Topologie cosmique

[invite77abef21]

Bonjour

En lisant "L'univers chiffonné " de JP Luminet et "L'univers a-t-il une forme "de Roland Lehoucq , je me heurte à la même difficulté : deux définitions du Tore.....deux tores qui seraient différents ....sans l'être vraiment .
Si je ne dépasse pas cette difficulté , je ne peux pas non plus "bien sentir" ce qu'est le polyèdre fondamental représentant l'univers réel ni le revêtement périodique .
Donc , si je prends le livre de R.Lehoucq par exemple (pages 67 et 68 :Jeux ce collage ) j'ai du mal à bien comprendre qu'il y a deux constructions différentes du tore....peut-être parce que dans les 2 cas , il y a utilisation répétée de mots comme :" assimiler , identiques,confondus"dont je ne vois pas trop l'usage pratique ni mathématique que je peux en faire....
Des questions concrètes à celui ou celle qui voudrait bien me répondre seraient :
1- Y a-t-il :a- un tore que l'on obtient par mouvement mécanique du rectangle et collage physique...et b- un autre tore qui ne soit qu'un rectangle mais qu'on appelle tore parce qu'il serait homéomorphe à un tore physique (le précédent )...et si oui est-ce dernier tore qu'on appele tore plat ?
2- si je ne suis pas trompé au 1- , b- serait un morceau d'espace euclidien ?.... Par contre a- ne le serait pas ,
( il aurait une courbure intrinsèque ) car le 2e collage aurait nécessité une déformation (étirement ) du cylindre?

Merci pour vos lumières....


Vol relatif
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[yoda1234]

Bonjour et bienvenue,
ici tu es dans le forum "présentez vous" et donc personne ne pourra te répondre à part les modérateurs.
Je te conseille donc de poser la question dans le forum astronomie et astrophysique.
Bon surf.

[invité576543]

1- Y a-t-il :a- un tore que l'on obtient par mouvement mécanique du rectangle et collage physique...et b- un autre tore qui ne soit qu'un rectangle mais qu'on appelle tore parce qu'il serait homéomorphe à un tore physique (le précédent )...et si oui est-ce dernier tore qu'on appele tore plat ?
2- si je ne suis pas trompé au 1- , b- serait un morceau d'espace euclidien ?.... Par contre a- ne le serait pas ,
( il aurait une courbure intrinsèque ) car le 2e collage aurait nécessité une déformation (étirement ) du cylindre?

Bonjour,

Une réponse d'un non spécialiste qui a cherché à comprendre et à l'expliquer à d'autres personnes...

Il y a d'un côté une notion de topologie, en termes de voisinages. Comment chaque point est entouré par d'autres points. Comme aller d'un point à un autre, comment les chemins se croisent ou ne se croisent pas...

Et de l'autre une notion de métrique. Comment je mesure la longueur d'un chemin, la distance entre points; qu'est-ce que "aller tout droit", etc...

Plat ou courbe est lié à la métrique, pas à la topologie.

Pour visualiser la métrique, prenons un jeu d'échec, de dames, de morpion, le jeu de la vie de Conway, il y a plein d'exemples. Prenons le morpion torique.

Je dessine un rectangle finie sur une feuille quadrillée infinie; le rectangle faisant n x m cases du quadrillage. Régle du jeu: chaque joueur met à tour de rôle une marque propre au joueur sur une case du rectangle; cette marque est automatiquement reproduite comme suit; si (i,j) sont les coordonnées de la marque dans le quadrillage, alors la marque est reproduite dans toutes les cases (k, l) telles que k-i est un multiple de n et l-j est un multiple de m. Le premier qui aligne 5 marques a gagner.

Autre approche du même jeu. Je prends un pneu et un stylo qui écrit sur le pneu. On quadrille le pneu par m cercles dont le plan contient l'axe du tore, et n cercles dont le plan est perpendiculaire à l'axe du tore. J'obtient nm cases de formes variées. Et on joue au morpion.

On constate que le voisinage de chaque case est identique dans les deux cas. Toute partie selon la première règle correspond à une partie selon la deuxième. Le jeu est "topologique", au sens où les notions nécessaires sont transportables à l'identique entre les deux méthodes.

Par contre dans le premier toutes les cases sont identiques, de même "taille" et de mêmes "angles". Alors que dans le second les cases sont de forme variable tant en tailles qu'en angles. Ce sont des notions métriques. Et il n'y a aucun moyen d'obtenir un quadrillage n x m dans le second cas avec toutes les cases de formes égales. Ce sont des notions métriques.

Le cas "plat" est obtenu par pavage régulier d'un espace Euclidien. Localement il est indistingable d'un espace Euclidien. Mais la métrique à longue distance n'est pas celle de R².

Le cas "courbe" est ici obtenu par plongement dans un espace Euclidien 3D. (Mais d'autres métriques peuvent être proposées, par plongement dans d'autres espaces, ou sans plongement du tout...) Un "beau" tore bien rond donne une certaine métrique, la métrique étant celles dérivées de la métrique Euclidienne 3D. On peut aussi prendre comme forme une tasse à café. Topologiquement c'est toujours un tore, je peux encore jouer au morpion torique en dessinant un quadrillage idoine sur ma tasse à café. Le jeu est toujours équivalent à celui joué sur le pavage plan. Mais les cases sont de formes et de tailles très variables vue selon la métrique 3D!!

Ce petit exercice mental (ou même concret, c'est assez facile à réaliser et à jouer...) montre que la notion de tore est unique topologiquement (les mêmes parties se jouent aussi bien sur le pavage que sur différents tores physiques), alors que les notions de distance, d'angle ou de surface peuvent être variables...

En espérant que cela aide...

Cordialement,