Conditions aux limites de la solution extérieure de Schwarzschild

[gizzy]

Bonjour,

Pour la dérivation de la solution extérieure de Schwarschild, en général on impose la condition aux limites que les fonctions en r des composantes temporelles et radiales de la métrique s'annulent lorsque r tend vers l'infini, de sorte qu'on retrouve la métrique de Minkowski loin de la source gravitationnelle.
Mais, si on imagine que je veux inventer un exercice pour lequel la condition aux limites est d'obtenir la métrique de Robertson-Walker à l'infini, dans un premier temps pour une courbure nulle, le facteur d'échelle s'incorpore dans les équations d'Einstein "dans le vide".

Je pars donc de la métrique statique et isotrope:
avec

Mais je laisse tomber la partie angulaire dans un premier temps, pour étudier plutôt la composante radiale de la métrique.

Pour dériver la solution de Schwarzschild, on impose la condition aux limites que


Mais ici j'examine les conséquence de la condition aux limites alternative:

et avec

C'est-à-dire plutôt la relation
plutôt que

Ce qui donnerait comme métrique:



A partir de cette métrique, j'écris l'action:
que je transforme en intégrale par rapport au temps:


J'applique les équations d'Euler-Lagrange pour la composante radiale:
, ce qui donne, après un long calcul:



avec

Etant donné que le premier terme entre crochets ne dépend pas de a(t), je suppose qu'on peut en conclure que chacun des termes doit être nul (un peu comme pour le principe de séparation de variables), puisque leur somme doit être nulle pour tout a(t) et que seul le second terme dépend de a(t).
Dans ce cas, on tire deux équations :


et


Qu'on peut combiner, ce qui donne:

où

Si on identifie cette accélération à une accélération de MCU (afin de trouver la dépendance en r de la vitesse radiale d'étoile en périphérie d'une galaxie par exemple) :


On a que

Et donc que


Si on suppose (pas de vitesse radiale):



Si on choisis (liberté de choix d'une coordonnée radiale, avec K une constante) :





En appelant :



Ce qui prédit donc une vitesse nulle en , mais pour une galaxie typique comme la voie lactée, \\
Pour , on retrouve bien une prédiction en pour la vitesse:


où

Mes 2 questions sont les suivantes:
- Ce raisonnement est-il physique ou n'est-ce qu'un jeu mathématique? Quelles sont les parties du raisonnement qui n'ont pas de sens physique?
- Le cas échéant, serait-il intéressant de creuser le facteur (a/r) afin en ne le considérant pas comme constant? si par exemple, cela "relève" la courbe de rotation des vitesse, car tout est multiplié par , et donc on obtient une dépendance de la vitesse en , c'est-à-dire plus proche des observations?

Merci d'avance pour vos retours,

Très cordialement
-----

[mach3]

Je pars donc de la métrique statique et isotrope:
avec

Mais je laisse tomber la partie angulaire dans un premier temps, pour étudier plutôt la composante radiale de la métrique.

Pour dériver la solution de Schwarzschild, on impose la condition aux limites que


Mais ici j'examine les conséquence de la condition aux limites alternative:

et avec

C'est-à-dire plutôt la relation
plutôt que

Ce qui donnerait comme métrique:

Il semble qu'il y ait une erreur. La métrique FLRW dans le cas k=0 est :

Alors que la forme métrique indiquée tend pour r grand vers :


J'ajouterais que la forme n'est rien d'autre que la métrique de Schwarzschild avec une coordonnée temporelle redéfinie (si a ne dépend que de t).

m@ch3

[gizzy]

Bonjour M@ch3,

Merci pour votre réponse.
Etes-vous certain?
En effet, le facteur a(t) se transfère à la composante temporelle, via la composante du tenseur de Ricci nulle.
N'a-ton pas en effet:

ou



Ce qui fournit, en utilisant

et donc
,

C'est-à-dire
?

