Appartenance d'un concept à un système axiomatique ?

[invite24327a4e]

Bonjour,
Cela fait déjà un certain temps que je me pose cette question et maintenant que j'y vois un peu plus clair, je voudrais connaître votre avis.

En supposant qu'il existe un monde des idées comme le défini Platon où sont compris tous les concepts (et j'insiste sur tous), et en définissant le terme "théorie" comme étant un sous ensemble du monde des idées (i.e. qui est une restriction du monde des idées) muni d'axiomes et d'un système logique (règles d'inférences, etc), comment prouver qu'un concept appartienne à une théorie ?

Bien que l'on pourrait discuter de la façon dont on défini une théorie, on remarque que les mathématiques font parties de ce que nous appelons ici une théorie. Elles sont munies d'axiomes, d'un système logique et il existe des objets (concepts) qui n'y existent pas. On peut penser à l'ensemble de tous les ensembles par exemple.
Il est pourtant évident que cet objet existe vu que l'on peut le "manipuler", mais pas en mathématiques. C'est pourquoi j'emploierai désormais le terme appartenance pour exprimer l'existence d'un objet vis à vis d'une théorie.

Pour exposer le problème de l'appartenance d'un objet à une théorie, je vais essayer d'introduire un objet mathématique. Il sera donc question de savoir si oui ou non cet objet appartient aux mathématiques.
Si la réponse est oui, son utilisation en sera donc permise. A contrario, si la réponse est non, l'utiliser serait tricher ; un peu comme sortir des mathématiques pour en résoudre un problème.

Définition* : (Problème)
On appelle problème toute question dont la réponse est unique.

Definition : (Solution)
On appelle solution, la réponse à un problème.

Soit P l'ensemble de tous les problèmes. Soit S l'ensemble de toutes les solutions.

Existe-il une application f : P -> S ?

Il s'agit donc de démontrer l'appartenance de f à la théorie des mathématiques.
Si la réponse est oui, vous voyez de suite ou je veux en venir. Il serait alors suffisant d'appliquer f sur un problème pour en avoir la solution.
N'est-ce pas un peu facile ?

Cette question en amène d'autre quant à l'appartenance ou non d'objet à une théorie. Est-il suffisant que la définition de l'objet soit cohérente avec la théorie pour que celui-ci y appartienne, ou est-ce que nous n'avons ici qu'une condition nécessaire ?

Je résume ceci en deux questions
1) Est-il suffisant que la définition d'un objet soit cohérent avec une théorie pour qu'il y appartienne ?
2) Est-il nécessaire mais non suffisant que la définition d'un objet soit cohérent avec une théorie pour qu'il y appartienne ?

Autrement-dit, l'assurance qu'un objet appartienne ou non à une théorie dépend t-elle de la possibilité d'en retrouver son existence par déduction directe des axiomes ?

Par exemple, N se retrouve grace aux axiomes de ZF, mais quant est-il d'un espace non commutative et de tout l'algèbre en général ?

Si vous avez des éléments de réponses à me fournir ou des remarques quant à la forme et le fond de ce sujet, n'hésitez surtout pas à les dire.

* : Lorsque j'emploi le terme définition, je ne fais que nomer un concept appartenant au monde des idées. C'est à dire que rien ne me permet de conclure quant à l'appartenance de ces deux ensembles à la théorie mathématique.
-----

[Médiat]

Existe-il une application f : P -> S ?

Pour la logique classique du premier ordre, la réponse est non, elle est complète (Gödel), mais indécidable (Church, Turing, Post) ; et pour les logiques d'ordre supérieurs, c'est pire...

1)Est-il suffisant que la définition d'un objet soit cohérent avec une théorie pour qu'il y appartienne ?
2) Est-il nécessaire mais non suffisant que la définition d'un objet soit cohérent avec une théorie pour qu'il y appartienne ?

Je ne suis pas sur de bien comprendre le sens de cohérent dans ces phrases, par exemple si je considère la théorie de l'arithmétique de Presburger (théorie non seulement consistente, mais complète de surcroit) qui n'utilise que la fonction successeur, l'addition et l'égalité, que peut vouloir dire la question "est-ce que la multiplication (qui n'est même pas dans le langage) est cohérente avec Presburger" ?
Ce qu'il est possible de faire, c'est d'ajouter un nouveau symbole au langage utilisé, de formuler les axiomes pour ce nouveau symbole, et vérifier que la nouvelle théorie obtenue est consistante ; la bonne question est donc "Est-ce que l'arithmétique de Peano est consistante ?".

