Methode de resolution d'un systeme de 3 equations à 3 inconnus par le determinant

yaqawi · 01/12/2005, 08h59

Salut à tous .J'ai un probleme en mathematiques,notamment,je ne maitrise pas les methodes de resolutions d'un systeme de 3 equations à 3 inconnus.Les methodes par addition substitution et la methodes de Gauss me paraissent difficiles.Comment donc utiliser la methode par determinant.Merci!

GuYem · 01/12/2005, 09h15

Salut.

La méthode du determinant comme tu dis n'existe pas! (enfin pas à ma connaissance)

Le fait de calculer le déterminant du système te dit simplement à l'avance si le système aura une solution unique ou pas. Ce qui est déjà trés bien!

**matthias** · 01/12/2005, 09h16

Fais une recherche sur "système de Cramer" tu devrais trouver ce qui t'intéresse. Mais en soi, ça n'est pas plus simple qu'une méthode par addition substitution ou par pivots de Gauss. A ta place je m'entrainerais à la méthode d'addition substitution d'abord, il faut savoir la maîtriser de toute façon. La méthode de Cramer est surtout intéressante d'un point de vue théorique.

aze555666 · 01/12/2005, 19h19

tu utilises les formules de cramer.
pour un systeme de 2 équations,
ax+by=e
cx+dy=f
on a x=det((e,f),(b,d))/det((a,c),(b,d))
et y=det((a,c),(e,f))/det((a,c),(b,d))
on remarque que le dénominareur est toujours le même, et qu'au dénominateur, idem, mais en remplaçant le couple des constantes qui sont devant la variable cherché dans l'équation par celui des constantes après le =.
donc pour 3 équation, ça doit être du même style. mais je ne sais pas comment on fait avec le déterminant de 3 vecteurs à 3 dimensions, c'est le programme de math spé. Mais si tu le connais, copies la méthode.

sinon, pour la méthode par substitution, tu prends ton systeme, et avec une méthode rigoureuse, c'est assez simple.
-tu calcules dans la 1ere une des variables en fonction des autres
-tu remplaces dans les suivantes
-dans la 2eme, tu as une variable en moins. tu en calcule une autre en fonction des autres, et tu remplace dans les équations suivantes (mais pas la premiere.)
-dans la 3eme, tu calcules une 2eme variable en fonction des autres. Dans ton cas, tu trouve, par exemple, le z, et tu n' plus qu'a calculer le y en fonction du z dans la 2eme équation, puis le x en fonction de y et z dans la 1ere. mais je continue, pour montrer la méthode avec n équation à n inconnues.
-tu arrives à la 4eme équation, tu recommence comme à chaque fois: tu calcules une 4eme variable en fonction des autres, tu remplace dans les équations suivantes.
....
à un moment donné, tu arrives à la dernier équation, il ne reste plus qu'une variable. tu la calcules, et tu remonte tes équations une par une pour avoir les autres .
évidemment, dans cette méthode, quand je parle de prendre l'équation m du systeme, il s'agit de celle modifiée par la manipulation avec chacune des équations précédentes, ce qui permet que la derniere n'ait plus qu'une variable.
cette méthode permetde bien résoudre le systeme, méthodiquement, et sans se prendre la tête. bien réécrire à chaque fois ton systeme. au Nieme recopiage, tu recopie les n-1 1eres équations telles quelles, la nieme avec la variable machin en fonction des autres, et les suivantes en remplaçant la variable calculées dans la nieme par la valeur trouvée en fonction des variables restantes.
voila, j'espere que j'ai été assez clair. il va de soi que ce serait plus simple sur un exemple

mais évidemment, les formules de Cramer sont sans doute plus éfficaces.