astronavigation subluminique : les T²L

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,

WELCOME CADETS,

A Starfleet, la maîtrise de la relativité est évidemment une qualité fortement appréciée. Pourtant, en astronavigation, les échelles de distance et de vitesse sont peu apropriées. Dans le corps des navigateurs, nous laissons volontiers les transformations de Lorentz et la relativité de papa à nos chers collègues ingénieurs, nous nous allons vous enseigner les transformations de transformations de Lorentz plus connues sous le nom de T²L.

Pour les cancres, ce petit rappel :
une photique Pm est la distance parcourue par la lumière en 1 seconde.
la vitesse d'un vaisseau s'exprime en secondes qui correspondent au temps que met un vaisseau pour parcourir un photique. La vitesse de la lumière est 1s.

Donc
et le facteur de Lorentz

pour commencer on va imaginer une station de mesure supposé fixe (référentiel R), le vaisseau Enterprise NX01 (référentiel R') passe à son niveau à t=t'=0 à vitesse de combat, et lance un missile qui part du vaisseau à la vitesse (R') et qui explosera après s'être éloigné de 1000 Pm du vaisseau (R')

pour les distances les T²L donnent :



dans l'exemple:
x' = 1000 Pm
t' = 2000s , le temps que met le missile à parcourir 1000 pm



En application numérique :

Les 1000 photiques (R') correspondent à ceux franchis par le missile du fait de l'impulsion reçue lors de sa sortie du tube, 1000 Pm facteur gamma est la composante spatiale propre de x (R) , les 200 Pm (R') restants sont liés au fait que la vitesse de l'Enterprise au moment du tir est de 10s, l'impulsion reçue par le missile est liée à l'inertie, les 200 Pm facteur gamma est la composante inertielle de x (R).

Passons au temps, les T²L donnent :


En application numérique :


Première remarque, C étant une vitesse le produit ct est une distance.nous définissons ct comme la portée de l'événement dans le référentiel R si c'est un événement ponctuel, comme il s'agit là d'un intervalle de temps puisque on parle dans ce cas de l'étendue d'un événement ici: le tir d'un missile jusqu'à son explosion.
Les deux 2000 secondes (R') sont dues au temps mis par le missile pour parcourir 1000 photiques (R'). 2000 Pm facteur gamma est la composante temporel propre de ct (R).

pour comprendre l'origine des 100 Pm restantes (R'), il faut se référer à la loi de composition des vitesse dont la formule selon les T²L est la suivante :


qui dans notre exemple donne :

Ce qui se comprend ainsi : la vitesse du missile dans R' ( est de 21 secondes pour 12 photiques parcourus. On multiplie par 100 le numérateur et le dénominateur on retrouve ct= 2100 Pm facteur gamma et x = 1200 Pm facteur gamma.
Les 100 Pm facteur gamma sont la composante relative de ct (R)

Longue vie et prospérité, au moins jusqu'au prochain cours d'astronavigation.

petite anecdote en passant:



Cordialement,
Zefram
-----

[Mailou75]

Salut,

Tu énonces seulement que x=A/B donc 1/x=B/A, ce n'est pas ça la propriété intéressante d'inversion que tu avais déjà trouvée
C'est pour des vitesses égales mais opposées, ex : =0,8 z+1_0,8=3 et z+1_-0,8=0,33 soit z+1_-0,8=1/z+1_0,8 et plus généralement z+1_-v/c=1/z+1_v/c

Pour les T²L ça demande un peu de réflexion ...

A+
Mailou

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
en fait l'inversion que j'avais faite était obtenue à partir de cette égalité :

une formule qui marche tout aussi bien avec les T²L.

Pour l'effet doppler associé au temps de réception d'un signal, t'inquietes, I'm in charge.

pour les T²L J'ai indiqué qu'il fallait multiplier par 100 le numérateur et le dénominateur de la vitesse dans R pour trouver le temps (numérateur) dans R et la distance (dénominateur) dans R Je me suis dit coup de bol car dans l'abosolue il s'avère que
(SISI T²L )

pour résoudre ce petit dilemne, j'ai fait un autre exercice: un grand vaisseau avec plusieurs miliers de passagers à bord s'éloigne de la Terre à la vitesse de 20s. Mais le vaisseau subit une avarie grave quand il se trouve à un parsec (100 000 000 de photiques) dans le référentiel du vaisseau R'. En désespour de cause, privé de moyen de communication, les passager expédient vers la Terre une bouteille contenant un SOS à la vitesse de 5s. Question: quand arrivera la bouteille dans le référentiel de la Terre (R).

la vitesse de la bouteille dans le référentiel R est
l'axe positif étant le sens de déplacement du vaisseau. on peut simplifier mais je vous le déconseille.
car la bouteille devant parcourir -100 MPm

Or, et
on obtient que et x<0 puisque dirigé dans le sens inverse de la marche du vaisseau.

on vérifie bien entendu que (ct²) - x² = (ct')² - x'²

Cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

Salut,



Tu énonces seulement que x=A/B donc 1/x=B/A, ce n'est pas ça la propriété intéressante d'inversion que tu avais déjà trouvée
C'est pour des vitesses égales mais opposées, ex : =0,8 z+1_0,8=3 et z+1_-0,8=0,33 soit z+1_-0,8=1/z+1_0,8 et plus généralement z+1_-v/c=1/z+1_v/c

Pour les T²L ça demande un peu de réflexion ...