[invite24327a4e]

Bonjour Médiat,
Tout d'abord, je tiens à préciser que je ne suis pas logicien (ni mathématicien d'ailleurs). Les mots que j'utilise peuvent donc ne pas être les bons.

Lorsque je dis
1) Est-il suffisant que la définition d'un objet soit cohérent avec une théorie pour qu'il y appartienne ?
2) Est-il nécessaire mais non suffisant que la définition d'un objet soit cohérent avec une théorie pour qu'il y appartienne ?
il faudrait plutôt lire est-il suffisant que la définition d'un objet ne soit pas en contradiction avec les axiomes d'une théorie pour qu'il y existe, ou bien est-ce juste nécessaire mais non suffisant ?

Il semblerait que dans une théorie complète, un concept y "appartient" s'il peut être démontré directement via les axiomes de celle-ci. En conséquence de quoi, l'introduction de la multiplication dans l'arithmétique de Presburger ménerait à une indécidabilité quant à son exsitence ?

Si c'est le cas, je me rends compte qu'il y'a tout de même un problème. Lorsque j'utilise une application ou un espace vectoriel, comment être sûr que ceux-ci existent bel et bien dans la théorie que j'utilise et que je ne triche pas en utilisant un objet qui n'existe pas dans la théorie dans laquelle je travaille ? J'ai un peu l'impression qu'on ne peut juger de l'existence de la plupart des définitions mathématiques (dans les théories mathématiques).
Sommes-nous donc condamner à ajouter un axiome de plus à chaque définition ? N'est-ce pas trop "dangereux" et trop restrictif ?

[inviteb41703d7]

Il semblerait que dans une théorie complète, un concept y "appartient" s'il peut être démontré directement via les axiomes de celle-ci. En conséquence de quoi, l'introduction de la multiplication dans l'arithmétique de Presburger ménerait à une indécidabilité quant à son exsitence ?

Si c'est le cas, je me rends compte qu'il y'a tout de même un problème. Lorsque j'utilise une application ou un espace vectoriel, comment être sûr que ceux-ci existent bel et bien dans la théorie que j'utilise et que je ne triche pas en utilisant un objet qui n'existe pas dans la théorie dans laquelle je travaille ? J'ai un peu l'impression qu'on ne peut juger de l'existence de la plupart des définitions mathématiques (dans les théories mathématiques).
Sommes-nous donc condamner à ajouter un axiome de plus à chaque définition ? N'est-ce pas trop "dangereux" et trop restrictif ?

Bonjour,

Je ne suis pas logicien moi non plus, mais je pense voir que quelque part votre réponse est déjà dans votre question. Donc j'interroge surtout sur la question en elle même, et non sur la logique (Mediat est bien plus expérimenté pour cela).

Il me semble que votre réponse est déjà implicitement présente dans votre questionner et qu'elle n'est plus qu'à dévoiler.
Notamment, dans le fait de poser la question "Sommes-nous donc condamné à ajouter un axiome de plus à chaque définition ?" avec comme présupposé implicite "J'ai un peu l'impression qu'on ne peut juger de l'existence de la plupart des définitions mathématiques (dans les théories mathématiques)", vous abordez déjà les mathématiques, ou la logique, en dehors du jeu de langage logique. Donc dans une perspective méta-logique, si je puis dire.

Ainsi, peut-être cela présuppose-t-il un questionnement sur le rapport entre le logicien (qui crée les propositions logiques) et sa logique (ces règles qui s'imposent, en retour, au logicien).
De sorte qu'on entre alors dans une pensée plus générale sur le langage, voire un rapport onto-logique, entre la logique et le monde. Notamment sur le sens différent que pourrait avoir "exister" dans l'énonciation d'une proposition logique et "exister" dans l'énonciation d'un rapport méta-linguistique au monde?

