diamètre max autorisé, mais des dents 3 fois plus fines je peux faire Pi avec une précision un tout petit peu meilleure ET avec seulement un train de 6 engrenages :
229/67 * 393/347 * 491/605 donne Pi avec une précision relative de 6,0*10^-12

-C) Avec des dents infiniment fines, les disques, je peux faire mille fois mieux en précision et avec seulement deux disques : ce sont les rapports de deux entiers trouvés par les fractions continues.

Seul, mais big problème des disques : il faudrait être capable de les usiner avec une précision infinie……. et là mieux vaut ne pas tenter de l’imposer à un Usineux galérant devant son tour …..sous peine de se prendre un coup de clé à mandrin sur le crane.

[SULREN]

Re,

@f6bes : Je réponds à ton post#6

Désolé si mon post initial était long, malgré mes efforts de simplification comme par exemple éviter d’y donner la description des trains d’engrenages et les calculs correspondants.

Celle de Bourges datant de 1424 m’a fasciné quand je l’ai découverte il y a x années :
- Par la connaissance précise des périodes astronomiques qu’avait son concepteur J Fusoris
(j’ai découvert ensuite que cette connaissance remontait même aux Babyloniens, une paire de millénaire avant)‘- Par la précision de ses trains d’engrenages : d’où ma QUESTION 2 au post#1 sur les outils mathématiques qu’il utilisait.

Idem pour le mécanisme d’Anticythère.

Je n’ai parlé de l’horloge de Strasbourg qu’en une seule ligne alors que c’est un œuvre de génie, et que le Comput Ecclésiastique qui lui est associé est aussi une œuvre de génie.
Tous les ans, le 31 décembre à minuit, elle met en marche ce Comput et en une minute il calcule la date de Pâques pour l’année qui va commencer et lui donne l’information pour qu’elle l’affiche sur ses cadrans.
Ce calcul est fait par des engrenages et consiste à chercher quelle sera la date de la pleine lune se produisant juste après le 21 mars (début du printemps) et à rechercher ensuite quand tombera le premier dimanche après cette date. (La pleine lune correspond au 14e jour du mois lunaire).

Définition de la date de Pâques : édictée par le Concile de Nicée (aujourd’hui Izmit en Turquie) réuni en 325 de notre Ere par l’empereur romain d’Orient Constantin 1er :

« Pâques est le dimanche qui suit le 14e jour de la Lune
qui atteint cet âge le 21 mars ou immédiatement après. »

Un p’tit train d’engrenages et c’est dans l’sac !

[Naalphi]

Bonjour
Sans avoir saisi la problématique précisément
Ai-je raison de dire que le seul le profil de dents permettant l'homocinétie est celui 'en développantes de cercles' ?
(n'existerait-il pas un risque de louper une dent à l'autre bout de la chaine sinon ?)

[XK150]

Salut ,

Non , quelque soit le profil des dents , les dents ne peuvent pas " sauter " dans les engrenages , heureusement !
S'il y a un manque d'homocinétisme , c'est durant le passage d'une dent , mais à chaque nouvelle dent , on repart synchronisé , quelque soit le profil .

[SULREN]

Bonsoir,

Comme l’a dit @XK150 les dents ne peuvent pas sauter, sauf s’il existe un défaut grave dans les engrenages, mais cela entraine vite l’arrêt complet du fonctionnement. Exemples :
- Dents à moitié cassées,
- Trous des pivots très fortement ovalisés, qui font que les engrenages s’éloignent l’un de l’autre,
- Sur une transmission à 90°, un des engrenages mal calé sur son arbre et qui s’éloigne donc de l’autre.

Comparaison denture Développante / Epicycloïdale : (en Anglais : involute versus cycloïdal gears)
Je m’étais juré de ne jamais intervenir sur ce type de débat sur les forums, tant je les ai vus vite tourner à la foire d’empoigne, jusqu’à l’intervention radicale de la Modération.
Je préfère renvoyer aux analyses qui ont été publiées sur ce sujet.

Du point de vue de l’homocinétisme, les deux dentures se valent, mais la développante supporte bien mieux un accroissement d’entraxe par rapport à la valeur théorique (les dents restent conjuguées).

