vitesse de révolution d'un satellite

[mi_li_mi]

Bonjour,

Lorsqu'un satellite est en orbite, sa vitesse tangentielle est inversement
proportionnelle au carré de la distance qui le sépare du centre de la Terre,
selon la formule: v=√(Mt*K)/ √d, Mt est la masse de la Terre , K la constante de Newto.
et d la distance centre de la Terre-satellite.

Il était demandé dans un QCM de Term. S, si lorsque l'on augmente la vitesse tangentielle
d'un satellite, celui-ci va se rapprocher ou s'éloigner de la Terre.
Dans le corrigé du QCM, la réponse proposée était: " Le satellite va se raprocher
car lorsque la vitesse d'un satellite est plus grande, le rayon de son orbite est plus
petit(comme indiqué plus haut)".

Cependant, il me semble que si l'on augmentait la vitesse tangentielle d'un satellite,
Celui-ci amorcerait une courbe plus ouverte et suivrait une spirale qui l'éloignerait
de la Terre et inversement, si on réduit la vitesse, il suivrait une spirale qui le rapprocherait
de la Terre.
Il me semble que si la Lune arrêtait de tourner, elle tomberait sur la Terre.

Y a-t-il une confusion dans le corrigé, je comprends que plus le rayon de l'orbite est petit,
plus la vitesse sera grande, ou est- ce mon raisonnement qui est erroné? Parce qu'il
me semble que sûr une orbite donnée, l'augmentation de la vitesse éloignerait le satellite
de la Terre.

Merci.
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[Gilgamesh]

Je confirme que si tu accélères un satellite, son énergie potentielle gravitationnelle -GM/R augmente, et il va se orbiter plus haut à plus faible vitesse tangentielle.

[Carcharodon]

Bonjour,

Il était demandé dans un QCM de Term. S, si lorsque l'on augmente la vitesse tangentielle
d'un satellite, celui-ci va se rapprocher ou s'éloigner de la Terre.
Dans le corrigé du QCM, la réponse proposée était: " Le satellite va se raprocher
car lorsque la vitesse d'un satellite est plus grande, le rayon de son orbite est plus
petit(comme indiqué plus haut)".

bien entendu, si on accélère la vitesse (donc dans le cas d'une acceleration prograde) on va augmenter le diamètre orbital, en même temps que la vitesse au périgée, a l'endroit ou on est en train d'effectuer cette acceleration.
la réponse proposée est donc fausse : si on accélère, le satellite va s'éloigner (augmenter son altitude par rapport a la surface terrestre) jusqu’à atteindre son apogée, en ralentissant progressivement dès la fin de l’accélération, pour atteindre sa vitesse minimale a son apogée et pour recommencer, une fois l'avoir passé, a accélérer de nouveau pour atteindre sa vitesse maximale au périgée.

Dans ce cas, la vitesse a l'apogée sera inférieure a la vitesse d'une LEO (low earth orbit, orbite circulaire basse), mais la vitesse au périgée sera, par contre, supérieure à la vitesse d'une LEO.
c'est pour cette raision que les mission Apollo revenant de la lune entraient dans l'atmosphère a une bien plus grande vitesse (11 km/s) que les mission qui reviennent de l'orbite basse (7.5 km/s) : car leur apogée était considérablement plus élevée que celle d'une orbite basse, la vitesse au périgée (lieu de la rentrée atmosphérique) est donc considérablement supérieure.

[mi_li_mi]

Bonjour,

Merci Gilgamesh pour votre réponse.
Pourriez-vous, s'il vous plaît, définir ce qu'est "l'énergie potentielle gravitatinnelle",
dans le cas d'un satellite.
Dans la formule -GM/R, le tiret représente-t-il le signe moins?
Pourriez-vous aussi m'expliquer la relation entre la vitesse et l'énergie potentielle.
En quoi le fait d'augmenter la vitesse fait-il croître l'énergie potentielle.
Je connais la formule (MV^2) / 2 mais il s'agit de la formule de l'énergie cinétique,
pas potentielle.

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

Bonjour,

Merci Gilgamesh pour votre réponse.
Pourriez-vous, s'il vous plaît, définir ce qu'est "l'énergie potentielle gravitatinnelle",
dans le cas d'un satellite.
Dans la formule -GM/R, le tiret représente-t-il le signe moins?
Pourriez-vous aussi m'expliquer la relation entre la vitesse et l'énergie potentielle.
En quoi le fait d'augmenter la vitesse fait-il croître l'énergie potentielle.
Je connais la formule (MV^2) / 2 mais il s'agit de la formule de l'énergie cinétique,
pas potentielle.

Merci.

Si tu laisse tomber un boule de pétanque du haut d'une tour, elle va acquérir de la vitesse, donc de l'énergie. Comme l'énergie se conserve, cela signifiait qu'elle en avait avant que tu la lâche : c'est l'énergie potentielle gravitationnelle. Elle est d'autant plus importante que la masse m est grande, et qu'elle peut tomber de haut dans un champ de gravité de forte intensité.

Quand la hauteur h de chute est petite, on peut considérer que le champ de gravité g est constant sur toute la trajectoire, et cette énergie s'écrit

E = mgh

avec g = GM/R²

h c'est la hauteur de chute cad la différence entre la distance au centre de gravité du système avant et après.
h = R_final-R_initial

Comme R_initial> R_final, h est négatif et donc E aussi

Si h n'est pas petit, il faut faire une intégrale et E s'exprime alors

E = -GMm/R

avec
G la cte de gravitation
M la masse de l'astre
m la masse de l'objet
R la distance au centre de gravité

Très couramment on donne en fait le potentiel, c'est à dire l'énergie par unité de masse m :
E = -GM/R

On voit que le potentiel est maximal, de valeur nulle, quant R est infini et que pour toute valeur finie de R, le potentiel est négatif. Ca rend un son un peu bizarre, mais c'est tout à fait logique et ce raisonnement est très générique en physique : un système lié, composé de deux corps ou plus entre lequel s'exerce une force qui les maintien ensemble est par définition un corps auquel il faut fournir de l'énergie pour délier les corps. L'énergie de liaison, quelle soit gravitationnelle ou autre, a donc toujours une valeur négative.

L'énergie que fournit un corps en partant de l'infini jusqu'à la valeur R, c'est à dire la valeur de l'énergie potentielle qu'il transforme en énergie cinétique pour se lier est, elle, positive :

ΔE = E_initial - E_final = 0 - (-GM/R) = GM/R

Typiquement, c'est cette énergie qui est dégagée dans l'atmosphère quand un corps quitte son orbite pour atteindre le sol d'une planète.