zéro puissance zéro

[Phys2]

J'ai dans le livre des frères Bogdanov, que zéro puissance zéro est égale à un !!!!!
Pourtant on m'a toujours apris que c'est une erreur mathématique.
Qu'en pensez-vous ?

[Flyer_999]

Bonjour,
et oui 0^0 est égal à 1.
(0^0 replaced by 1) c'est ce qui sera marqué sur la calculatrice.
Le pourquoi, je ne sais pas, mais cela est juste.

[g_h]

Si la calculette te prévient, c'est justement que 0⁰ n'est pas réellement défini
(c'est ce que l'on m'a appris en cours en tous cas...)

[Gwyddon]

En fait, le statut de 0^0 est un statut assez particulier.

On peut définir ce nombre, et force est de constater que l'on peut le définir comme on le souhaite, sans remettre en cause les axiomes de base (généralement on se place dans l'axiomatique de Zermelo-Frankel).

Usuellement, la convention prend 0^0=1 ; mais rien ne nous empêche de prendre aussi 0^0=0 (c'est rare).

Sur cette question très passionnante, je vous renvoie à la FAQ du forum usenet sci.maths.fr

@+

Julien

[Phys2]

OK, merçi.

[rondcarré]

formellement 0^0 = exp[0log(0)] mais log(0) c'est absurde ! C'est dc bien une convention !

[shokin]

On peut aussi dire 0^0=infini ?

Shokin

[Gwyddon]

Citation:

Posté par rondcarré

formellement 0^0 = exp[0log(0)] mais log(0) c'est absurde ! C'est dc bien une convention !

Oui et non.

Par exemple (-1)^2 = 1 mais (-1)^2 ne s'écrit pas exp(2 ln (-1))...

On pourrait aussi écrire, ayant 0^n=0 pour tout n différent de 0, que 0^0=0 (par "continuité")

Mais on a aussi n^0=1 pour tout n différent de 0, donc pourquoi pas 0^0=1 ?

On a aussi x^x= exp (x ln x) pour x réel supérieur strict à 0. Or l'on sait que donc par continuité de l'exponentielle. On pourrait donc poser, pourquoi pas, 0^0=1.

Tout est donc possible

[r j r]

bonjour,

a^m / a^n = a^(m-n) = résul . seule condition a^n non nul.
exp :
2^3 / 2² = 2.2.2 / 2.2 = 2 = 2^(3-2)

3 cas possibles :
- m > n => pas de pb. (m-n > 0)
- m < n => exp :
2² / 2^3 = 2.2 / 2.2.2 = 1 / 2 = 2^(-1)
=> résul = a^(m-n) avec m-n < 0 (négatif)
d'ou les puissances négatives du type : 1 / a = a^(-1)

- m = n => m - n = 0
a^m / a^n = a^(m-n) = a^0 = 1
exp :
a.a.a.a / a.a.a.a = 1 = a^0 <= m = n = 3
rappel - seule condition : a non nul.
bonne lecture.

[rondcarré]

Citation:

Posté par 09Jul85

Oui et non.

i] Par exemple (-1)^2 = 1 mais (-1)^2 ne s'écrit pas exp(2 ln (-1))...

ii] On pourrait aussi écrire, ayant 0^n=0 pour tout n différent de 0, que 0^0=0 (par "continuité")

iii] Mais on a aussi n^0=1 pour tout n différent de 0, donc pourquoi pas 0^0=1 ?

iV]On a aussi x^x= exp (x ln x) pour x réel supérieur strict à 0. Or l'on sait que donc par continuité de l'exponentielle. On pourrait donc poser, pourquoi pas, 0^0=1.

Tout est donc possible

salut!
i] 0>=0 que je sâche !
ii] :
iii] :
iV] mieux

[r j r]

merçi pour l'info FAQ du forum usenet sci.maths.fr
j'irai voir ce qu'ils en disent.

Ceci dit a^0 = 1 = a^(m-n) avec m = n & donc m-n = 0
mais 0^0 revient à diviser 0 par zéro
je peux diviser 0 par n'importe quel nb,
mais diviser 0 par 0 n'a pas de signification mathématique.
Peut'on lui attribuer une valeur arbitraire ? peut être, mais quel intêret ?

[rondcarré]

pour iii], n^0 = 1 s'explique très bien car n^0 = exp[0log(n)] = exp(0) = 1, pour tout n>0.
mais si n=0 on tombe sur log(0) qui n'est pas défini !

[Coincoin]

Salut,

Citation:

Peut'on lui attribuer une valeur arbitraire ? peut être, mais quel intêret ?

Oui, on peut... et l'intérêt est de faire ça intelligement de façon à retrouver le comportement limite de certaines fonctions. Ainsi, la fonction x->x^x tend vers 1 quand x tend vers 0 (car xln(x) tend vers 0). On aurait donc pu prendre comme convention 0⁰=17,3, mais ça aurait pas été très très pratique : x^x n'aurait pas été continue en 0, par exemple...

[rondcarré]

salut!

mais si on pose que 0^0 = 1 alors par exple,

2^[0^0] = 2^1 = 2 = [2^0]^0 = 1^0 = 1 impossible !

[rondcarré]

euh non c faux ce que je dit !
[2^0]^0 <> 2^[0^0] of course !


si 0^0 = 0 alors 0^[0^0] = 0^0 = 0
si 0^0 = 1 alors 0^[0^0] = 0^1 = 0

euh alors c'est quoi la réponse au final :

[Gwyddon]

Citation:

Posté par rondcarré

salut!
i] 0>=0 que je sâche !
ii] :
iii] :
iV] mieux

i] tu prenais comme exemple exp(0 log 0) et tu expliques que c'est pas bien parce que log 0 n'existe pas ; je te montrais que cela n'est pas super pédagogique, car on peut prendre l'exemple que je donne, où log(-1) n'existe pas plus que log(0) (bon d'accord, on peut me rétorquer que log(-1) existe dans ...) et pourtant (-1)^2 = 1 a un sens.

ii] et iii] me paraissent très clairs, où est ton problème ? Je voulais seulement faire passer le message que si on s'interesse à la valeur de 0^0, on peut déjà s'interesser au comportement de a^b avec a et b entiers non tous nuls.

Si on prend a =0 on a toujours 0^b=0, ce qui peut nous pousser à généraliser à 0^0=0.

Si on prend b=0 on a toujours a^0=1, ce qui peut tout aussi bien nous pousser à généraliser à 0^0=1.

Ce n'est bien entendu pas rigoureux...

[Quinto]

0^0 ne se défini pas simplement car (x,y)->x^y n'est pas continue en 0.

[Quinto]

"bon d'accord, on peut me rétorquer que log(-1) existe dans ..."

Je n'ai jamais vue de construction qui prenait que log(-1) existait.
En fait c'est possible, mais pas naturellement car il faut faire une coupure dans le plan complexe.
Un spécialiste du sujet est je crois, mathias sur le forum.
martini bird pourrait également en dire plus.

Il me semble que l'on peut définir le log de tout nombre en passant par les variétés différentielles...