Ensuite, chaque denture a des avantages ou des inconvénients, par rapport à l’autre, sur plusieurs points. Je n’en cite que quelques uns:
- La cycloïdale a un meilleur rendement de transmission en train multiplicateur, surtout quand des petits pignons menés existent dans le train.
- Elle autorise l’emploi de pignons à peu de dents, 7 dents couramment, voire 6.
Sur la développante on a risque de problèmes d’interférence (undercut) dès qu’on passe à moins de 17 dents et interférence garantie au-dessous de 13 dents. On peut corriger un peu en changeant le profil des dents (taillage avec déport de denture).
- La développante est bien moins couteuse à tailler (prix des fraises module, etc).
- Sa ligne d’engrènement est droite, l’angle de pression est constant.
- Etc.

NB (au risque d’être trop long)
C’est un vieux débat et pour la petite histoire il a même duré une bonne vingtaine d’années à partir de 1940 dans l’industrie américaine de fabrication de fusées d’obus (détonateur vissé à la pointe de l’obus et qui le fait exploser) soit :
- Au contact du sol : fusée dite instantanée)
- Soit quelques milli-secondes après contact avec le sol : fusée à court retard (pour ébranler les fortifications enterrées).
- Soit en l’air en fin de trajectoire, disons à une centaine de mètres avant d’arriver au sol : fusée chronométrique (afin de provoquer une gerbe d’éclats qui s’abat sur les soldats couchés sur le sol).

Ces fusées chronométriques comportaient un dispositif chronométrique à engrenages dont on réglait la durée de marche avant le tir, et qui se mettait en marche au départ du coup.
Question en débat: quelle est la denture la plus opérationnelle au combat: involute or cycloïdal ?

[JeanYves56]

Bsr ,

Oui enfin , on peut comparer les deux dentures , cycloidale et à developpante , mais elles ne sont pas utilisées dans les même conditions .
la cycloidale est reservée à l'horlogerie , celle en developpante à la mécanique pour transmettre des efforts .

Il est question d'entrainement par friction , mais outre les pb de precision de réalisation , au moindre effort , le décalage serait inévitable .
Ce systeme à friction , sur le papier c'est sans doutes bien , mais concretement ce n'est pas fiable .

[SULREN]

Bonsoir,

Salut JeanYves,
Je pense que l'idée de Liet Kynes, en parlant des disques, n'était pas tant de proposer d'en faire un système exploitable en pratique, mais juste de demander si par son principe même ce dispositif n'était pas de nature:
- à obtenir des rapports de transmission avec beaucoup plus de décimales, donc plus précis, parce qu'on s'affranchissait des nombres entiers imposés par les engrenages. On manipulerait des nombres réels.
- et par voie de conséquence si cela ne réduirait pas le nombre d'étages du train.

La réponse que j'ai faite est "oui", mais bien sûr cela reste un dispositif purement théorique (à cause de la précision d'usinage impossible à atteindre, du glissement inévitable, ...)

[Liet Kynes]

Bonsoir,

Salut JeanYves,
Je pense que l'idée de Liet Kynes, en parlant des disques, n'était pas tant de proposer d'en faire un système exploitable en pratique, mais juste de demander si par son principe même ce dispositif n'était pas de nature:
- à obtenir des rapports de transmission avec beaucoup plus de décimales, donc plus précis, parce qu'on s'affranchissait des nombres entiers imposés par les engrenages. On manipulerait des nombres réels.
- et par voie de conséquence si cela ne réduirait pas le nombre d'étages du train.

La réponse que j'ai faite est "oui", mais bien sûr cela reste un dispositif purement théorique (à cause de la précision d'usinage impossible à atteindre, du glissement inévitable, ...)

Oui tout à fait, l'idée serait de dire qu'il existe un nombre de disques minimum possible.

Dans le même ordre d'idée : quid des courroies ?

Autre question quel est le dispositif minimum d'impulsion du mouvement horloger ?

