[Maths pour Physique] [L2] opérateurs : grad div rot ...

[invite2c6a0bae]

Bonjour

Pour Benjy (et les autres), un petit entraînement sur les opérateurs.

deux trois petits calculs :
on se donne : et un champ vectoriel quelconque. (M est simplement un point de cooed x,y,z )






Ensuite, on va se prendre un champ scalaire quelconque f(M,t).
on veut calculer df, variation de f au cours d'un déplacement pendant une durée dt.
Soit un champ vectoriel, montrer que


On prend maintenant un ch uniforme.
on prend aussi :
> calculer le gradient et la laplacien de f

Ensuite on prend
> calculer la divergence de a
> calculer le flux de a a travers la sphere de centre o et de rayon R en utilisant Ostrogradski.
Verifier par un calcul direct.

Enfin, un truc un peu plus physique.

On prend un champ de symétrie sphérique autour de O.
sa divergence est nul, son rotationnel aussi (sauf en O : singularité)
montrer que le champ est en 1/r²


voila, je pense que cela fait quelques calculs déjà.

François
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[invitec053041c]

Bonjour.

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La seule chose que je sache faire c'est le premier gradient, je dirais que

Le rotationnel et le div, je n'ai vu que les formules mais tant que je ne sais pas vraiment à quoi ça correspond, je ne vais pas trop m'y aventurer.

[invite2c6a0bae]

oui, c'est ca , donc ca fait

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2r

en résumé
PS, tu as fait en 2D par du cartésien, mais en 3D c'est pareil

[invitec053041c]

D'accord.
Bon d'après la définition de mon cours du rotationnel et du divergent, je dirais que:

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Et j'ai honte pour le dernier car ça me semble bizarre .

J'en avais grandement besoin de ces exos .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Soit un champ vectoriel, montrer que

Il ne manquerait pas un dt ? Sinon j'ai vraiment rien compris .

[invite2c6a0bae]

oui, il manque un dt qui s'est fait la malle, en fait, faut retourner la page du forum, c'est derrière

pourquoi une telle honte dis moi ??

[invite8241b23e]

Salut !

Alors je me lance.

deux trois petits calculs :
on se donne : et un champ vectoriel quelconque. (M est simplement un point de cooed x,y,z )

Bon, je suppose que

Je trouve :





C'est bon ?

[invite2c6a0bae]

salut

alors, le rot, no problem,

le gradient, comme je l'ai dit (mais je sais que tu joues le jeu), on peut dire que c'est

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2r

, mais ce que tu as mis est entierement correct, sauf que l'on peut reprendre les nototations de l'enoncé.

alors le div, je ne suis pas d'accord.
Le point a pour coordonnée

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(x,y,z)

Or la divergence, on prend les projetés sur les axes Ox, Oy, Oz et on somme le tout.

donc si tu projetes ca donne quoi ?

François

[invite8241b23e]

J'ai fait div(r²) !

donc div(r) = 3, c'est ça ?

OK pour le gradient !

[invite2c6a0bae]

yep !!!

[invitec053041c]

J'avais pas de quoi avoir honte alors .

[invite8241b23e]

La suite...

Je trouve :



Par contre, je trouve une expression bizarre : cette expression : donne un scalaire, et un scalaire un peu original. Ce ne serait pas plutôt qu'il faut calculer ?

[invite2c6a0bae]

La suite...Je trouve :



Par contre, je trouve une expression bizarre : cette expression : donne un scalaire, et un scalaire un peu original. Ce ne serait pas plutôt qu'il faut calculer ?

ok pour le laplacien.

non, non, ca se note comme ca, regarde l'eq de navier Stockes, ca se note comme ca, enfin, c'est ce que j'ai toujours ecrit

tu peux déja detailler

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[invite8241b23e]

Oula...

Alors dis moi si j'ai juste :

.

C'est ça ?

[invite88ef51f0]

Non. Ce que tu as écrit, ça serait plutôt . Écris d'abord ce que vaut l'opérateur avant d'essayer de l'appliquer à

[invite8241b23e]

Non. Ce que tu as écrit, ça serait plutôt . Écris d'abord ce que vaut l'opérateur avant d'essayer de l'appliquer à

OK, je crois avoir compris !

Bon, voilà ce que je trouve comme intermédiaire :



Alors ?

[invite88ef51f0]

Nickel !
La dernière étape maintenant !

[invite8241b23e]

Alors je propose :




C'est bon ?

[invite2c6a0bae]

déja, que dois t on avoir comme résultat un sclaire, un vecteur, un éléphant, un benjy ^^ ?

le plus simple encore est de marquer les vecteurs, et l'operateur nabla sous forme de colonne. mais bon ca c'est de la préférence perso.

François

[invite8241b23e]

Oups, on doit obtenir un vecteur !




C'est mieux ?

[invite2c6a0bae]

exact !!!

François

[invite8241b23e]

Question bête : le point dans ne représente pas vraiment un produit scalaire ? Parce que sinon, on devrait avoir ce qui n'est pas le cas...

[invite88ef51f0]

C'est peut-être une notation légèrement arbitraire. Faut voir que c'est un opérateur et pas un vecteur. Mais ça doit se comprendre assez bien pour qu'un matheux qui voit ça puisse se retenir de vomir.

[invite8241b23e]

Soit un champ vectoriel, montrer que

J'avoue que je ne vois pas trop comment commencer...

[invitec053041c]

J'avoue que je ne vois pas trop comment commencer...

Il manque un dt.

En fait le gradient ici se limite aux dimensions spatiales me semble-t-il, d'où le terme en temps ajouté .

[invite2c6a0bae]

En effet, comme le dit Ledescat, tu fais un petit déplacement spatial, puis un déplacement temporel, et il manque bien un dt en effet, sinon, c'est pas trop homogène.

François

[invite8241b23e]

Bon, je me re-lance. Pour commencer, ce que j'écris est-il juste ?

[invite2c6a0bae]

oui, car on ecrit l'opérateur comme ci dessus est en complete les trous par le vecteur A, plus précisément par ses composantes. Tu travailles en ecrivant en vecteur colonne ou pas ? moi je te conseille, comme ce que j'avais ecris plus haut.


François

[invite8241b23e]

Tu travailles en ecrivant en vecteur colonne ou pas ? moi je te conseille, comme ce que j'avais ecris plus haut.

Normalement oui, mais le Latex...

[invite8241b23e]

Je viens de tenter de continuer, mais comme l'expression n'est pas homogène, j'attends de voir quelle vraie expression je dois démontrer !