[gizzy]

J'ajouterais que la forme n'est rien d'autre que la métrique de Schwarzschild avec une coordonnée temporelle redéfinie (si a ne dépend que de t).

Si la coordonnée temporelle est redéfinie, la vitesse n'est-elle pas altérée?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Si la coordonnée temporelle est redéfinie, la vitesse n'est-elle pas altérée?

Par exemple on part de la métrique de Schwarzschild , on pose avec t une nouvelle variable temporelle qui remplace le temps de Schwarschild (et j, k, l, ... des constantes), du coup , et on identifie à , ce qui donne .

Ca altère la vitesse coordonnée oui, dans le sens que (vitesse coordonnée radiale de Schwarzschild) ou (vitesse angulaire de Schwarzschild) seront respectivement différente de et , mais pour la partie physique comme les durées propres (par exemple celle nécessaire pour boucler une orbite circulaire) ça ne change rien.

Etes-vous certain?
En effet, le facteur a(t) se transfère à la composante temporelle, via la composante du tenseur de Ricci nulle.

Je ne vois pas bien de quoi il s'agit (et je n'ai pas le temps de calculer le tenseur de Ricci là ), mais peu importe, la forme métrique obtenue ne tend pas vers FLRW plat (k=0) quand r tend vers l'infini, alors que ça doit être le but. Elle tend vers qui si a n'est fonction que de t n'est pas autre chose que la métrique de Minkowski en coordonnées sphérique avec un temps coordonnée "bizarre" (on fait le même changement de variable que ci-dessus).

Un truc du genre tendrait bien vers FLRW plat par contre (mais c'est un exemple, peu de chance que ça corresponde à ce qui est recherché).

m@ch3

[gizzy]

Bonjour M@ach3,
Encore une fois merci pour votre réponse.
Je n'ai pas calculé non plus le tenseur de Ricci, j'ai juste recopié dans mon message l'équation "bien connue" obtenue pour la composante theta theta, qui reste la même ici.

Ok donc oui visiblement j'ai inversé quelque part et , mais effectivement, la métrique doit bien avoir le facteur a(t) dans la composante radiale.

Cependant, indépendamment de cette correction que je vais tout de même calculer, est-ce "physique" d'appliquer cette condition aux limites? Peut-on assimiler la coordonnée radiale de la métrique de Schwarzschild (associée à un espace isotrope) à la coordonnée radiale de la métrique de RW, associée à un espace isotrope ET homogène? (Loin de la source, l'espace est sans doute homogène, mais la coordonnée n'est alors plus isotrope?)

Quelle sorte de transformation permettrait de passer de l'une à l'autre? Afin de pouvoir appliquer de manière plus "correcte physiquement a priori" (à mes yeux) la condition aux limites?

[mach3]

Cependant, indépendamment de cette correction que je vais tout de même calculer, est-ce "physique" d'appliquer cette condition aux limites? Peut-on assimiler la coordonnée radiale de la métrique de Schwarzschild (associée à un espace isotrope) à la coordonnée radiale de la métrique de RW, associée à un espace isotrope ET homogène? (Loin de la source, l'espace est sans doute homogène, mais la coordonnée n'est alors plus isotrope?)

Des métriques qui décrivent un trou noir dans un espace en expansion, ça existe dans la littérature. Par exemple Sultana et Dyer on décrit la métrique d'un espace-temps de De Sitter contenant un trou noir. Un autre exemple très intéressant est la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi qui modélise un univers de symétrie sphérique et rempli de poussière : suivant le choix des paramètres, elle peut modéliser un univers en expansion contenant un trou noir.