[SULREN]

Bonjour,

Nombre de roues :
Un rapport de transmission entre un arbre menant et un arbre mené concerne forcément deux éléments et est défini par le rapport de deux nombres entiers.
Il faut donc au minimum deux roues (dentées ou lisses) pour lier les deux éléments
J’ai indiqué dans un post ci-dessus un rapport de transmission proche de la valeur Pi.
229/67 * 393/347 * 491/605 = 44188527/14065645 = 3,14159265358965

Avec des engrenages de denture horlogère au module 0,25 :
- Si on réalise ce rapport avec le train à 6 roues, la roue de 605 dents aura un diamètre extérieur de 151,75 mm.
- Si on le réalise avec le train à deux roues, la roue de 44188527 dents aura un diamètre de 11047 mètres.

Mais avec tes disques à dents de module infiniment petit on revient à des diamètres acceptables.

Courroies :
On revient au même problème que ci-dessus :
- Courroie crantées sur poulies crantées afin d’empêcher le glissement => même problème qu’avec des roues dentées.
- Courroies lisses => équivalentes à tes deux disques.....qui peuvent glisser.

Dispositif minimum d'impulsion du mouvement horloger
Je ne suis pas sûr d’avoir compris la question. Et j’oublie les horloges atomiques ou celles à quartz.
En mouvement mécanique :
Le balancier des montres à une période (donc un aller-retour) d’environ 0,25 de seconde
Le balancier d’une horloge comtoise a une période d’environ 2 secondes (chaque alternance, c’est-à-dire un aller ou un retour, dure environ 1 seconde).
Le balancier d’une pendule de cheminée a une période de 0,6 à 0,8 seconde.

[XK150]

Et la période vraie des Atmos est de 60 s , très lent pour économiser l'énergie nécessaire à chaque période .

[SULREN]

Je n'ai pas les moyens de me payer une Atmos.....moaaa!

Mais j'oubliais mes pendules dites 400 jours, à balancier à 4 boules.
J'en ai 6 sur ma grande cheminée de campagne.
Leur période est d'une quinzaine de secondes.
Je les remonte tous les 6 mois, environ.

[Naalphi]

Merci! Arf, je me suis mal exprimé avec mon homocinétique : je me posais la question si elle était cumulable d'engrènement à engrènements (au point peut-être de voir apparaître un défaut de position angulaire significatif au bout de la chaine à un instant t)

[XK150]

Merci! Arf, je me suis mal exprimé avec mon homocinétique : je me posais la question si elle était cumulable d'engrènement à engrènements (au point peut-être de voir apparaître un défaut de position angulaire significatif au bout de la chaine à un instant t)

Oui , on avait bien compris !
Mais non justement , il ne peut pas y avoir d'erreur cumulable avec des engrenages ; Leur rapport , par exemple demeurera absolument invariable durant des millénaires !!!
Même les dentures en bois !
Et même s'il existe aussi un jeu dans la denture , elle ne peut pas se cumuler non plus ...
On repart exact après chaque passage de dent .

[SULREN]

Bonjour,

Je vois que @XK150 a déjà répondu. Merci à lui. Mais je donne quand même celle que je devais faire.

En effet, certains intervenants ont fait des remarques sur les imperfections de réalisation qui existent inévitablement dans un train d’engrenages et donc sur leurs répercussions significatives possibles sur la précision du rapport de transmission. Il s’agit de :
@Naalphi au post#10 et celui-ci-dessus
@f6bes au post#2
@Liet Kynes dans une autre conversation (En forum Maths et je lui avais promis de lui répondre ici).

Oui ces imperfections perturbent la valeur instantanée du rapport de transmission « r » :
Si la dent du premier engrenage du train qui est en prise avec une dent du 2eme engrenage, a un profil réel déformé par rapport à sa norme théorique (développante par exemple) et qu’à ce moment-là le premier engrenage tourne d’un petit angle Ae, on aura le tout dernier engrenage du train qui tournera d’un angle As et le rapport As/Ae sera différent du rapport « r » qu’on a pris comme objectif.
Toute autre imperfection pourra avoir une telle répercussion.
Mais j’exclus les jeux qui existent inévitablement dans les engrenages (on dit bien que les jeux sont l’âme de la Mécanique).
On peut exclure leurs conséquences parce qu’il suffit de « les rattraper » selon le terme consacré, en créant une petite force résistante sur le dernier arbre du train qui oblige toutes les dents en prise à rester en contact du bon côté.