C'est une question philosophique très profonde qui, en rapport à la logique, a notamment été traitée par Wittgenstein dans son Tractatus logico-philosophicus. Mais aussi, de façon plus générale sur le langage dans les Recherches philosophiques (toujours de Wittgenstein).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

En conséquence de quoi, l'introduction de la multiplication dans l'arithmétique de Presburger ménerait à une indécidabilité quant à son exsitence ?

La question ne se pose même pas, puisque la multiplication n'existe pas dans le langage de Presburger, et si on l'introduit, c'est une autre théorie qui prend forme et si on choisit mal ses axiomes, cela n'affectera pas Presburger.

Sommes-nous donc condamner à ajouter un axiome de plus à chaque définition ? N'est-ce pas trop "dangereux" et trop restrictif ?

Nous sommes condamnés à définir ce que nous voulons utiliser, ce n'est pas dangereux (c'est le contraire qui le serait), ni restrictif puisque l'on peut inventer tous les symboles que l'on veut et leur donner la définition qui nous plait (mais il faut que cela plaise aux autres pour devenir célèbre ).

[invite24327a4e]

Donc l'existence des espaces vectoriels et de certains ensembles qui ne peuvent pas être retrouvés par simple déduction des axiomes est postulé ?
Si c'est le cas, la théorie mathématique que nous utilisons "tous les jours" contient énormement d'axiomes.

Comment être sûr que deux concepts posés comme axiomes sont compatibles ?

Sinon, comment se fait-il que la multiplication n'existe pas dans l'arithmétique de Presburger alors qu'elle n'est qu'une ittération de l'addition ? Elle me semble contenu dans l'addition.

[Médiat]

Donc l'existence des espaces vectoriels et de certains ensembles qui ne peuvent pas être retrouvés par simple déduction des axiomes est postulé ?

Je suis désolé, mais cette phrase n'a pas de signification logique, un espace vectoriel est une structure munie d'opérations vérifiant certains axiomes, d'une certaine façon (et en partie), ils sont ce que sont leurs axiomes.

Si c'est le cas, la théorie mathématique que nous utilisons "tous les jours" contient énormement d'axiomes.

Oui

Comment être sûr que deux concepts posés comme axiomes sont compatibles ?

En démontrant que la nouvelle théorie ainsi obtenue est consistante, ou en exhibant un modèle.

Sinon, comment se fait-il que la multiplication n'existe pas dans l'arithmétique de Presburger alors qu'elle n'est qu'une ittération de l'addition ? Elle me semble contenu dans l'addition.

Dans le mille : je vais te répondre dans quelques jours, il se trouve que je suis en train de rédiger un document sur ce sujet, et il faut que je le relise encore avant de le poster (dans la section mathématique du supérieur).
Pour faire simple la réponse est non à la remarque en gras, tu trouveras la justification de ce "non" dans le document en question.

[inviteb41703d7]

Nous sommes condamnés à définir ce que nous voulons utiliser, ce n'est pas dangereux (c'est le contraire qui le serait), ni restrictif puisque l'on peut inventer tous les symboles que l'on veut et leur donner la définition qui nous plait (mais il faut que cela plaise aux autres pour devenir célèbre ).

Cela me rappelle cette phrase du 612e aphorisme de Wittgenstein, dans son livre posthume De la certitude : "Au bout des raisons il y a la persuasion".

[invite24327a4e]

Je suis désolé, mais cette phrase n'a pas de signification logique, un espace vectoriel est une structure munie d'opérations vérifiant certains axiomes, d'une certaine façon (et en partie), ils sont ce que sont leurs axiomes.

La définition est ce qu'elle est, je suis entièrement d'accord. Seulement une définition n'est qu'un nom donné à un concept. Rien ne nous dit, à priori, que ce concept appartient à une théorie axiomatique quelconque.

On peut par exemple définir une théorie mathématique à l'aide d'axiomes. Qui nous dit que ces objets y appartiennent ? Comment prouver l'existence des EV et de l'algèbre dans une théorie qui ne les postulent pas ?

Au sujet de l'addition qui ne comprendrait pas l'addition, est-ce que ça a un rapport avec la multiplication par des réels ?

[Médiat]

On peut par exemple définir une théorie mathématique à l'aide d'axiomes. Qui nous dit que ces objets y appartiennent ?

Encore une fois, je suis incapable de donner un sens à cette phrase, désolé.