A+
Mailou

->

->

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Salut,

en fait l'inversion que j'avais faite était obtenue à partir de cette égalité :

Non ! z+1=(1+) et 1/z+1=(1-)
Y'a pas de carré et c'est justement ça l'inversion du signe de

->
->

Oui, sauf que =0,8 pas 1/8
Mais je ne vois pas l’intérêt de cet =1/ en fait...

un grand vaisseau avec plusieurs milliers de passagers à bord s'éloigne de la Terre à la vitesse de 20s. Mais le vaisseau subit une avarie grave quand il se trouve à un parsec (100 000 000 de photiques) dans le référentiel du vaisseau R'. En désespoir de cause, privé de moyen de communication, les passager expédient vers la Terre une bouteille contenant un SOS à la vitesse de 5s. Question: quand arrivera la bouteille dans le référentiel de la Terre (R) ?

Posé comme ça c'est plutôt facile, on ne s’intéresse qu'au référentiel terre
Vitesse du vaisseau ₁=1/20=0.05 et vitesse de la bouteille ₂=1/5=0.2 (rappel 1 Pc = 3.26AL)
Le vaisseau met 3.26/0.05=65.2 ans pour atteindre 1Pc, bien sur l'observateur sur Terre ne le sait pas instantanément (il ne le saura que 3.26 ans plus tard)
Et dans le référentiel du vaisseau, le voyageur à atteint cette distance au bout d'un temps plus court, mais peu importe c'est pas la question ici
On fera ensuite une supposition : le vaisseau est alors immobile, la vitesse de la bouteille ₂ est valable dans les deux repères
La bouteille met alors 3.26/0.2=16.3 ans à revenir dans le référentiel de la terre (ou du vaisseau immobile, lignes d'univers parallèles)
La bouteille arrive donc sur terre au bout d'un temps 65.2+16.3 = 81.5 ans ! (même pas besoin de RR en fait )

A+
Mailou

[Zefram Cochrane]

Sauf que là, la bouteille est lancée à 5s (0.2c) depuis le vaisseau en mouvement, dans le référentiel R'. On a donc besoin de la RR. T=0 est la date d'envoi de la bouteille.

3.26 ALest à peu près égal à 103 000 000 secondes lumière (102 877 776). j'avais pris 100 000 000 de Pm pour plus de simplicité. Mais je peux le faire avec 103 000 000 si tu veux. De tête donc x' = 103 000 000 -> X'/20 = 5 015 000 -> 99 * 5 015 000 = 501 500 000 - 5 015 000 = 496 485 000 -> ct = gamma * 496 485 000. Pour X = gamma fois 15* 5 015 000 = 75 225 000*gamma.

autre exemple : Je suis un astronaute situé à 543 photiques du Soleil, à t=0 une eruption solaire projette des protons à la vitesse de 14s. A quele date je les reçois à la figure?
Bon courage de tête avec béta

Cordialement,

Zefram

[papy-alain]

Avertissement : la détention de bouteilles est formellement interdite dans les vaisseaux spatiaux.

[Zefram Cochrane]

65.2ans sans apéro

sinon 543*14 = 5430 + 2172 = 6602 secondes.
Zefram

[Mailou75]

Re,

Sauf que là, la bouteille est lancée à 5s (0.2c) depuis le vaisseau en mouvement, dans le référentiel R'.

On s'y attendait à celle là

3.26 ALest à peu près égal à 103 000 000 secondes lumière (102 877 776). j'avais pris 100 000 000 de Pm pour plus de simplicité. Mais je peux le faire avec 103 000 000 si tu veux. De tête donc x' = 103 000 000 -> X'/20 = 5 015 000 -> 99 * 5 015 000 = 501 500 000 - 5 015 000 = 496 485 000 -> ct = gamma * 496 485 000. Pour X = gamma fois 15* 5 015 000 = 75 225 000*gamma

Dieu que c'est compliqué, je ne sais même pas où lire le résultat...

Simplement, tu cherche la vitesse de la bouteille dans le référentiel de la terre, il suffit d'une additivité des vitesses:
3=tanh(tanh^-10,2 +tanh^-1-0,05)=0,1515 la bouteille met 3.26/0.1515=21.5 ans à arriver
Le total sera alors de 65.2+21.5=86.7 ans ! (en effet il faut un peu de RR cette fois)

Avertissement : la détention de bouteilles est formellement interdite dans les vaisseaux spatiaux.

65.2ans sans apéro

Heureusement dans le référentiel du vaisseau ça fait un poil moins (65,2/=65,1)

autre exemple : Je suis un astronaute situé à 543 photiques du Soleil, à t=0 une eruption solaire projette des protons à la vitesse de 14s. A quele date je les reçois à la figure?
(...)
sinon 543*14 = 5430 + 2172 = 6602 secondes.

