[RG] Anti de Sitter
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[RG] Anti de Sitter



  1. #1
    Sephi

    [RG] Anti de Sitter


    ------

    Bonjour,

    Je cherche à montrer que l'espace Anti de Sitter (AdS3) défini dans l'espace de Minkowski comme étant l'ensemble des points (x0, x1, x2, x3) tels que :

    -(x0)2+(x1)2+(x2)2+(x3)2 = -1 (*)

    est isomorphe au groupe des matrices 2x2 de déterminant 1 (noté SL2(lR)). Je tente de chipoter l'expression du déterminant d'une matrice A :

    det A = ad - bc = 1

    où a,b,c,d sont ses composantes, mais j'ai du mal à en tirer une expression similaire à (*) ... (PS : J'ignore ce qu'est un espace Anti de Sitter en-dehors de sa définition ci-dessus, le prof m'a balancé dans le sujet sans trop me ménager ...).

    -----

  2. #2
    alain_r

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Citation Envoyé par Sephi Voir le message
    Bonjour,

    Je cherche à montrer que l'espace Anti de Sitter (AdS3) défini dans l'espace de Minkowski comme étant l'ensemble des points (x0, x1, x2, x3) tels que :

    -(x0)2+(x1)2+(x2)2+(x3)2 = -1 (*)

    est isomorphe au groupe des matrices 2x2 de déterminant 1 (noté SL2(lR)). Je tente de chipoter l'expression du déterminant d'une matrice A :

    det A = ad - bc = 1

    où a,b,c,d sont ses composantes, mais j'ai du mal à en tirer une expression similaire à (*) ... (PS : J'ignore ce qu'est un espace Anti de Sitter en-dehors de sa définition ci-dessus, le prof m'a balancé dans le sujet sans trop me ménager ...).

    a = x_0 + x_3
    d = x_0 - x_3
    b = x_2 + i x_3
    c = x_2 - i x_3

  3. #3
    Sephi

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Les composantes a,b,c,d sont censées être réelles ... (de plus, ta proposition n'est pas correcte : où est x1 ?).

  4. #4
    Rincevent

    Re : [RG] Anti de Sitter

    salut

    question en passant : tu es sûr que c'est AdS dont tu as donné la métrique ? je suis pas expert, mais pour ce que j'en ai vu en physique, on le définit plutôt comme un hyperboloïde dans un espace de dimension (d+1) mais avec 2 coordonnées du genre temps... [c'est De Sitter qui est plongé dans un vrai Minkowski]

    c'est-à-dire que je verrais bien un - devant ton x³ ce qui te permettrait d'utiliser deux combinaisons (a-b)(a+b)...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Sephi

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Dans mes notes (prises lors d'un briefing oral ...), il s'agit bien de l'espace AdS de dimension 3 (défini dans un espace de dim 4, qui est ici lR4 muni de la métrique plate).

    Le prof a tout simplement désigné par AdS3 la "sphère" de rayon -1 (pour la métrique plate) de lR4. Rigoureusement parlant, je dois chercher à comprendre cet isomorphisme-ci :






    Il s'agit en fait d'étudier une partie connexe de AdS3 qui, après avoir quotienté par un certain sous-groupe du groupe d'isométries de AdS3, se révèle être un trou-noir causal.
    Dernière modification par Sephi ; 26/01/2007 à 18h27.

  7. #6
    Rincevent

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Citation Envoyé par Sephi Voir le message
    Il s'agit en fait d'étudier une partie connexe de AdS3 qui, après avoir quotienté par un certain sous-groupe du groupe d'isométries de AdS3, se révèle être un trou-noir causal.
    un peu comme vers la page 10 de cet article donc...

    [edit] si tu lis tout l'article ton prof va têt pas être content alors si tu dois faire tes preuves sur ça
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  8. #7
    Sephi

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Le latex est bizarre ici ... bref, le truc que je dois comprender, c'est :



    (c'est pas ddet, mais det tout court ... jsais pas pq c'est affiché comme ça)

  9. #8
    Rincevent

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Citation Envoyé par Sephi Voir le message
    Le latex est bizarre ici ...
    c'est pas du vrai Latex et ça reste un peu aléatoire à mes yeux comme truc

    ps : ton "chef" il serait pas dans les auteurs de la réf que je t'ai indiquée par hasard ?

