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Faire le "tour" de l'univers...



  1. #1
    Siyoo

    Faire le "tour" de l'univers...


    ------

    Bonjour à tous, ayant récemment vu une vidéo de vulgarisation scientifique (je vais aborder uniquement la fin, c'est en anglais : http://www.youtube.com/watch?v=3pAnRKD4raY )

    Je me suis posé quelques questions : l'auteur présente l'univers et son expansion comme un ballon de baudruche que l'on gonfle, ce n'est pas la première fois que je vois cette représentation mais je n'avais jamais compris que l'univers était, dans celle-ci, représenté par la surface du ballon et non le volume qu'il contient et il dit que l'univers n'a pas de centre, que le centre de l'univers est partout, ou nulle part.

    J'ai donc élaboré quelques hypothèses pour essayer de comprendre, tout d'abord je tiens à préciser que j'ai 19 ans, je suis en première année à l'université en sciences économiques et que donc je n'ai aucune base, mais je me pose des questions, je suis curieux et je m'interroge. Si je dis des énormités, pardonnez-moi.

    Si je comprend bien, la surface du ballon de baudruche représente notre univers, c'est donc une projection en deux dimensions de notre univers tridimensionnel. Si l'univers n'a pas de centre et que cette représentation est exacte, cela signifie que si je choisis une direction et que je suis cette direction éternellement, je ne rencontrerais jamais de "mur", de limite à l'univers... Cela signifie que je reviendrai là où j'étais, à la base, exactement de la même manière que l'on peut faire le tour du monde en volant toujours dans la même direction... Sauf que ça me pose un problème : quand je fais le tour de la Terre, je vais toujours en ligne droite, c'est la courbure de l'espace-temps créée par la masse de la Terre qui fait que je ne vais en fait pas "tout droit" mais que mon trajet fait une boucle. (encore une fois si je dis des bêtises n'hésitez pas à me corriger)

    Alors, que se passe t-il? L'univers a t-il un centre de gravitation qui courbe l'espace-temps et donc transforme un trajet rectiligne en une boucle? Sauf que La Terre influe sur l'espace-temps de notre univers; mais notre univers lui même ne peut pas distordre son propre espace temps... Ou peut-être que si? Sinon, il distordrait l'espace temps d'un autre univers, dans lequel il serait inséré exactement comme la Terre est insérée dans notre univers et influe sur son espace-temps? Cet autre univers, dans lequel notre univers serait inscrit, aurait une influence sur la manière donc les lois physiques du notre fonctionnent ? Cependant, étant donné que ce ne serait pas l'espace-temps de notre univers, nous ne nous déplaçons pas dedans, donc comment pourrait-il avoir une influence sur nous? A moins que plusieurs espace-temps différents influence notre univers, et pas seulement celui de notre univers...

    Mais cela pose un autre problème: si ce cas de figure est juste, alors il devrait obligatoirement y avoir une connexion entre cet univers et le notre... Et part conséquent, un échange de matière (même s'il n'allait que dans un sens)? Or je n'ai jamais entendu parler de "création" de matière dans notre univers, juste d'expansion... Mais d'ailleurs, qu'est ce qui nous prouve que ce n'est pas le cas, que la matière totale de notre univers n'augmente pas, comme si nous étions un trou noir qui capturait tout ce qui passait à sa portée? Et cela m'amène à une autre question... Qu'est ce qui nous dit qu'il est impossible d'en sortir?!

    Tout ça me paraît un peu bancal, je ne sais même pas si notre univers a un centre de gravitation, il est en expansion, les particules s'éloignent des autres, elles ne se rapprochent pas, donc dans notre univers observable, l'univers n'a pas de centre de gravité. Alors soit il en a un autre part, dans un autre univers, soit il n'en a pas ? Mais si notre univers n'a pas un centre de gravitation, alors qu'est ce qui pourrait expliquer ma première hypothèse?

    Et si celle-ci est fausse, et bien j'aurais juste réfléchi à tout ça pour rien...


    Merci de votre attention!

    Jonathan.

    -----
    Dernière modification par Siyoo ; 17/12/2013 à 21h04.

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  3. #2
    Arion8

    Re : Faire le "tour" de l'univers...

