Calcul de résidu

Quinto · 13/12/2004, 14h30

Salut,
ayant été malade pendant un TP, je me retrouve à refaire celui ci chez moi, mais je bloque sur une petite question, si vous pouviez m'aider ca me serait très utile.

En fait il s'agit juste de calculer l'intégrale de contour de
dz/(exp(z)-1)², sur un contour fermé et simple, contenant 0 (autrement dit l'indice de gamme en 0 est non nul).

Il faut savoir que j'ai déja calculé à la question précédente
dz/(exp(z)-1) sur un contour différent mais ayant les mêmes propriétés.

Je me demande s'il y'a un rapport.

J'ai essayé les développements en série, je n'ai rien trouvé.
J'ai essayé de composer le DSE de 1/(x-1) avec l'exponentielle, et je n'ai rien trouvé.

Il ne me reste plus que le calcul direct sur les contours, mais je ne suis vraiment pas sur d'aboutir, et surtout c'est lourd et sans interet, j'imagine qu'on s'en sort autrement... si quelqu'un avait une idée...
Je suis sur qu'on peut s'en sortir, moyennant une dérivation de quelque chose par rapport à l'intégrale précédente...

Quinto · 13/12/2004, 15h32

Voilà à peu près dans quelle direction je cherche
on cherche l'intégrale de contour de 1/(e^z-1)² sur un contour fermée simple contenant 0.

Posons f(z)=-1/(exp(z)-1)
on a f'(z)=-exp(z)/(exp(z)-1)²
ainsi f'(z)exp(-z)=-1/(exp(z)-1)²

Et la je ne sais pas aboutir...
Peut etre en faisant tout passer a gauche, en développant en série de Laurent et en identifiant les coefficients...
je vais chercher de ce coté...

martini_bird · 13/12/2004, 17h27

Salut Quinto,

il y a peut-être plus simple, mais voilà ce que je te propose:

$f(z)=\frac{1}{e^z-1}=\frac{1}{z}\frac{1}{1+(\fra {z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+...)}= \frac{1}{z}-\frac{1}{2}+o(z)$

On a donc a_-1=1 et a₀=-1/2 dans le développement
$\displaystyle{f(z)=\sum_{n\geq-1}a_nz^n}$

Ensuite,
$\displaystyle{f(z)^2=\sum_{n \geq -2}(\sum_{i+j=n}a_ia_j)z^n}$
et pour connaître le résidu il suffit d'additionner a_-1a₀+a₀a_-1=-1.

Cordialement.

Quinto · 13/12/2004, 17h57

Salut,
merci martini bird.
C'est une belle méthode en effet.

En fait entre temps, j'ai trouvé de mon coté, je suis allé cherché trop loin:

f(z)=1/(exp(z)-1)² <-> f(z)(exp(z)-1)²=1

La je fais un peu comme toi, je pose que
f(z)=a(-2)/z²+a(-1)/z+a(0)+.....
(j'ai en effet un pole d'ordre 2)
je calcule (exp(z)-1)²=(exp^(2z)-2exp(z)+1) dont le développement de Taylor en 0 commence par 2²z²/2-2z²/2=z²

ainsi je trouve que a(-2) vaut forcément 1.

et ensuite je continuais il me semble, et je trouvais bien a(-1)=-1 (bien que maintenant ca me semble tiré par les cheveux, ca marchait sur le papier...)
Cependant ta méthode est bien entendue bien meilleure

Merci beaucoup.