Intégrales peu sympathiques

**invite1237a629** · 01/04/2008, 23h38

Plop,

Alors, je ne sais pas si certaines ont des solutions, je sais que d'autres en ont.

Amusez-vous bien :P

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Trouver :

$\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$

Bonne chance !

P.S. : pas de devoir maison à la clé ~> de la simple curiosité

**rajamia** · 01/04/2008, 23h41

tout ça!!!!!!!!!!!

**Bleyblue** · 01/04/2008, 23h51

C'est trop fun

!
Le genre de choses avec lesquelles je m'amusais il y a deux ou trois ans.

J'en vois une qui ne me semble pas avoir de solution.

**invite35452583** · 01/04/2008, 23h59

Envoyé par MiMoiMolette

$\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$

Pour lxl<1,
en regroupant les coefficients facteurs de (x/2)^p pour p fixé, on obtient $\text{[math]}$ .
La famille des $\text{[math]}$ est donc sommable et de somme $\text{[math]}$ .
Pour x entre -2 et -1 on a au mieux une semi-convergence donc il faudrait préciser l'ordre de la sommation.

Les autres je les laisse (je soupçonne les 1ère, 3ème et 4ème d'être sans solution dans les fonctions usuelles, la 2ème ?. Maintenant on arrive peut-être à calculer la 2ème et la 4ème sans primitive explicite).

EDIT : les mathématiques restent ludiques malgré tout.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Bleyblue** · 02/04/2008, 00h07

Envoyé par homotopie

les mathématiques restent ludiques malgré tout.

A mon avis elles devraient rester ludiques avant tout, sous peine de voir de moins en moins de jeunes s'y intéresser (peu de gens sont du même avis que moi, je suis persuadé que c'est vrai pourtant

)

invite57a1e779 · 02/04/2008, 00h19

Envoyé par MiMoiMolette

$\text{[math]}$

Je ne pense pas que ce soit calculable à l'aide des fonctions usuelles.

Envoyé par MiMoiMolette

$\text{[math]}$

Se calcule en développant $\text{[math]}$ en série entière.

Envoyé par MiMoiMolette

$\text{[math]}$

Par changement de variable, se ramène à la fonction d'erreur de Gauss.

Envoyé par MiMoiMolette

$\text{[math]}$

Par changement de variable, se ramène à la fonction $\text{[math]}$ .

Envoyé par MiMoiMolette

Trouver :
$\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$

C'est un bête développement en série double de $\text{[math]}$

**invite35452583** · 02/04/2008, 00h48

Envoyé par Bleyblue

A mon avis elles devraient rester ludiques avant tout, sous peine de voir de moins en moins de jeunes s'y intéresser (peu de gens sont du même avis que moi, je suis persuadé que c'est vrai pourtant

)

Pour ma part je suis d'accord.

Mais je faisais référence à une demande d'aide pour le calcul d'une intégrale postée par erreur dans "sciences ludiques" sur lequel Mimoilette et moi sommes intervenus.

**invite1237a629** · 03/04/2008, 09h22

homotopie : en effet, mais c'est bien plus ludique de les poser ici que là-bas

God's breath :

Par changement de variable, se ramène à la fonction d'erreur de Gauss.

Pourrais-tu m'en dire plus, please ? :P

C'est un bête développement

Je dois être bête, je ne vois pas

invitebb921944 · 03/04/2008, 10h07

En gros tu développes les deux produits de God's Breath en série entière, puis tu calcules le produit des deux sommes (si j'ai bien compris)

invitebb921944 · 03/04/2008, 10h31

Enfin ça doit pas être ça parce que j'ai beau essayer je n'y arrive pas...

invitebb921944 · 03/04/2008, 10h43

Pour intégrale de 0 à 1 de ln(x)ln(1-x), j'arrive à :
$\text{[math]}$ et je ne vois pas....

invitebb921944 · 03/04/2008, 11h02

Pour la 4, je trouve racine de Pi par la méthode de God's Breath.
Sinon on connait des valeurs de la fonction erreur de gauss ?

**Bleyblue** · 03/04/2008, 12h58

Il y a aussi :

$\text{[math]}$

qui peut-être amusante à calculer (je sais que c'est possible).

invite57a1e779 · 03/04/2008, 13h29

Envoyé par MiMoiMolette

God's breath :

$\text{[math]}$
Par changement de variable, se ramène à la fonction d'erreur de Gauss.

Pourrais-tu m'en dire plus, please ? :P

Je pose bêtement $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ .
Et je sais que cette intégrale se simplifie en posant $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ ,
qui s'exprime à l'aide du prolongement analytique dans le plan complexe de la fontion d'erreur de Gauss.

invite57a1e779 · 03/04/2008, 13h48

Envoyé par MiMoiMolette

Trouver :

$\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$

God's breath : C'est un bête développement en série double de $\text{[math]}$

Je dois être bête, je ne vois pas

Pour $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .
De là $\text{[math]}$ , et on peut développer $\text{[math]}$ en série entière pour $\text{[math]}$ ...
Mais la sommabilité de la famille double n'est assurée que pour $\text{[math]}$ ainsi que l'a fait remarquer homotopie/

inviteaf1870ed · 03/04/2008, 14h17

Envoyé par God's Breath

Je pose bêtement $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ .
Et je sais que cette intégrale se simplifie en posant $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ ,
qui s'exprime à l'aide du prolongement analytique dans le plan complexe de la fontion d'erreur de Gauss.