    En fait, l'image qui est utilisé dans cette vidéo est fausse, ou du moins, elle laisse penser comme tu le fait a un univers en forme de "sphère" de surface tridimensionnel. Je te répondrai juste en utilisant l'image de Hubert Reeves, qui la préféré a celle du ballon de baudruche. Pense plutôt l'expansion de l’univers comme un cake plein de levure avec des morceau (moi je prends des amandes mais tu peux prendre des raisins secs, la recette marche aussi ). Maintenant dit toi que ce tu enfourne ce cake infini dans un four (infini aussi) et que tu commence a le cuire. Sous l'effet du gonflement du cake, chaque amande se retrouve plus loin de toutes les autres amandes. Et pourtant, tu peu aller tout droit dans n'importe quelle direction, tu ne retombera jamais sur la même amande. Évidement cela ne marche que si on n'a aucun effet de bord (d’où le cake infini). Mais pas besoin d'utiliser de notion de sphéricité pour ça (cela porte a confusion).

  4. #3
    Siyoo

    Re : Faire le "tour" de l'univers...

    Je me pensais pas à une sphère tridimensionnelle, mais plutôt à une sphère quadridimensionnelle... La Terre est une sphère tridimensionnelle, sa surface est en deux dimensions, je peux aller tout droit indéfiniment et faire le tour de la Terre grâce à la courbure de l'espace-temps (qui implique une dimension supplémentaire, 4D). Reprenons ce concept, en ajoutant encore une dimension supplémentaire. L'univers est une sphère en 4D, je peux aller tout droit indéfiniment en 3D et en faire le tour, grâce à une éventuelle courbure de l'espace-temps qui cette fois si serait dans une 5ème dimension. C'était plutôt ça que je visualisais..

    Je dois t'avouer que je n'arrive pas à imaginer le concept d'un cake géant qui n'a pas de bord ni de centre... D'ailleurs tu parles d'infini, c'est pour illustrer la grandeur, l'immensité, l'univers n'est pas infini, si?

    En tout cas, merci pour ta réponse.
    Dernière modification par Siyoo ; 17/12/2013 à 21h56. Motif: Précision

  5. #4
    Arion8

    Re : Faire le "tour" de l'univers...

    C'est bien ça, je n'ai pas dire sphère tridimensionnelle, mais "sphère" de surface tridimensionnelle (la même chose que toi en somme). De ce que l'on en sait, l'Univers (dans son ensemble) est infini. En revanche, l'Univers observable et fini (du a la vitesse de la lumière fini, qui fais qu'on ne peux pas voir avant que l'univers existait). En cherchant un schéma j'ai vu que l'article sur l'expansion de l'univers de wikipédia utilisait la même image image.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Arion8

    Re : Faire le "tour" de l'univers...

    Sur le fait que lunivers soit une surface courbée en trois dimension dans un monde en 4, alors oui, il existe des théories selon lesquelles notre univers n'est qu'une bulle dans un multivers de dimension supérieur, il semble même que de plus en plus d'observation serait en accord avec ce type de vision. En revanche, on n'a absolument pas besoin de cela pour l'expansion de l'univers.

  8. #6
    Siyoo

    Re : Faire le "tour" de l'univers...

    D'accord, je n'avais pas remarqué la nuance, désolé.. Donc, la réponse est non, il est impossible de faire le "tour" de l'univers ?

    EDIT: en lisant ton 2èmepost j'ai l'impression que tu te contredis du coup, il y a quelque chose que je n'ai pas du comprendre.. par contre je n'ai pas dit qu'on avait besoin de l'expansion de l'univers pour ça
    Dernière modification par Siyoo ; 17/12/2013 à 22h16.

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  10. #7
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Faire le "tour" de l'univers...

    Citation Envoyé par Siyoo Voir le message

    Si je comprend bien, la surface du ballon de baudruche représente notre univers, c'est donc une projection en deux dimensions de notre univers tridimensionnel.
    Oui, dans l'idée.