Comment prouver l'existence des EV et de l'algèbre dans une théorie qui ne les postulent pas ?

En montrant que les axiomes de la théorie permettent de définir (et non de les créer dans le langage (ça aussi c'est dans le document cité ci-dessus)) des objets qui vérifient les axiomes des EV ou des algèbres (c'est à dire en faisant une interprétation) ; par exemple dans la théorie de Presburger il n'y a pas de symbole de relation d'ordre, mais on peut en définir une (sans ajouter d'axiomes).

Au sujet de l'addition qui ne comprendrait pas la multiplication, est-ce que ça a un rapport avec la multiplication par des réels ?

Non, pas du tout.

[invite24327a4e]

Encore une fois, je suis incapable de donner un sens à cette phrase, désolé.

Je vais essayer de donner un exemple pour me faire comprendre.
Supposons qu'il existe deux théories mathématiques. L'une que nous notons M1 et l'autre M2. Supposons également que leurs axiomes sont identiques en tout point, si ce n'est que l'une d'entre elle (M2) comprend l'axiome du choix en plus des autres.

Supposons à présent qu'il existe dans M1 des propriétés indécidables qui sont décidables dans M2.

On peut supposer que l'une de ces propriétés est en rapport avec l'existence d'un objet mathématique, tel une application par exemple.

Le fait que l'on ne puisse pas répondre à la question de l'existence de cet objet dans M1 ne veut pas dire qu'il n'y existe pas, n'est-ce pas ? Donc, il serait techniquement possible d'utiliser cette application dans M1 sous réserve qu'elle y existe. Maintenant, que se passe t-il si un mathématicien qui travaille avec M1 utilise l'application alors qu'elle n'existe* pas dans M1 ? Il "triche", non ?

Et c'est là que ça me pose problème. J'ai l'impression que lorsque l'on fait des mathématiques et que l'on utilise des notions d'algèbre puis d'analyse, rien ne nous dit que nous avons le droit de le faire. Car qui nous dit qu'il existe une théorie mathématique où l'algèbre et l'analyse cohabitent ? On peut toutefois le postuler, mais ajouter des axiomes d'existence à tout va n'est-ce pas limiter à chaque fois un peu plus la théorie mathématique dans laquelle on travaille ? Et puis cela voudrait dire qu'il existe non pas quelques mathématiques sur lesquels des mathématiciens travaillent, mais une par mathématicien non ? Le mathématicien sait-il seulement dans quelle théorie il se place lorsqu'il travaille ?

D'ou mes questions précédentes qui, il semblerait, n'ont pas de réponses.

1) Est-il suffisant qu'un objet quel qu'il soit (un concept bien défini en quelque sorte) ne soit pas en contradiction avec les axiomes d'une théorie mathématique pour qu'il y existe ?
2) Est-ce simplement une condition nécessaire mais non suffisante ?

* : C'est pour cela que je parlais d'appartenance. Je trouve que le mot "appartenance à une théorie" reflette plus la réalité si l'on considère que les concepts une fois définis existent quelque part et, qu'ensuite seulement, ils peuvent être compris ou non dans ces système axiomatique.

[Médiat]

Le fait que l'on ne puisse pas répondre à la question de l'existence de cet objet dans M1 ne veut pas dire qu'il n'y existe pas, n'est-ce pas ? Donc, il serait techniquement possible d'utiliser cette application dans M1 sous réserve qu'elle y existe. Maintenant, que se passe t-il si un mathématicien qui travaille avec M1 utilise l'application alors qu'elle n'existe* pas dans M1 ? Il "triche", non ?

Si l'existence de cette application (une fonction de choix par exemple) n'est pas garantie par les axiomes de M1, le mathématicien honnête doit dire "sous réserve de l'existence de telle application etc.", en effet dans le cas évoqué ci-dessus l'existence de fonction de choix est garantie par l'axiome du choix, cela ne veut pas dire qu'il n'en existe aucune, elle peut donc exister dans M1, ou avec des hypothèse moins forte que l'axiome du choix (du choix dénombrable par exemple).

En lisant tes posts, je me demande si tu ne mélanges pas Théorie axiomatique et modèle (et donc la théorie de ce modèle).