On pouvait aussi poser directement $\text{[math]}$ d'où 2u du= dx/x et le résultat
$\text{[math]}$

**invite35452583** · 03/04/2008, 14h33

Envoyé par MiMoiMolette

homotopie : en effet, mais c'est bien plus ludique de les poser ici que là-bas

En effet.

Envoyé par Bleyblue

Il y a aussi :

$\text{[math]}$

qui peut-être amusante à calculer (je sais que c'est possible).

Ça devient trop ludique pour moi.

invite57a1e779 · 03/04/2008, 14h57

Envoyé par Ganash

Pour intégrale de 0 à 1 de ln(x)ln(1-x), j'arrive à :
$\text{[math]}$ et je ne vois pas....

Une petite dose de décomposition en éléments simples :
$\text{[math]}$ .

invite57a1e779 · 03/04/2008, 15h21

Envoyé par Bleyblue

Il y a aussi :

$\text{[math]}$

qui peut-être amusante à calculer (je sais que c'est possible).

Il faut faire intervenir les intégrales eulériennes :
Avec $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ .

Cette relation est symétrique en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc :
$\text{[math]}$ , ou encore
$\text{[math]}$ .

On peut aussi intégrer par parties l'intégrale obtenue en $\text{[math]}$ pour en montrer la symétrie en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**Bleyblue** · 03/04/2008, 16h01

Diable, tu es vraiment balaise God's Breath

bravo

invite57a1e779 · 03/04/2008, 16h18

Envoyé par Bleyblue

Diable, tu es vraiment balaise God's Breath

C'est simplement des réflexes acquis après des lustres de calcul d'intégrales.

C'est pourquoi, dans un message précédent, je propose les deux changements de variables successifs $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ . Chacun d'eux me rapproche d'une intégrale connue. Il est bien évident que dans un texte "muri pour publication", je proposerai directement $\text{[math]}$ ...

inviteaf1870ed · 03/04/2008, 17h28

Envoyé par God's Breath

C'est simplement des réflexes acquis après des lustres de calcul d'intégrales.

C'est pourquoi, dans un message précédent, je propose les deux changements de variables successifs $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ . Chacun d'eux me rapproche d'une intégrale connue. Il est bien évident que dans un texte "muri pour publication", je proposerai directement $\text{[math]}$ ...

Dans ce dernier cas le changement u=sqr(ln(x)) est quand même assez tentant tout de suite, non ?

**invite1237a629** · 03/04/2008, 20h35

Ça m'intéresserait de trouver des méthodes pour approfondir les calculs d'intégrale !

Juste des mots-clés ou des méthodes ou encore des "réflexes" comme penser aux changements de variables, savoir quand l'intégrale n'est pas exprimable en fonctions usuelles...

Ou même un rappel sur le changement d'intégrale à somme

Pour e^(u²) on ne connaît pas de primitive, mais on connaît l'intégrale entre - l'infini et + infini, c'est ça ?

Mici pour les précisions, vais essayer de démêler tout cela ^^

inviteaf1870ed · 04/04/2008, 17h54

A mon humble avis, l'intégrale entre -inf et +inf de e^u² n'est pas trop définie

Par contre celle de e^-u² est archi-connue

**Bleyblue** · 05/04/2008, 12h57

Pour e^(u²) on ne connaît pas de primitive, mais on connaît l'intégrale entre - l'infini et + infini, c'est ça ?

Et on calcul ça avec des intégrales doubles et c'est très joli.

En passant quelqu'un sait s'il y a moyen de calculer cette intégrale en intégrant dans $\text{[math]}$ ?
L'idéal serait d'essayer mais ...

**Bleyblue** · 05/04/2008, 13h00

savoir quand l'intégrale n'est pas exprimable en fonctions usuelles...

Ca ca vient tout seul en calculant des tonnes d'intégrales durant des années

Sinon se souvenir de cas typique tels que :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

**invite1237a629** · 20/04/2008, 12h07

Tiens, petit up pour une intégrale !

Après, faut encore que je relise tous les posts :s sorry pour le manque de réaction

$\text{[math]}$

La solution peut tenir en deux ou trois lignes

invite57a1e779 · 20/04/2008, 12h34

Envoyé par MiMoiMolette

Tiens, petit up pour une intégrale !

Après, faut encore que je relise tous les posts :s sorry pour le manque de réaction

$\text{[math]}$

La solution peut tenir en deux ou trois lignes

un petit changement de variable en $\text{[math]}$ ...

**invite1237a629** · 20/04/2008, 12h41

Roooh il est mignon celui-là !

Bon, reste à savoir pourquoi je ne trouve pas le même résultat entre les deux méthodes

Un déjeuner me permettra d'y réfléchir

Sinon, il y a une méthode sans changement de variable

invite57a1e779 · 20/04/2008, 12h57

Envoyé par MiMoiMolette

Tiens, petit up pour une intégrale !

Après, faut encore que je relise tous les posts :s sorry pour le manque de réaction

$\text{[math]}$

La solution peut tenir en deux ou trois lignes

Le plus élégant :
une primitive de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$
une primitive de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$
donc une primitive de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$
et en prime, une primitive de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$

Sinon :
$\text{[math]}$ facile à primitiver...

Ou encore ma première proposition, moins courante,
$\text{[math]}$ facile à primitiver...

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