Néanmoins, essayer de faire cela en posant FLRW comme conditions au limite pour Schwarzschild peut être problématique : la métrique de Schwarzschild suppose le vide contrairement à la métrique de FLRW. Il faudrait donc choisir les paramètres de FLRW qui correspondent au vide, or cela impose que les dérivées première et seconde de r soit nulle (en plus de k=0), donc du coup du Minkowski (et on revient donc à la solution habituelle). Une solution est peut être de considérer le vide jusqu'à un certain r, puis une densité uniforme au-delà, vu qu'à l'intérieur d'une distribution sphérique l'extérieur ne compte pas (théorème de Gauss), c'est possible que ça fonctionne, mais ce ne serait pas très physique (après on peut essayer de bricoler une zone de transition plus douce).
Une autre voie serait d'utiliser une variante non vide de Schwarzschild (Lemaitre-Tolman-Bondi est une telle variante mais elle ne gère que les poussières, il n'y a pas de rayonnement ou de pression) qui pourra donc tendre vers un FLRW non vide à l'infini.

m@ch3

[ThM55]

Le plus simple est la solution de Einstein-Straus. Il s'agit d'une "bulle" de vide dans un espace Friedman-Lemaître et dans cette bulle on a une métrique de Schwarzschild avec au centre la solution intérieure de Schwarzschild (pour modéliser grossièrement un amas de galaxies liées gravitationnellement). Il y a des conditions mathématiques de jonction à respecter. Physiquement elles reviennent à dire que les géodésiques suivies par les particules de poussière de FLRW coïncident à la frontière de la bulle avec les géodésiques radiales de Schwarzschild à l'intérieur. C'est une solution exacte dont le but est de modéliser un système de faible taille lié gravitationnellement et ne subissant pas l'expansion.

[gizzy]

Bonjour,
Merci pour votre réponse.

C'est une solution exacte dont le but est de modéliser un système de faible taille lié gravitationnellement et ne subissant pas l'expansion.

Ne subissant pas l'expansion, j'imagine que c'est par abus de langage? Que son influence s'avère négligeable? Est-elle nulle? Car le but justement, c'est bien de voir son influence en construisant cette métrique? La métrique de Scwharschild ne subit pas l'expansion, mais cette métrique de Einstein-Strauss fait automatiquement apparaître le facteur d'échelle de la métrique de FLRW, par construction.
Je n'ai pas (encore?) fait le calcul, la correspondance des variables radiales ne doit pas être aisée ^^ entre la (les) coordonnées radiales de Schwarschild et la coordonnée comobile...mais ce facteur d'échelle, où intervient-il dans l'équaiton géodésique résultante?

Ma question serait plutôt : pourquoi l'expansion "disparaît" de cette solution? Disparaît-elle ou est-elle négligeable? Par exemple, de quel % approximatif cette métrique corrige-t-elle les vitesses des étoiles périphériques des galaxies déduites de la métrique de Schwarschild (ou des équations de Newton)?
Je ne comprends pas comment le but de cette métrique peut être de décrire un système ne subissant pas l'expansion, alors qu'elle est construite en incorporant justement l'expansion. Si on veut décrire un système qui ne subit pas l'expansion, la métrique de Scwharzschild ne suffit-elle pas?

[gizzy]

Une solution est peut être de considérer le vide jusqu'à un certain r, puis une densité uniforme au-delà, vu qu'à l'intérieur d'une distribution sphérique l'extérieur ne compte pas (théorème de Gauss)

Cette densité uniforme extérieure, si elle ne compte pas à l'intérieur de la "vacuole", alors ça ne sert à rien de construrie la métrique? Elle sera identique à celle de Schwarzchild extérieure?
En passant, dans ce cas, est-ce juste de dire qu'on a R=0 (Ricci = 0) dans la sphère de "vide" où se trouve la galaxie assimilée à une masse centrale ponctuelle (dans un premier temps) et une étoile périphérique, et à l'extérieur, W=0 donc (Weyl = 0)
Tandis que :

Une autre voie serait d'utiliser une variante non vide de Schwarzschild (Lemaitre-Tolman-Bondi est une telle variante (...) qui pourra donc tendre vers un FLRW non vide à l'infini.

Avec cette "configuration énergétique", W=0 partout? (à l'intérieur et à l'extérieur)