Exact 8 minutes.lumière à une vitesse 14 fois moins rapide que la lumière ça fait bien 8x14=112minutes mais là c'est pas de la RR

A+
Mailou

[Zefram Cochrane]

tu as raison Mailou, j'ai mal utilisé es équations de Lorentz. En fait j'ai calculé les coordonnées dans R de la bouteille quand elle est larguée vers l'arrière à 5s depuis le vaisseau à T=T'=0 et X=X'=0.
Mais il n'empêche que les T²L sont un autre manière d'aborder la RR. Dans l'exemple, du 543*14 on a pas besoin de la RR, mais c'est une façon plutôt intuitive de présenter les choses.

cordialement,
Zefram

[Mailou75]

tu as raison Mailou, j'ai mal utilisé es équations de Lorentz. En fait j'ai calculé les coordonnées dans R de la bouteille quand elle est larguée vers l'arrière à 5s depuis le vaisseau à T=T'=0 et X=X'=0.
Mais il n'empêche que les T²L sont un autre manière d'aborder la RR. Dans l'exemple, du 543*14 on a pas besoin de la RR, mais c'est une façon plutôt intuitive de présenter les choses.

cordialement,
Zefram

Certainement que ça marche aussi bien, je pense que chacun trouve la méthode qui lui convient le mieux
La mienne est graphique, très intuitive mais aussi très limitée... quand un mathématicien ajoute sans problème une coordonnée/dimension supplémentaire, moi je grille un fusible...

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Je fais un déterrage de topic pour vous présenter un début de solution pour expliquer des TL

Originellement, les TL se présentent comme ceci :






avec
et

On précise qu'en RR il y a réversibilité, il n' y a pas de temps et d'espace absolu. Il est je pense nécessaire de rappeler aussi que contrairement à certain amalgames que l'on peut lire dans les fils, t' n'est pas le temps écoulé à bord du vaisseau tel que le voit l'observateur supposé fixe
puisque ce temps est donné par :


t' dans les TL est un temps coordonnée par rapport au temps propre t de l'observateur fixe positionné en x = 0 dans le repère fixe R.
t'o est le temps observé par l'observateur fixe.

De même la coordonnée x'o qui est la distance observé par l'observateur mobile en position x'=0
dans le repère mobile R'.
est donné par

*******

maintenant les T²L :

J'introduis le paramètre


comme , est un nombre sans dimension. Cependant, on peut définir comme étant le temps en secondes mis par un mobile pour parcourir une seconde-lumière que j'appelle photique en référence au nautique de l'aéronautique.

Par ailleurs, a des allures d'opérateur physique dans ce sens ou
si je multiplie une quantité par j'obtiendrais quelque chose qui m'évoquera une durée. Par contre si je divise une quantité par , j'obtiendrais quelque chose qui se rapportera à une distance comme nous le verrons quand j'introduirai dans les TL. Je laisse le soin aux fondus des dérivées partielles le soin de démêler ce sac de noeuds

Avec , le facteur de Lorentz devient :

plutôt sympathique si est un nombre entier.

*******

Entrons dans le vif su sujet :

Quand un vaisseau (repère R') passe à une vitesse de 5 s/pm (5 secondes par photique soit une vitesse de c/5) au niveau d'une station fixe (repère R) il tire une torpille qui s'éloigne du vaisseau à la vitesse de 3s/pm. La torpille explose à une distance
= 7 photiques au bout d'un temps = 14 secondes donc.
Question : à quelle distance de la station et au bout de quelle durée la torpille explosera t'elle?

Réponse : T²L.

Déjà le facteur de Lorentz : [TEX]

******

Pour les distances :



on à bien dans cette partie : le concept de la distance parcourue par la torpille x' auquel s'ajoute la distance parcourue par le vaisseau pendant la durée coordonnée t'; ct' étant la distance parcourue par la lumière en une durée t', dans le repère du vaisseau R'.

en application numérique :
tiens tiens?



Je pense que 1 est aussi un opérateur plus précisément c/c.

******
Pour les durées :



en application numérique :



L'ombre de l'interprétation que je fais de est la distance parcourue par le vaisseau quand la lumière a parcouru 7 photiques dans le repère R' du vaisseau.

L'interprétation de serait peut être qu'à la distance parcourue par la lumière en un temps t' s'ajoute la distance parcouru par la vaisseau dans l'intervalle de temps que met la lumière à franchir la distance x'. ( A travailler celle-là ).

on remarque donc que :




******

Loi de composition des vitesses :

on a :

et


on obtient :


En application numérique :



petit tour de magie :
16 * 7 = 112
8*7 = 56

21 + 7/5 = 105 + 7 = 112
7 + 21/5 = 35 + 21 = 56

magie

Je pense pouvoir faire le même tour avec les et les TL classiques mais j'aimerais bien un peu d'aide pour découvrir quel est le truc.

Désolé pour la longueur,
Cordialement,
Zefram