1) Est-il suffisant qu'un objet quel qu'il soit (un concept bien défini en quelque sorte) ne soit pas en contradiction avec les axiomes d'une théorie mathématique pour qu'il y existe ?
2) Est-ce simplement une condition nécessaire mais non suffisante ?

Je ne comprends toujours pas la signification de ces phrases dans une théorie, et dans un modèle, la question peut se poser si l'on a une interprétation de l'objet en question, et alors la question devient banale. Je reprends l'exemple de l'arithmétique de Presburger, il est clair que la multiplication n'existant pas dans le langage, savoir si elle existe dans la théorie n'a pas de sens ; on peut se demander si on peut ajouter un (ou des) symbole(s) pour de nouveaux prédicats avec tels ou tels axiomes, la question est alors celle de la consistance. Si on étudie un modèle de Presburger, par exemple IN, alors nous savons qu'une multiplication y dort en nous attendant, mais du fait même qu'elle existe dans ce modèle se demander si son existence est contradictoire ou non avec les axiomes n'a pas beaucoup de sens (je me place dans la logique du premier ordre qui a la bonne idée d'être à la fois complète et robuste).

J'ai l'impression que lorsque l'on fait des mathématiques et que l'on utilise des notions d'algèbre puis d'analyse, rien ne nous dit que nous avons le droit de le faire. Car qui nous dit qu'il existe une théorie mathématique où l'algèbre et l'analyse cohabitent ?

ZF permet de définir une très grande part des mathématiques, l'arithmétique du second ordre embarque l'analyse etc.

[invite24327a4e]

En lisant tes posts, je me demande si tu ne mélanges pas Théorie axiomatique et modèle (et donc la théorie de ce modèle).

C'est possible. Pourrais-tu me définir ces deux concepts histoire que j'y vois plus clair ?

[Médiat]

C'est possible. Pourrais-tu me définir ces deux concepts histoire que j'y vois plus clair ?

Une théorie T est un ensemble de formules pour un langage donné, clos par inférence, en général on décrit une théorie à l'aide de formules "génératrices" de cet ensemble = une telle famille est appelée "ensemble d'axiomes" pour la théorie T, ou une axiomatique pour T, une théorie est donc une vision purement syntaxique.

Un modèle d'une théorie est une interprétation des éléments du langage de T (c'est à dire une structure, une définition pour les constantes, les fonctions et les prédicats du langage), de plus cette interprétation doit être telle que les éléments qui interprètent le langage vérifient les axiomes de la théorie, un modèle est donc une vision purement sémantique.

Je vais compléter l'exemple de mon post précédent :
Le langage :
La théorie "< est une relation d'ordre totale, dense, sans extremums".
Le modèle : , dans lequel j'interprète < par la relation d'ordre habituelle sur (pour l'égalité, je te laisse deviner).

Il est clair que + n'existe pas dans le langage.
Peut-on néanmoins trouver + dans la théorie ? Non ! C'est comme se demander si un révolver a des cheveux blancs .
Peut-on ajouter + au langage ? Oui ! Je peux aussi ajouter , mais tant que je n'en ai pas précisé les axiomes, cela ne sert à rien.
Peut-on ajouter les axiomes de + à la théorie ? Oui ! Mais cela n'a de sens que si la nouvelle théorie est consistante (et si possible si + a un lien avec <).
Peut-on trouver + (avec un jeu de propriétés qui convienne à notre intuition de +) dans le modèle précédent ? Oui ! Mais se demander si cette addition est cohérente avec < est trivial, justement parce qu'elle existe.
Doit-on trouver + (avec un jeu de propriétés qui convienne à notre intuition de +) dans tous les modèles de la théorie ? Non, par exemple dans le modèle (isomorphe au précédent dans le langage ), l'addition sous-jacente du modèle n'a aucune des propriétés attendues (0.8 + 0.8 n'existe même pas).
Peut-on munir un modèle de notre théorie d'une interprétation de + ? Oui et Non ! Oui, parce que dans le cas précédent les deux modèles sont isomorphes, un isomorphisme de , peut "transporter" l'addition de dans tous les modèles de notre théorie (il se trouve que la théorie choisie est -catégorique (tous les modèles dénombrables sont isomorphes). Non, parce que si je prends pour théorie celle des ordres totaux denses avec un extremum et si parmi les axiomes j'impose , alors le modèle \mathbb{Q} \, \cap \, ]0; 1], ne peut pas être "complété" avec une addition, notée pour éviter les confusions (à quoi serait égal ?)

