Univers fermé

[invité576543]

Bonjour,

Une question sur le cas d'un univers de courbure positive. Dans la littérature, on trouve la description de la solution de la RG d'un univers d'espace isotrope et homogène avec une courbure constante positive comme "univers fermé".

Mais topologiquement, n'est-il pas possible d'avoir un volume (une hyper-surface) isotrope et homogène de courbure constante positive, mais infini?

Dans le cas S1, une hélice 3D est bien une courbe isotrope, homogène, de courbure constante et pourtant infinie.

De même, il doit bien exister une variété 3D plongée dans un espace 5D (ou plus) qui est bien isotrope, homogène, de courbure constante et infinie. Non? Une variété qui serait à S3 et à R³ ce que l'hélice (cos z, sin z, z) est à S1 et R ? (Si la réponse est oui, je suis intéressé par la donnée ou un pointeur des équations paramétriques de cette variété 3D polngée en 5D ou plus...)

Si cela existe, il est possible d'avoir un univers isotrope, homogène et de courbure constante positive qui n'est pas clos. Le "rayon" n'est pas alors, comme on le voit à certains endroits, la "taille" de l'univers, mais son rayon de courbure, de même que le rayon de courbure d'une hélice en 3D n'est pas 1/2pi la longueur de l'hélice (qui est infinie!). Les singularités initiales et finales ne sont pas des points, mais des changements infinis d'échelle, avec un joli paradoxe de Zénon cosmique...

Qu'en est-il? La géométrie interdit-elle une telle solution? Le cas de l'hélice est-il spécifique à la 1D?

Cordialement,
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[alain_r]

Bonjour,

à une dimension, il n'y a pas de courbure. Que vous dessiniez une droite rectiligne ou une courbe, la métrique sur la courbe est la même. La confusion (fréquente) que vous faites est qu'il existe deux notions quand on visualise une variété plongée dans une autre : il y a métrique induite, c'est-à-dire la métrique effectivement mesurée par un observateur qui vit sur la sous-variété, et la courbure extrinsèque, qui dit la forme prise par la sous variété dans l'espace dans laquelle elle est plongée. Ce qui importe dans le cas qui vous intéresse, c'est la métrique induite, pas la courbure extrinsèque. Exemple trivial : si on prend un cône, la métrique induite est plate : un cône c'est un plan (euclidien) que l'on enroule sans le froisser (on peut le faire avec une feuille de papier). Qu'on enroule ou pas la feuille, la métrique induite reste la même (sauf bien sûr au sommet du cône qui est singulier). Par contre, si on enroule pas la feuille, la courbure extrinsèque est nulle, alors que si on l'enroule, elle de l'est pas.

Pour revenir à votre question, il n'existe pas de variété homogène, isotrope non compacte à courbure positive constante. La raison est qu'un espace qui possède ces propriétés a une métrique dont la forme est connue (on peut démontrer qu'il n'y a qu'une seule possibilité pour la forme locale de la métrique), et qu'ensuite, la seule liberté que l'on a c'est de changer la topologie (de même qu'un plan euclidien et un tore ont même métrique localement mais pas même topologie). Comme la sphère est déjà l'espace de recouvrement universel de tous les espaces dont la métrique est compatible avec ces hypothèses, il ne peut exister d'espace "plus gros", non compact que la sphère.

[invité576543]

Bonsoir,

OK. Après réflexion, je vois le truc.

Un point de détail:

Comme la sphère est déjà l'espace de recouvrement universel de tous les espaces dont la métrique est compatible avec ces hypothèses, il ne peut exister d'espace "plus gros", non compact que la sphère.

J'imagine que cela ne s'applique qu'à partir de la dimension 2? Si la topologie en 1D est la droite, ce n'est pas compact!?


Merci!

[alain_r]

oui, en parlant de "métrique de la sphere" (objet à courbure positive constante), cela signifie nécessairement dimension supérieure ou égale à 2.

[A voir en vidéo sur Futura]