    [edit] pour tenter d'illustrer pourquoi AdS fait parler de lui :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_anti_de_Sitter

    http://homepage.mac.com/photomorphos...ments/qpdf.pdf
    Dernière modification par Rincevent ; 26/01/2007 à 18h48.
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  10. #9
    Sephi

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    un peu comme vers la page 10 de cet article donc...
    C'est bizarre parce qu'apparemment, il s'agit exactement de ça ... à la différence près que dans cet article (et comme ailleurs sur le net, en fait), l'espace AdS est défini sur base d'une métrique (--++) (2 signes -), et non à partir de la métrique plate (-+++) ...

    Mmm ... faudrait que je demande à mon prof. C'est peut-être une attrape pour que je constate que c'est pas possible !


    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    ps : ton "chef" il serait pas dans les auteurs de la réf que je t'ai indiquée par hasard ?
    Non, par contre un des auteurs a été mon prof de RG (Marc Henneaux). En tout cas, ils sont de la même unif et se connaissent très probablement).
    Dernière modification par Sephi ; 26/01/2007 à 18h48.

  11. #10
    Rincevent

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Citation Envoyé par Sephi Voir le message
    l'espace AdS est défini sur base d'une métrique (--++) (2 signes -), et non à partir de la métrique plate (-+++) ...
    celui avec "un seul temps" c'est dS...

    Non, par contre un des auteurs a été mon prof de RG (Marc Henneaux). En tout cas, ils sont de la même unif et se connaissent très probablement).
    vue ta localisation c'était probable
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  12. #11
    Sephi

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Je vois ... aurais-tu quelques références pour une introduction générale aux espaces dS et AdS ? Ne serait-ce que pour avoir des définitions autres que mes pauvres notes manuscrites

  13. #12
    Sephi

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Question : une représentation (en 2D) de AdS3 que j'ai notée est celle d'un hyperboloïde à une nappe :


    Est-ce dS, AdS ou les deux ?

  14. #13
    alain_r

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Bonjour,

    votre definition correspond a dS_3 et non AdS_3. Pour dS_3, on peut le voir comme un sous ensemble de SL_2(C) (en fait les quaternions), avec (desole pour la typo tout-a-l'heure), et avec les bonnes conventions de signes de la metrique,
    a = x_0 + x_3
    d = x_0 - x_3
    b = x_1 + i x_2
    c = x_1 - i x_2

    Pour AdS_3, l'equation est bien x_0^2 + x_1^2 - x_2^2 - x_3^3 = +/- 1, qui peut trivialement se representer sous la forme ad - bc = 1, avec
    a = x_0 + x_2
    d = x_0 - x_2
    b = x_3 - x_1
    c = x_3 + x_1
    ce qui est bien SL_2(R)
    SL_2(C) complet (enfin, quotiente par Z_2) intervient de memoire pour le groupe des isometries de H_3

  15. #14
    Sephi

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Grand merci alain_r, cela semble éclaircir le flou qui entourait ma question, et surtout mes définitions.

  16. #15
    alain_r

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    [...]
    [edit] pour tenter d'illustrer pourquoi AdS fait parler de lui :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_anti_de_Sitter
    [...]
    Une chance que j'aie rajoute ca hier soir !

  17. #16
    mtheory

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Citation Envoyé par Sephi Voir le message
    Question : une représentation (en 2D) de AdS3 que j'ai notée est celle d'un hyperboloïde à une nappe :


    Est-ce dS, AdS ou les deux ?


    ça c'est dS, AdS il faut basculer l'hyperboloide horizontalement de manière à avoir le temps qui devient cyclique !
    En fait, quand on veut l'utiliser comme modèle cosmologique ou que l'on veut éviter cette propriétée de cyclicité de temps, on "coupe" l'hyperboloïde horizontalement et on déplit!
    Cela revient à prendre le recouvrement universel si je me souviens bien.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  18. #17
    mtheory

    Re : [RG] Anti de Sitter

    Plein de trucs sur la géométrie de AdS ici p36 et suivantes.

    http://xxx.soton.ac.uk/PS_cache/hep-...05/9905111.pdf
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  19. #18
    mtheory

    Re : [RG] Anti de Sitter

    J'ai retrouvé THE référence simple in french

    http://elbereth.obspm.fr/~cailleri/a...mie/mald_v1.ps

    très bien fait !
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

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