Non ces imperfections ne perturbent pas la valeur moyenne du rapport de transmission « r » :
Quand le premier engrenage du train fait un grand nombre de tours, de dernier aussi, et le rapport entre ces deux nombres est égal au rapport théorique calculé sur la base des nombres de dents.

Les grandeurs perturbatrices : défaut de profil, impuretés, etc, créent des petites perturbations cycliques, non cumulatives, dont la valeur moyenne s’annule.

QUESTION SUBSIDIAIRE :
La perturbation instantanée de « r » est-elle gênante dans le cas : du filetage sur tour, des horloges tout court, des horloges astronomiques, ……et n’est-ce pas une illusion Mr SULREN de calculer des trains qui donnent « r » avec beaucoup de précision ??? Hein !!!

(à suivre)

[XK150]

Je ne parlerai même pas de de valeur " moyenne " du rapport de trasmission ...
un 45 / 15 posséde un rapport de 3.0000000 .... 0000 , qu'il va garder durant des millénaires même si défaut de profil , impuretés , etc .
Les perturbations n'affectent que le passage de la dent en cours . Eventuellement un secteur de dents , mais on repart bon , juste et exact après un tour le défaut s'étant corrigé tout seul durant le tour en cours ..

[SULREN]

Bonjour,

Je réponds à la question subsidiaire que j’avais moi-même posée à la fin du post#21.
- Une grande précision est requise pour les trains d’engrenages en Horlogerie.
- Une précision juste conforme aux critères de la Mécanique est requise pour les trains d’engrenages utilisés en filetage.
- Et en ce qui concerne les mécanismes reproduisant les mouvements astronomiques ?
Prenons l’exemple très répandu des phases de lune, (montée y compris sur les montres), mais exemple plutôt difficile car la Lune est l’astre les plus perturbé du système solaire. Jean Meeus dit qu’il faut prendre en compte des centaines de termes périodiques pour calculer avec précision la position vraie de la lune à un instant donné.

Partons d’un instant T0 où on observe dans le ciel une pleine lune.
On cale l’affichage des phases de lune sur son horloge, ou sur sa montre, exactement lui-aussi sur pleine lune.

L’Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides (IMCCE) dit que la durée moyenne d’une lunaison (durée entre deux phases de lune identiques) est de :
29 jours 12 h 44 min 2,88 sec soit : 29,53058885 jours.

Sur notre horloge on a monté le train d’engrenages à 8 roues :
107/25 * 107/37 * 128/79 * 134/91 = 196373248 / 6649825 = 29,53058885008
pour entraîner à partir d’un axe faisant un tour en 24 heures, un axe qui porte une sphère représentant la lune (peinte moitié en blanc et moitié en noir) et qui fait donc lui un tour en une lunaison.

Donc à l’instant T1, exactement une lunaison après l’instant T0, ou à l’instant T2 deux lunaisons après, ou à l’instant T1000, ou à l’instant TK (K étant un nombre entier) la Lune apparaîtra exactement pleine sur le cadran de l’horloge……à peut-être un pouillème près quelquefois, dû à une petite imperfection de denture, ou à une chiure de mouche, sur une dent engrenant juste à ce moment-là.

SUPER ! C’EST PARFAIT ! Dirons nous……
sauf qu’il n’en est pas exactement de même pour la lune qu’on observe dans le ciel.

En effet, l’IMCCE dit qu’aux instants T1, T2, T1000, TK, la lune est rarement une disque blanc bien rond, mais qu’il y a presque toujours un tout petit croissant noir à sa droite ou à sa gauche.
Ce n’est pas une question de chiures de mouche, mais de perturbations périodiques créées par tous les autres corps du système solaire, et qui font que la lunaison réelle peut durer 6heures de moins, ou 6heures de plus que la moyenne de 29,53058885 jours (Erreur périodique, non cumulative).

Si on accepte que notre train d’engrenages soit imprécis au point de créer une erreur grandissante au fil du temps jusqu’à atteindre une heure en 10 ans (pas vraiment gênante en pratique) on peut alors se contenter d’un train à 4 roues, peu dentées, comme :

46/9 * 52/9 = 29,5308642

L‘horloge aura vieilli et sera peut-être hors d’usage avant qu’on ait eu besoin de recaler sa lune.

