[RG] Anti de Sitter

[invitef591ed4b]

Bonjour,

Je cherche à montrer que l'espace Anti de Sitter (AdS₃) défini dans l'espace de Minkowski comme étant l'ensemble des points (x⁰, x¹, x², x³) tels que :

-(x⁰)²+(x¹)²+(x²)²+(x³)² = -1 (*)

est isomorphe au groupe des matrices 2x2 de déterminant 1 (noté SL₂(lR)). Je tente de chipoter l'expression du déterminant d'une matrice A :

det A = ad - bc = 1

où a,b,c,d sont ses composantes, mais j'ai du mal à en tirer une expression similaire à (*) ... (PS : J'ignore ce qu'est un espace Anti de Sitter en-dehors de sa définition ci-dessus, le prof m'a balancé dans le sujet sans trop me ménager ...).
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[invite79aadfd3]

Bonjour,

Je cherche à montrer que l'espace Anti de Sitter (AdS₃) défini dans l'espace de Minkowski comme étant l'ensemble des points (x⁰, x¹, x², x³) tels que :

-(x⁰)²+(x¹)²+(x²)²+(x³)² = -1 (*)

est isomorphe au groupe des matrices 2x2 de déterminant 1 (noté SL₂(lR)). Je tente de chipoter l'expression du déterminant d'une matrice A :

det A = ad - bc = 1

où a,b,c,d sont ses composantes, mais j'ai du mal à en tirer une expression similaire à (*) ... (PS : J'ignore ce qu'est un espace Anti de Sitter en-dehors de sa définition ci-dessus, le prof m'a balancé dans le sujet sans trop me ménager ...).

a = x_0 + x_3
d = x_0 - x_3
b = x_2 + i x_3
c = x_2 - i x_3

[invitef591ed4b]

Les composantes a,b,c,d sont censées être réelles ... (de plus, ta proposition n'est pas correcte : où est x¹ ?).

[invitea29d1598]

salut

question en passant : tu es sûr que c'est AdS dont tu as donné la métrique ? je suis pas expert, mais pour ce que j'en ai vu en physique, on le définit plutôt comme un hyperboloïde dans un espace de dimension (d+1) mais avec 2 coordonnées du genre temps... [c'est De Sitter qui est plongé dans un vrai Minkowski]

c'est-à-dire que je verrais bien un - devant ton x³ ce qui te permettrait d'utiliser deux combinaisons (a-b)(a+b)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef591ed4b]

Dans mes notes (prises lors d'un briefing oral ...), il s'agit bien de l'espace AdS de dimension 3 (défini dans un espace de dim 4, qui est ici lR⁴ muni de la métrique plate).

Le prof a tout simplement désigné par AdS₃ la "sphère" de rayon -1 (pour la métrique plate) de lR⁴. Rigoureusement parlant, je dois chercher à comprendre cet isomorphisme-ci :






Il s'agit en fait d'étudier une partie connexe de AdS₃ qui, après avoir quotienté par un certain sous-groupe du groupe d'isométries de AdS₃, se révèle être un trou-noir causal.

[invitea29d1598]

Il s'agit en fait d'étudier une partie connexe de AdS₃ qui, après avoir quotienté par un certain sous-groupe du groupe d'isométries de AdS₃, se révèle être un trou-noir causal.

un peu comme vers la page 10 de cet article donc...

[edit] si tu lis tout l'article ton prof va têt pas être content alors si tu dois faire tes preuves sur ça

[invitef591ed4b]

Le latex est bizarre ici ... bref, le truc que je dois comprender, c'est :



(c'est pas ddet, mais det tout court ... jsais pas pq c'est affiché comme ça)

[invitea29d1598]

Le latex est bizarre ici ...

c'est pas du vrai Latex et ça reste un peu aléatoire à mes yeux comme truc

ps : ton "chef" il serait pas dans les auteurs de la réf que je t'ai indiquée par hasard ?

[edit] pour tenter d'illustrer pourquoi AdS fait parler de lui :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_anti_de_Sitter

http://homepage.mac.com/photomorphos...ments/qpdf.pdf

[invitef591ed4b]

un peu comme vers la page 10 de cet article donc...

C'est bizarre parce qu'apparemment, il s'agit exactement de ça ... à la différence près que dans cet article (et comme ailleurs sur le net, en fait), l'espace AdS est défini sur base d'une métrique (--++) (2 signes -), et non à partir de la métrique plate (-+++) ...

Mmm ... faudrait que je demande à mon prof. C'est peut-être une attrape pour que je constate que c'est pas possible !

ps : ton "chef" il serait pas dans les auteurs de la réf que je t'ai indiquée par hasard ?

Non, par contre un des auteurs a été mon prof de RG (Marc Henneaux). En tout cas, ils sont de la même unif et se connaissent très probablement).

[invitea29d1598]

l'espace AdS est défini sur base d'une métrique (--++) (2 signes -), et non à partir de la métrique plate (-+++) ...

celui avec "un seul temps" c'est dS...

Non, par contre un des auteurs a été mon prof de RG (Marc Henneaux). En tout cas, ils sont de la même unif et se connaissent très probablement).

vue ta localisation c'était probable

[invitef591ed4b]

Je vois ... aurais-tu quelques références pour une introduction générale aux espaces dS et AdS ? Ne serait-ce que pour avoir des définitions autres que mes pauvres notes manuscrites

[invitef591ed4b]

Question : une représentation (en 2D) de AdS₃ que j'ai notée est celle d'un hyperboloïde à une nappe :

Est-ce dS, AdS ou les deux ?

[invite79aadfd3]

Bonjour,

votre definition correspond a dS_3 et non AdS_3. Pour dS_3, on peut le voir comme un sous ensemble de SL_2(C) (en fait les quaternions), avec (desole pour la typo tout-a-l'heure), et avec les bonnes conventions de signes de la metrique,
a = x_0 + x_3
d = x_0 - x_3
b = x_1 + i x_2
c = x_1 - i x_2

Pour AdS_3, l'equation est bien x_0^2 + x_1^2 - x_2^2 - x_3^3 = +/- 1, qui peut trivialement se representer sous la forme ad - bc = 1, avec
a = x_0 + x_2
d = x_0 - x_2
b = x_3 - x_1
c = x_3 + x_1
ce qui est bien SL_2(R)
SL_2(C) complet (enfin, quotiente par Z_2) intervient de memoire pour le groupe des isometries de H_3

[invitef591ed4b]

Grand merci alain_r, cela semble éclaircir le flou qui entourait ma question, et surtout mes définitions.

[invite79aadfd3]

[...]
[edit] pour tenter d'illustrer pourquoi AdS fait parler de lui :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_anti_de_Sitter
[...]

Une chance que j'aie rajoute ca hier soir !

[mtheory]

Question : une représentation (en 2D) de AdS₃ que j'ai notée est celle d'un hyperboloïde à une nappe :

Est-ce dS, AdS ou les deux ?

ça c'est dS, AdS il faut basculer l'hyperboloide horizontalement de manière à avoir le temps qui devient cyclique !
En fait, quand on veut l'utiliser comme modèle cosmologique ou que l'on veut éviter cette propriétée de cyclicité de temps, on "coupe" l'hyperboloïde horizontalement et on déplit!
Cela revient à prendre le recouvrement universel si je me souviens bien.

[mtheory]

Plein de trucs sur la géométrie de AdS ici p36 et suivantes.

http://xxx.soton.ac.uk/PS_cache/hep-...05/9905111.pdf

[mtheory]

J'ai retrouvé THE référence simple in french

http://elbereth.obspm.fr/~cailleri/a...mie/mald_v1.ps

très bien fait !