    Si l'univers n'a pas de centre et que cette représentation est exacte, cela signifie que si je choisis une direction et que je suis cette direction éternellement, je ne rencontrerais jamais de "mur", de limite à l'univers... Cela signifie que je reviendrai là où j'étais, à la base, exactement de la même manière que l'on peut faire le tour du monde en volant toujours dans la même direction... Sauf que ça me pose un problème : quand je fais le tour de la Terre, je vais toujours en ligne droite, c'est la courbure de l'espace-temps créée par la masse de la Terre qui fait que je ne vais en fait pas "tout droit" mais que mon trajet fait une boucle. (encore une fois si je dis des bêtises n'hésitez pas à me corriger)
    Ce n'est pas la courbure de l'espace temps, mais celle de la surface de la Terre, qui ne dépend que de son volume (donnée absolument arbitraire à ce stade de la réflexion).Ensuite on constate qu'effectivement des objets en chute libre (les satellites artificiels) suivent fidèlement cette courbure du sol : la valeur de la courbure de la trajectoire dépend de la vitesse de l'objet. La courbure de la géodésique est donnée pour des objets de masse nulle, par exemple la lumière. Et la valeur de l'angle de déviation pour une trajectoire rasante est donnée par



    avec G la cte de gravitation
    M la masse de la Terre
    Rt le rayon terrestre
    c la vitesse de la lumière

    Le rayon de courbure correspondant est donné par :



    R~1 année lumière (à 3% près c'est une coïncidence, sans signification particulière)



    Alors, que se passe t-il? L'univers a t-il un centre de gravitation qui courbe l'espace-temps et donc transforme un trajet rectiligne en une boucle? Sauf que La Terre influe sur l'espace-temps de notre univers; mais notre univers lui même ne peut pas distordre son propre espace temps...
    Si, c'est toute l'idée. La masse (l'énergie totale en fait) courbe l'espace qui la contient.

    Il n'y a aucun centre, c'est un effet local, la courbure se calcule en chaque point, en fonction de la densité d'énergie en ce point. Si on prend un univers homogène, de même densité d'énergie partout, la valeur de la courbure se réfléchie par rapport à une densité critique qui dépend elle même du taux d'expansion.

    L'image traditionnelle du ballon de baudruche serait correcte pour un univers visible dense, cad de densité moyenne supérieure à cette densité critique. IL se trouve que l'univers visible a (exactement ? en tout cas est très proche de...) cette densité critique. Ce qui fait que sa courbure globale est proche de zéro. Comme c'est une valeur étrange (vu que c'est sa valeur aussi près que l'on veut des origines) on imagine un épisode très précoce d'expansion très vigoureuse qui ferait que l'univers visible forme une fraction infinitésimale d'un univers plus vaste né de cet pré-expansion très brève mais très vigoureuse que l'on appelle l'inflation. De la même manière que la surface d'un jardin a une courbure négligeable car empruntée à une surface sphérique de très grand rayon, la courbure de notre univers visible serait très proche zéro car empruntée à une hypersurface (un volume) de rayon bien plus vaste.

    Et ça ne signifie même pas que ce "plus vaste univers" dans lequel s'inscrit le notre (le Multivers local) soit de courbure positive. Cette courbure peut être négative aussi. Et chose surprenante, le volume peut quand même rester fini, si la topologie n'est pas simplement connexe. Mais on va laisser ça de côté.

    Toujours est il que le reste du propos doit se réfléchir en fonction de ça.
    Dernière modification par Gilgamesh ; 17/12/2013 à 22h39.
    Parcours Etranges

  11. #8
    Siyoo

    Re : Faire le "tour" de l'univers...

    Merci beaucoup pour cette réponse assez détaillée, ça m'aide vraiment même si certains points m'échappent encore...
    Par contre je remarque que j'ai énormément de mal à exprimer ce que je visualise dans ma tête, je manque sûrement de vocabulaire et de concepts, mais bon je fais avec ce que j'ai.

    Ce n'est pas la courbure de l'espace temps, mais celle de la surface de la Terre, qui ne dépend que de son volume (donnée absolument arbitraire à ce stade de la réflexion).Ensuite on constate qu'effectivement des objets en chute libre (les satellites artificiels) suivent fidèlement cette courbure du sol : la valeur de la courbure de la trajectoire dépend de la vitesse de l'objet. La courbure de la géodésique est donnée pour des objets de masse nulle, par exemple la lumière. Et la valeur de l'angle de déviation pour une trajectoire rasante est donnée par
    Je me suis mal exprimé, ce que je voulais dire, c'est que par exemple pour un satellite qui est en orbite autour de la Terre, son mouvement serait rectiligne sans la présence de la Terre, mais il est transformé en mouvement circulaire à cause de la courbure de l'espace-temps. Ça correspond à ce que tu dis, non ?