(Mais les amateurs en astronomie peuvent facilement calculer sur leur PC, l’heure exacte des pleines lunes à venir, à quelques secondes près s’ils en ont besoin. Deux pages de formules moulinées en informatique sont bien plus précises qu’un train d’engrenages )

Nouvelles QUESTIONS SUBSIDIAIRES :
Pourquoi aime t’on aller jusqu’à une précision excessive dans ses passions.
Pourquoi se faire une horloge astronomique mécanique (c’est pour éveiller mes petits enfants aux sciences).
Pourquoi les prêtres de l’Egypte de l’Antiquité éprouvaient ils le besoin de prédire les éclipses et comment s’en servaient ils pour asseoir leur pouvoir et celui du pharaon.
Pourquoi dès l’an 1400 avons eu des horloges astronomiques dans les cathédrales.
………
C’est hors sujet !

[Liet Kynes]

Nouvelles QUESTIONS SUBSIDIAIRES :
Pourquoi aime t’on aller jusqu’à une précision excessive dans ses passions.
Pourquoi se faire une horloge astronomique mécanique (c’est pour éveiller mes petits enfants aux sciences).
Pourquoi les prêtres de l’Egypte de l’Antiquité éprouvaient ils le besoin de prédire les éclipses et comment s’en servaient ils pour asseoir leur pouvoir et celui du pharaon.
Pourquoi dès l’an 1400 avons eu des horloges astronomiques dans les cathédrales.
………
C’est hors sujet !

C'est parceque la mécanique faite dans les règles de l'art , est un art. C'est le besoin d'œuvrer qui fait tourner ces petites aiguilles dans les montres en fait.

[SULREN]

Bonsoir,

Oui, belle réponse @Liet Kynes !

La mécanique horlogère est un art, pas seulement constaté sur les montres, mais aussi sur les horloges astronomiques qui sont des merveilles basées sur des engrenages judicieusement calculés et agencés.
Il suffit de voir sur Internet celles d’Antide JANVIER, horloger astronome du XVIIIe siècle, considéré dans le monde entier comme un des plus grands horlogers de tous les temps (et qui malheureusement a fini sa vie dans la misère).

Dans ses réalisations à engrenages, il y a de la beauté, des nouveautés mécaniques qui forcent l’admiration (Ex: les roues obliques,....), il n'y a pas de mystère parce qu’on connait (ou qu’on devine) les calculs qu’il y a derrière, mais il y a quand même un peu de « magie » de voir ces bouts de métal mouvoir des aiguilles et des sphères qui reproduisent les mouvements astronomiques.

Et cela incite ceux qui maitrisent l’usinage des engrenages, comme notre ami l’Auvergnat , à s’en réaliser un :
https://www.usinages.com/threads/mec...omique.155994/

[XK150]

Stupéfiant , passionnant , félicitations totales ... Dire qu'il y a des personnes qui s'ennuient le dimanche assises devant leur télé !

[SULREN]

Bonjour,
Oui mieux vaut être aux manivelles de ses machines-outils quand on est un passionné d’usinage…..et rien n’empêche d’écouter en même temps ce qui se raconte à la télé.

Afin de vous éviter de parcourir la longue discussion dont j’ai donné le lien, j’aurais pu juste donner une image du cadran astrolabe dont il est question, prise au post#99, cadran encore inachevé.
(manquent les indications sur le cadran mobile blanc de « l’araignée », et à mon goût réaliser l’aiguille du « dragon » sous la forme de la bébête et pas d’un trident, et prolonger l’aiguille du soleil pour qu’elle passe sur la lune lors des oppositions, etc).

C’était il y a presque un an et l’auteur de cette réalisation, l’ami DA l’Auvergnat, écrivait :
« Bonjour
Aujourd'hui 18 aout 2022 le calendrier lunaire indique nœud lunaire ascendant dans le Taureau (21 avril 20mai)
Comme le montre la photo l'aiguille du Dragon et celle de la Lune sont bien superposées, donc on a bien un nœud lunaire. La tête du Dragon est en face de la Lune donc le nœud est ascendant. L'aiguille du Dragon est sur 10mai de l'araignée on est bien dans le signe du Taureau. L'horloge continue donc d'indiquer les nœuds lunaires sans se faire de nœud ! »