En espérant avoir été clair...

[invite57a1e779]

Un modèle d'une théorie est une interprétation des éléments du langage de T (c'est à dire une structure, une définition pour les constantes, les fonctions et les prédicats du langage), de plus cette interprétation doit être telle que les éléments qui interprètent le langage vérifient les axiomes de la théorie, un modèle est donc une vision purement sémantique.

Et où-trouve-t-on une telle interprétation ? dans le monde des idées de Platon ?

[Médiat]

Et où-trouve-t-on une telle interprétation ? dans le monde des idées de Platon ?

Non, c'est bien de maths dont je parle (cf. le message #33 : http://forums.futura-sciences.com/thread102468-2.html), la théorie des modèles suppose une théorie des ensembles plus ou moins naïve, une interprétation est donc une application de l'ensemble des symboles du langage dans "ce qui va bien" (selon que l'on parle de constante, de fonction ou de relation).
Si le langage est L = (e, +) où e est un constante, et + une fonction 2-aire, je te laisse trouver tout seul, ce que peut être une interprétation de ce langage dans l'ensemble {u, v} ou u et v sont des lettres de l'alphabet (pas vraiment besoin de ZFC pour manipuler un tel ensemble), de telle sorte que {u, v}, avec cette interprétation soit un groupe.

[invite57a1e779]

Bonjour Médiat,

Nla théorie des modèles suppose une théorie des ensembles plus ou moins naïve, une interprétation est donc une application de l'ensemble des symboles du langage dans "ce qui va bien" (selon que l'on parle de constante, de fonction ou de relation).

Et c'est "ce qui va bien" qui se trouve dans le monde des idées de Platon ? ou ailleurs ?

Si le langage est L = (e, +) où e est un constante, et + une fonction 2-aire, je te laisse trouver tout seul, ce que peut être une interprétation de ce langage dans l'ensemble {u, v} ou u et v sont des lettres de l'alphabet (pas vraiment besoin de ZFC pour manipuler un tel ensemble), de telle sorte que {u, v}, avec cette interprétation soit un groupe.

Et si le langage est celui de l'arithmétique de Robinson, ou de Presburger, on interprète comment ?

[Médiat]

Bonjour God's Breath

Et c'est "ce qui va bien" qui se trouve dans le monde des idées de Platon ? ou ailleurs ?

Le "ce qui va bien", fait référence à la définition des constantes, fonctions, relations, tu as une définition plus précise dans le lien précédent

Et si le langage est celui de l'arithmétique de Robinson, ou de Presburger, on interprète comment ?

Tu attends un peu je compte poster un document de 20 pages sur ce genre de sujet, mais le PDF fait 12 Mo, ce qui est le double de ce que FSG m'autorise, je cherche à réduire ce volume...

Ceci dit la réponse à ta question est triviale puisque que tu ne parles que de langage et non de modèle

[invite57a1e779]

une interprétation est donc une application de l'ensemble des symboles du langage dans "ce qui va bien" (selon que l'on parle de constante, de fonction ou de relation).

Je repose la question différemment :quelle est la définition d'une application de l'ensemble des symboles du langage dans "ce qui va bien" ? dans quel monde vit-elle ?

Pour l'autre question, reformulation : et si le langage est celui de l'arithmétique de Robinson, ou de Presburger, dans quel monde trouve-t-on un modèle ? ce monde où on trouve un modèle, où le trouve-t-on lui-même ?

[inviteea6fd0dc]

Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens

Dont God's breath ne fait, manifestement, pas partie.

Médiat, y'a des fois ou le suicide me tente. J'en ai de plus en plus marre des philosophes, surtout faisant référence à Platon !

[Médiat]

Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens

Dont God's breath ne fait, manifestement, pas partie.

Médiat, y'a des fois ou le suicide me tente. J'en ai de plus en plus marre des philosophes, surtout faisant référence à Platon !

baguette, tu te trompes de cible

[Médiat]

Je repose la question différemment :quelle est la définition d'une application de l'ensemble des symboles du langage dans "ce qui va bien" ? dans quel monde vit-elle ?

