[Physique] [MP-PC] ENS Ulm : Modèle atomique

[.:Spip:.]

Voici un exercice de de l'ens ulm. Si l'on prend calmement la première question, on s'en sort je pense. par contre, la seconde question est un peu plus délicate, surtout en ce qui concerne la justification des approximation, c'est un peu technique.


On considère un atome d'hydrogène : un électron de charge -e tourne autour du proton sur une orbite circulaire. Le moment cinétique orbital est quantifié : avec h la cste de Planck.


En déduire tous les rayons des orbites possibles, l'énergie du système pour la nième orbite, la fréquence de rotation de l'électron et la fréquence du photon émis lorsque l'électron passe sur une orbite voisine.


Du fait du rayonnement électromagnétique, l'atome perd une puissance instantanée :

où a est l'accélération de la charge. En déduire l'évolution du rayon r(t).

Conclusion ?

Bon courage.
François
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[Gwyddon]

Je dirais même que cet exercice est maintenant un grand classique, il tombe aussi bien à Centrale qu'aux Mines


Je me permets une question supplémentaire : justifier l'origine physique de la formule de perte d'énergie par rayonnement (et éventuellement la démontrer).

[.:Spip:.]

Je dirais même que cet exercice est maintenant un grand classique, il tombe aussi bien à Centrale qu'aux Mines

le soucis c'est qu'une bonne partie de leurs exercices sont pompés Ca me fait penser d'ailleur à l'un d'entre eux, sur l'atmosphere, hypothese d'isothermie blabla ...

Je me permets une question supplémentaire : justifier l'origine physique de la formule de perte d'énergie par rayonnement (et éventuellement la démontrer).

Dans mon cours on l'a fait en 3 pages , bon ok elle était plutôt très bien rédigée.

[Magnétar]

Bonjour, voilà je vais tenter une réponse au moins à la première question (le reste on verra si j'ai le courage parce que c'est un peu moins facile) :

 Cliquez pour afficher

Alors on a posé : (où )
De plus l'électron a une masse très inférieure à celle du proton on peut donc supposer que celui-ci tourne autour du proton en orbite circulaire on a alors où m est la masse de l'électron, v la vitesse (en norme) de celui-ci autour du proton et la distance proton-électron.

On peut en déduire une première expression de la vitesse de l'électron autour du noyau :





La loi de Coulomb nous dit que la norme de la force d'interaction entre le proton et l'électron est donnée par :



où q est la charge du proton, et .

De plus le PFD nous dit : F=ma (où a est la norme de l'accélération de l'électron) et sachant que nous sommes sur orbite circulaire on peut écrire :



On écrit alors l'égalité

Ce qui nous permet d'écrire après manipulation :



En repartant de et en remplaçant par son expression précédente on obtient

On en déduit

Pour trouver on applique la conservation de l'énergie au système proton-électron ce qui donne :



Soit k>n ; k, n entier, L'énergie du photon pour passer de l'état k à l'état n est :



Et comme la relation la relation planck einstein nous permet de lier la fréquence et l'energie du photon on a :


d'où

Eh ben ça à pas l''air comme ça mais c'est long à taper !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Salut,

Tout juste, si ce n'est qu'à la dernière question tu as en fait calculé ce que l'on appelle

Je pense que dans le contexte de l'exercice ce que l'on te demande c'est plus la fréquence de transition entre l'orbite n et l'orbite (n+1)

[.:Spip:.]

oui, on demande bien la transition entre l'etat n et celui en dessous, n-1, car on parle de photon emis

[Magnétar]

Salut,

Déjà merci d'avoir jeté un coup d'oeil, bon sinon pour la dernière question je n'étais pas trop sur de ce qui était demandé donc j'ai fait un cas "général".

Bon j'ai essayé la deuxième partie aujourd'hui et il est vrai que je galère un peu donc j'essaierai encore et je vous demanderai un petit indice si je continue à bloquer.

Sinon pour démontrer la formule

je suppose qu'il faut connaître un peu d'electromagnétisme non ? Parce que je ne connais qu'une formule approchée pour le rayonnement dans le cas où l'on se trouve loin de la source et je ne sais pas si il est possible de la démontrer à partir de ça (?) .

[.:Spip:.]

La formule se nomme formule de Larmor

Je sais la demontrer qu'en chp lointain aussi.
Pour une distribution de charge de dimension caractéristique a, on se place à une distance r>>a

On veut calculer B et E.
pour cela on cherche A, on passe par un modele discret et on fait toutes les simplifications qui s'imposent et on prend son rotationnel on a B

Pour obenir E, comme on a une onde plane*, ca se trouve facilement
B=u_r x E/c on multiplie vectoriellement par ur de part et d'autre et ca tombe.

Enfin, il faut sortir le vecteur de poynting et calculer la puissance ...

*mon prof nous avait dit qu'il fallait combiner la jauge de lorentz avec E=-gradV-dA/dt ...