    Si, c'est toute l'idée. La masse (l'énergie totale en fait) courbe l'espace qui la contient.
    Oui, c'est un concept que je comprend, c'est la raison pour laquelle la force de gravité existe... En fait dans cet exemple j'envisageais l'univers dans sa globalité, qui aurait une masse dans un multivers qui le contiendrait et donc courberais l'espace-temps de ce multivers, et je me posais la question de savoir si la courbure de l'espace-temps de ce multivers pouvait influencer notre univers. Mais j'ai commencé à m’emmêler les pinceaux en essayant de l'expliquer, j'ai dit des choses pas forcément logiques et je me suis trompé sur certains points aussi : je m'imaginais que la courbure spatiale globale de l'espace-temps était d'office nulle et qu'il n'y avait que des courbures spatiales locales. (Principalement à cause des représentations qu'on peut voir de l'espace-temps en 2D dans certains documentaires, généralement les lignes quadrillées vertes sur fond noir) Donc je me suis dit qu'une courbure spatiale de notre univers dans sa globalité pouvait être due à des facteurs extérieurs. Ce qui ne semble pas être le cas d'après ce que tu me dis. En tout cas merci beaucoup, ton intervention m'aide vraiment à structurer ma pensée.

    IL se trouve que l'univers visible a (exactement ? en tout cas est très proche de...) cette densité critique. Ce qui fait que sa courbure globale est proche de zéro. Comme c'est une valeur étrange (vu que c'est sa valeur aussi près que l'on veut des origines) on imagine un épisode très précoce d'expansion très vigoureuse qui ferait que l'univers visible forme une fraction infinitésimale d'un univers plus vaste né de cet pré-expansion très brève mais très vigoureuse que l'on appelle l'inflation.
    Je ne comprend pas en quoi le fait d'avoir une courbure globale proche de zéro pose un problème, et le lien avec la suite, je dois avouer être largué la malheureusement

    Et ça ne signifie même pas que ce "plus vaste univers" dans lequel s'inscrit le notre (le Multivers local) soit de courbure positive. Cette courbure peut être négative aussi. Et chose surprenante, le volume peut quand même rester fini, si la topologie n'est pas simplement connexe. Mais on va laisser ça de côté.
    Courbure positive et négative? Je n'ai jamais entendu parler de ça, pour moi une courbure était une courbure. Qu'est ce qu'une courbure négative?

  12. #9
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Faire le "tour" de l'univers...

    Citation Envoyé par Siyoo Voir le message
    Je me suis mal exprimé, ce que je voulais dire, c'est que par exemple pour un satellite qui est en orbite autour de la Terre, son mouvement serait rectiligne sans la présence de la Terre, mais il est transformé en mouvement circulaire à cause de la courbure de l'espace-temps. Ça correspond à ce que tu dis, non ?
    Oui, la courbure de la trajectoire dépend de la vitesse, et à la limite quand v tend vers c, la courbure de la trajectoire correspond à la géodésique, cad à la courbe qui correspond à la ligne droite dans un espace courbé.


    Oui, c'est un concept que je comprend, c'est la raison pour laquelle la force de gravité existe... En fait dans cet exemple j'envisageais l'univers dans sa globalité, qui aurait une masse dans un multivers qui le contiendrait et donc courberais l'espace-temps de ce multivers, et je me posais la question de savoir si la courbure de l'espace-temps de ce multivers pouvait influencer notre univers.
    Cela correspond à l'univers inflationnaire en fait.


    Je ne comprend pas en quoi le fait d'avoir une courbure globale proche de zéro pose un problème, et le lien avec la suite, je dois avouer être largué la malheureusement


    Courbure positive et négative? Je n'ai jamais entendu parler de ça, pour moi une courbure était une courbure. Qu'est ce qu'une courbure négative?
    Bon, alors il faut commencer par là Sur la notion de courbure, un petit repost :

    Commençons en 1D : pour caractériser la courbure d'une... courbe, par exemple un virage sur une autoroute (en rouge ci dessous), on fait appel à la notion de rayon de courbure R. En chaque point on définit le rayon du cercle tangent à la courbe (appelé cercle osculateur).

