automatique théorique : systèmes linéaires

[pseudomehdi]

bonjour, est ce que quelqu'un aurait la démonstration détaillé des équations sur l'image ??
je connais la démonstration de m>1 et m=1 mais celle de m<1 je ne la trouve nulle part
c'est par ce que j'aime pas les équations toute prêtes et merci
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[Antoane]

Bonjour,

Il faudrait un contexte plus précis pour répondre mais, en général, pour un ordre 2 :
C'est la même chose :
1. Calculer les racines t_1,2 du polynôme caractéristique (réelles dans le cas m>1, complexes si m<1) ;
2. les mettre dans des exponentielles pour avoir la solution : : s(t) = A*exp(t/t₁)+ B*exp(t/t₂) où A et B sont des constantes fonction des conditions initiales.
Si les racines sont complexes, tu peux séparer les exponentielles en mettant d'un côté la partie avec l'argument réel (exponentielle croissante ou décroissante) et de l'autre la partie oscillante.
En utilisant les conditions initiales, tu peux ensuite trouver les valeurs de A et B. Avec une unique condition initiale, tu peux trouver une relation entre A et B.



Avec a et Q des réels, on a :

Que l'on peut réécrire :
avec et
On note que C²+D² = 1, il existe donc un angle tel que et
Cet angle vaut : modulo 2 \pi
On peut donc réécrire l'expression de départ :


Ce n'est pas exactement la formule que tu cherches, je te laisse refaire la démonstration en posant tel que et .

[Antoane]

Tu peux aussi savoir dès le début qu'une fonction qui se mettra sous la forme :

Pourra également se mettre sous la forme :

ou sous la forme :

etc.

Il suffit de trouver les bonnes valeurs de A et B (qui sont différentes pour chaque forme).



Ca se démontre en partant d'une forme et en allant à la suivante en faisant divers calculs, ou en utilisant l'orthogonalité des fonction sin et cos, associées aux équations d'Euler (i.e. le fait que les exponentielles complexes à argument imaginaire pur et les fonctions trigo définissent le même C-espace vectoriel -- ou un truc du genre, c'est déjà loin tout ça ).

[pseudomehdi]

c'est bon merci beacoup

[A voir en vidéo sur Futura]