[Magnétar]

Bonjour tout le monde,

Alors voilà désolé de faire cet exercice par morceau mais je m'y suis remis dans la soirée et là je commence (commence enfin c'est bien entamer là) à m'inquiéter sur ma lenteur d'esprit, en effet ça fait deux heures que je bloque sur la partie 2, suite à ça j'ai décidé de faire des simplifications à la "comme ça m'arrange" mais je trouve une durée de vie de l'atome assez courtes en tout cas je m'attendais à quelques ordres de grandeur en plus quand même (pour info je trouve une durée de vie -c'est à dire avant chute de l'électron sur le noyau- de l'ordre de ).
Donc j'aimerais déjà savoir (sachant que je ne vois pas comment justifier les approximations que je fais) si l'idée de considérer que l'orbite de l'électron reste tout le temps circulaire est à jeter ou non ?

Voilà merci à vous

[.:Spip:.]

l'idée n'est pas mauvaise lol.

hello !

bien sur, ce n'est pas un cercle mais une spirale. seulement, ca nous arrangerai bien que ce soit un cercle.
il faut donc montrer que la variation relative du rayon est petite devant 1 pendant une periode T

on veut donc ...
bon, mais ca on connait pas trop.

Qu'avons nous ? une puissance... Bon, avec ca, en la multipliant par la periode T, on aura un
et on voit que (par A.N.)
On sait que
ce qui fait qu'en différentiant logarihtment
| |= ||

ce qui nous jusifie que la variation du rayon est petite

maintenant que l'approximation est justifiée.

quelle est on equa diff en r(t) ???

François.

PS : t'inquietes pas pour le morcellement, on est là pour faire des echanges.

[.:Spip:.]

*oops : edit 90 000 heures plus tard :*
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hello !

l'idée n'est pas mauvaise.
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dans cet ordre là c'est mieux.

[Magnétar]

l'idée n'est pas mauvaise lol.

hello !

bien sur, ce n'est pas un cercle mais une spirale. seulement, ca nous arrangerai bien que ce soit un cercle.
il faut donc montrer que la variation relative du rayon est petite devant 1 pendant une periode T

on veut donc ...
bon, mais ca on connait pas trop.

Qu'avons nous ? une puissance... Bon, avec ca, en la multipliant par la periode T, on aura un
et on voit que (par A.N.)
On sait que
ce qui fait qu'en différentiant logarihtment
| |= ||

ce qui nous jusifie que la variation du rayon est petite

maintenant que l'approximation est justifiée.

quelle est on equa diff en r(t) ???

François.

PS : t'inquietes pas pour le morcellement, on est là pour faire des echanges.

Merci je n'y aurais pas pensé je vais retenir la méthode ça peut servir.

quelle est on equa diff en r(t) ???

Bon alors voilà ce que je fais pour trouver ce qui est censé être r(t) :

Je pars de et de .
Comme on sait que la puissance rayonnée par l'électron est donnée par on peut en déduire la relation entre E(t) et E(t+dt) on a :



J'obtiens alors :





Comme on suppose que l'orbite de l'électron reste un cercle on a ce qui donne :



Ensuite j'ai supposé que r(t) est pas trop méchante (continue assez régulière etc...) pour dire que (je ne sais pas comment on fait le symbole environ égale à) ce qui me donne :



grâce à la relation il vient :



puis



ensuite j'intègre termes à termes



En utilisant la condition selon laquelle on a :

soit enfin (sans trop de conviction) :



Voilà c'est fini (enfin pas pour longtemps)

Ah oui je précise que pour la charge j'utilise la notation q à la place de e car dans certains bouquins donc pour pas m'embrouiller j'ai préferé prendre q c'était pour la petite histoire...

[.:Spip:.]

le résultat est correct.

Par contre, pour les détails, je pense que tu t'embetes.

moi d'ecrit directement : P=-dE/dt = - dE/dr * dr/dt
dE/dr > ca se calcul en un tour de cuillere.

P depant que de r (en 1/r^4)

et on a r²dr = Grosse constante * dt
à integrer de r_0 à r et 0 à t.

là, on se s'embete pas avec des t et des t+dt

Sinon, c'est bon :P

François

[Magnétar]

En effet, mais après tout pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué (c'est la bonne excuse ça).

Bon enfin le résultat est correct c'est déjà pas trop mal.

J'essaierai de faire la question supplémentaire mais bon avec le peu que je sais sur le rayonnement des particules chargées ça s'annonce difficile.

[russi]

Salut!
j'ai un petit problème c'est que je n'arrive pas à trouver les dispositions géométriques d'un proton et d'un electron pour lesquelles l'énergie potentielle du système est nulle ! Svp aidez moi !

[Lucas_Levrel]

En quelle classe es-tu ? Connais-tu la formule donnant l'énergie potentielle ou le potentiel électrique en fonction de la distance r entre les charges ?