    Nom : courbure1.png
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    source


    La courbure X c'est tout simplement l'inverse du rayon de courbure:

    X=1/R

    Plus le rayon R est petit, plus la courbure X est grande.

    Si R est nul, la courbure n'est pas définie, on a un point anguleux. Inversement, une droite bien rectiligne se definit par un rayon de courbure infini et X est nulle, comme on s'en doutait. Que le virage aille à droite ou a gauche est indifférent et R est toujours positif. In fine, X est donc seulement positive ou nulle en 1D.

    En 2D maintenant. Sur une nappe on se représente en chaque point le plan tangent à la nappe. Et, pointant orthogonalement à ce plan, en tout point, un vecteur normal h, perpendiculairement rigide comme le poil d'un paillasson. En suivant un chemin fermé quelconque parcourant la nappe si h revient en son point initial toujours identique à lui même, la nappe est dite orientable (ça a un sens de définir une direction et son opposée). S'il peut arriver qu'il revienne inversé, c-a-d pointant dans la direction opposée à celle de départ, cas du ruban de Moebius, la nappe est dite non orientable.

    Faisons maintenant passer un plan selon h, cad un plan normal à la nappe. Son intersection avec la nappe définit un arc (une section) le long duquel, en chaque point on peut définir une courbure dans le sens de précédemment (1D). Mais comme c'est en 2D qu'on travaille, en chaque point de cet arc, on peut regarder ce qui se passe si on tranche la nappe perpendiculairement, et mesurer le rayon de courbure et la courbure tout pareille : on a donc 2 courbures possibles.

    Ajoutons à cela, si la surface est orientable, que le rayon de courbure peut se situer d'un côté ou de l'autre de la nappe. Aussi le rayon de coubure et la courbure, son inverse, ont un signe, positif ou négatif : X est donc négative, positive ou nulle en 2D.

    Bien. Considérant la nappe en un point donné, on va essayer de la trancher de manière à ce que le rayon de coubure soit le plus petit possible et la courbure correspondante maximale. Tchac, on tranche on mesure et on obtient R1 le rayon et X1 = 1/R1 son inverse, la courbure principale.

    Première chose remarquable, il se trouve que le rayon de courbure R2 obtenue en tranchant perpendiculairement en ce point est, lui, maximal, et la courbure X2 correspondante, minimale.

    Avec 2 nombres comme X1 et X2 on peut s'amuser.

    En les combinant, on va définir deux types de courbures.

    H, la courbure moyenne est la moyenne de X1 et X2
    H=(X1+X2)/2

    et K, la courbure de Gauss, leur produit.
    K=X1.X2


    Voyons ce que cela donne dans un cas concret. Disons un cylindre et une sphère de rayon r.

    Commençons par le cylindre. La courbure principale est la section du cylindre, un cercle de rayon r. Perpendiculairement à cette section, j'ai la génératrice du cylindre qui est une droite.

    J'ai donc X1 = 1/r et X2 = 0.
    Ce qui me donne
    H = 1/2r
    K = 0

    Pour la sphère, j'ai X1 = X2 = 1/r
    H = 1/r
    K = 1/r²

    On mesure ainsi que la courbure moyenne d'une sphère est deux fois plus forte que celle d'un cylindre. Ca correspond bien à l'intuition (puisque la sphère est courbée selon deux direction contre une seule dans le cas du cylindre). Plus surprenant on mesure que la courbure de Gauss est nulle dans le cas du cylindre.

    Or, la signification profonde d'une courbure de Gauss nulle, c'est la propriété de la nappe à accepter des projections sans déformation d'angle depuis un plan. Si la courbre de Gauss n'est pas nulle, on ne peut pas passer du cas euclidien (le plan) à la nappe sans déformer les angles ou les surfaces.

    On peut ainsi couvrir un cylindre avec une feuille de papier sans faire de pli. Mais on ne peut emballer une orange sans froisser le papier.

    La courbure de Gauss est donc intrinseque, elle influe sur la géométrie que l'on peut tracer sur la nappe.

    Si K =0 on a quelque chose d'euclidien. Un cylindre est donc euclidien bien que apparemment courbé.

    Si K > 0, cela signifie que les 2 rayon de courbures, R1 minimal et R2 maximal en chaque point, sont du même côté de la nappe (ils sont soit tous les deux positifs, soit tous les deux négatifs, selon le sens arbitraire selon lequel on a orienté la nappe). C'est le cas de la sphère.