Comme je le disais, la théorie des modèles a besoin d'une théorie des ensembles plus ou moins naïve (et très souvent très naïve).

Pour l'autre question, reformulation : et si le langage est celui de l'arithmétique de Robinson, ou de Presburger, dans quel monde trouve-t-on un modèle ? ce monde où on trouve un modèle, où le trouve-t-on lui-même ?

Le langage de l'arithmétique Presburger est (0, s, +), je te propose une interprétation pour ce langage : Ma structure est un singleton : {"Oiseau"}, où "Oiseau" est une chaîne de caractères et ma fonction d'interprétation est :

0 --> "Oiseau"
s("Oiseau") = "Oiseau"
"Oiseau" + "Oiseau" = "Oiseau"
Le langage de l'arithmétique de Robinson est (0, s, +, x)
il suffit d'ajouter l'interprétation de x :
"Oiseau" x "Oiseau" = "Oiseau"

Pour être complet, je peux ajouter l'interprétation de = :
"Oiseau" = "Oiseau"

Je disais que pour les langage la réponse est triviale, puisque je n'ai pas besoin de vérifier que mon interprétation vérifie ou non les axiomes de ces théories (mais avec des chaînes de caractères, on peut facilement trouver une interprétation pour l'arithmétique de Presburger).

[invite57a1e779]

baguette, tu te trompes de cible

Peut-être pas... Je dois être le seul à oser prétendre et affirmer haut et fort que les mathématiques ne sont pas une science, mais un art, ou éventuellement, en suivant et en dépassant Kant dans son Grundlegung zur Metaphysik der Sitten, pourrait-on les ranger dans la métaphysique.

[Médiat]

Peut-être pas... Je dois être le seul à oser prétendre et affirmer haut et fort que les mathématiques ne sont pas une science, mais un art, ou éventuellement, en suivant et en dépassant Kant dans son Grundlegung zur Metaphysik der Sitten, pourrait-on les ranger dans la métaphysique.

Nos positions ne sont peut-être pas si éloignées : je crois profondément c'est, aussi, un art (et je ne nie pas cet aspect aux autres sciences, sauf que les mathématiques sont la seule science (car je crois quelles appartiennent, aussi, à ce domaine) où l'on n'est pas contraint à faire du figuratif. Quant à Kant (comment résister), je l'ai dépassé depuis longtemps en rangeant les mathématiques dans l'ontologie (j'ai été rejoint sur ce point par A. Badiou, qui a développé cette idée, alors que chez moi, avant de lire Badiou, c'était plus une intuition pour discussion de comptoir).

[invite57a1e779]

Quant à Kant (comment résister), je l'ai dépassé depuis longtemps en rangeant les mathématiques dans l'ontologie (j'ai été rejoint sur ce point par A. Badiou.

Je ne peux te suivre dans cette direction, je ne trouve aucun statut ontologique aux mathématiques...

[Médiat]

Je ne peux te suivre dans cette direction, je ne trouve aucun statut ontologique aux mathématiques...

Argument de comptoir :
La théorie de la gravité est la même pour tout le monde, mais cela peut s'expliquer facilement : les pommes tombent de la même façon pour tout le monde.
Les règles qui sont utilisées en mathématiques (la logique) sont les mêmes pour tout le monde, les théorèmes sont les mêmes pour tout le monde, or ils ne relèvent d'aucune expérience, d'aucun rapport au réel (exemple : le paradoxe de Banach-Tarski), ne seraient-elles pas (les mathématiques) le reflet de l'être ?
On peut reprocher à la phrase précédente de parler d'une logique alors qu'il en existe plein, ce n'est pas un argument recevable, puisque, travailler en logique classique ne veut pas dire que l'on pense que les logiques modales sont nulles et non-avenues et que leurs théorèmes sont faux (elles sont toutes acceptées, mais on peut les trouver plus ou moins fécondes, et même moduler ce point de vue en fonction du sujet), et surtout parce qu'il y a une méta-logique qui préside à la création de différentes logiques, qui fait que tout le monde les accepte comme logique.
Pour des arguments plus philosophiques, voir Badiou : "L'être et l'événement".
Badiou ajoute (dans son style) "il est de l'essence de l'ontologie de s'effectuer dans la forclusion réflexive de son identité", et je suis d'accord, même si je l'aurais dit autrement.