    Si K < 0 cela signifie que en un point une des ligne de courbure est positive et l'autre perpendiculairement est négative. C'est le cas de la selle de cheval.

    Et après, on généralise en trois dimensions...


    --

    Dans le cas de l'univers et selon la théorie de la relativité générale, il existe une relation entre taux d'expansion, la courbure spatiale et densité d'énergie.

    Pour un univers homogène et isotrope, c'est donné par l'équations de Friedmann :



    avec H le taux d'expansion (ou cte de Hubble, H = 72 km/s/megaparsec ), G la cte de gravitation, K/a2 la courbure spatiale, ρ la densité d'énergie (en Joule/m3). On définit sur cette base une densité critique d'énergie ρc, telle que la courbure est nulle :



    soit une densité critique de l'ordre de 10-11 J/m3



    Le ratio de la densité d'énergie d'une espèce de particules (matière, rayonnement, matière noire, énergie sombre...) peuplant l'univers avec la densité critique permet de définir un paramètre de densité adimensionné . On va noter la somme de toutes ces contributions.

    Selon le même principe on peut définir un paramètre de courbure de telle sorte que l'équation de Friedmann s'écrive sous cette forme simplifiée.



    Ainsi, en mesurant un des deux termes, on peut connaitre l'autre, puisque leur somme donne 1. Les données les plus précises sur la courbure spatiale de l'univers sont celles issues de l'analyse des anisotropies du fond diffus cosmologique et donne un proche de zéro, donc un proche de 1.
    Dernière modification par Gilgamesh ; 18/12/2013 à 20h49.
    Parcours Etranges

  13. #10
    Xoxopixo

    Re : Faire le "tour" de l'univers...

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Siyoo Voir le message
    Je me pensais pas à une sphère tridimensionnelle, mais plutôt à une sphère quadridimensionnelle...
    C'est l'hypothèse mathématique de base.

    Citation Envoyé par Siyoo
    La Terre est une sphère tridimensionnelle, sa surface est en deux dimensions, je peux aller tout droit indéfiniment et faire le tour de la Terre grâce à la courbure de l'espace-temps (qui implique une dimension supplémentaire, 4D).
    Il y a un point à mon avis que vous négligez.
    Lorsque vous imagez un corps "vu d'en haut", il faut le voir comme un concept mathématique, utile à la reflexion sur des grandeurs abstraites, énergie etc ... et en rester là.

    Si par contre, physiquement, vous associez à ce concept mathématique un objet physique, ici la Terre, ce n'est plus un objet mathématique "pur".
    Vous pouvez "faire le tour" de l'objet mathématique "pur" de la manière dont vous le souhaitez lorsque celui-ci est immuable.
    Mais physiquement, concretement, vous ne pouvez pas faire le tour de la Terre et vous attendre à retrouver l'endroit que vous avez quitté tel qu'il etait à votre départ.
    Selon un point de vue rigoureux, vous ne pouvez donc pas faire "le tour de la Terre" sans vous déplacer instantanément ...

    Selon cette même reflexion, vous pouvez également imaginer "faire le tour de l'univers", d'un point de vue mathématique, mais la probabilité de retrouver "une" Terre (point de départ) tel qu'elle etait à l'origine ... est alors plutôt mince.

    Ce qu'il faut comprendre ici, c'est qu'une conception mathématique qui définirait l'univers dans sa globalité et sans le détail de ses parties (ce qui semble irrémédiable du point de vue de ces mêmes mathématiques) est ici inadéquat pour savoir ce que signifie "en faire le tour" et que seule une conception du voyage centrée sur l'observateur qui l'effectuerait présenterait un sens que l'on pourrait qualifier de réel.
    Dernière modification par Xoxopixo ; 18/12/2013 à 17h24.
    En bon vivant, rien ne vaut un bonne logique ternaire.

  14. #11
    Chanur

    Re : Faire le "tour" de l'univers...

    Bonjour,

    En ce qui concerne les courbures positives ou négatives :
    http://pro.chemist.online.fr/cours/hyperb1.htm

    Evidemment ce sont des surfaces (à 2 dimensions) pour un espace-temps à 4 dimensions c'est plus difficile à imaginer ...
    Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement ; et les mots pour le dire arrivent aisément.

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