[inviteb41703d7]

Peut-être pas... Je dois être le seul à oser prétendre et affirmer haut et fort que les mathématiques ne sont pas une science, mais un art, ou éventuellement, en suivant et en dépassant Kant dans son Grundlegung zur Metaphysik der Sitten, pourrait-on les ranger dans la métaphysique.

Bonjour,

Quoi qu'on en dise, Kant mettait la logique dans la métaphyque parce qu'elle forme des catégories transcendantales, qui sont toujours présupposés dans toute expériences. D'ailleurs, en lisant la Critique de la raison pure, on ne voit qu'une chose : sans logique il n'y a pas d'expérience du temps et de l'espace,... Donc il y a bien une question ontologique dans le fait de la logique (ou pré-ontologique si l'on ne définit l'ontologie qu'en vertu de l'expérience sensible) . C'est pour cette raison qu'il mettait logique et mathématiques dans les sciences a priori, purement analytiques, par opposition au sciences synthetiques, qui sont liées à l'expérience empirique, celles-ci se conditionnant l'une l'autre, mais ayant des modes de validation différents (déductive pour l'une, empirique pour l'autre). Contrairement à la doxa courrante, "métaphysique", chez Kant, n'est pas un terme péjoratif, bien du contraire...

[inviteb41703d7]

Ou plus exactement, ce qui est métaphysique et intenable pour Kant c'est lorsqu'on fonde des questions qui nécessitent une expérience empirique uniquement sur un argumentaire analytique. Voilà la métaphysique que Kant critique, mais ceci n'est pas la logique. Bien que... que ce soita priori ou empiriquement, les règles logiques sont toujours présupposées. Il faut juste, dit Kant, freiner notre tendance à construire des systèmes qui risqueraient d'être pris comme étant des vérités empiriques a priori (donc éviter l'oxymore).

[invite24327a4e]

Je repose la question différemment :quelle est la définition d'une application de l'ensemble des symboles du langage dans "ce qui va bien" ? dans quel monde vit-elle ?

Pour l'autre question, reformulation : et si le langage est celui de l'arithmétique de Robinson, ou de Presburger, dans quel monde trouve-t-on un modèle ? ce monde où on trouve un modèle, où le trouve-t-on lui-même ?

J'ai tendance à penser qu'un modèle est une restriction du monde des idées de Platon. C'est pour cela que je parlais maladroitement d'appartenance d'un objet à une théorie, et non pas d'existence.
Par contre, ou se trouve la théorie qui admet en tant qu'axiome l'existence d'un monde des idées ? Elle semble se trouver également dans le monde des idées, ce qui pose un problème, non ?
A moins que la théorie qui suppose l'existence d'un monde des idées ne soit le monde des idées.

[inviteb41703d7]

J'ai tendance à penser qu'un modèle est une restriction du monde des idées de Platon. C'est pour cela que je parlais maladroitement d'appartenance d'un objet à une théorie, et non pas d'existence.
Par contre, ou se trouve la théorie qui admet en tant qu'axiome l'existence d'un monde des idées ? Elle semble se trouver également dans le monde des idées, ce qui pose un problème, non ?
A moins que la théorie qui suppose l'existence d'un monde des idées ne soit le monde des idées.

Bonjour,

C'est intéressent cette idée de modèle comme d'une restriction des idées platoniciennes. Mais il y a une chose qu'il faut alors préciser sur Platon, et qui pourrai peut-être éclaircir votre questionnement, c'est que son monde des idées n'est pas un ensemble d'axiomes au sens où on l'entendrait aujourd'hui.

En effet, qu'est-ce qu'une Idée chez Platon? C'est très simple, et la meilleure illustration que je connaisse est celle de Gilles Deleuze : l'Idée, pour Platon, est une chose qui n'est que ce qu'elle est, de façon immuable et dans toute son intégrité. Contrairement aux choses du monde réel, copies imparfaites et corrompues des idées, et qui sont constamment différents et différenciées (car soumis eu temps...). Cela parait abstrait, mais prenons un exemple concret.
Ce que veut dire Platon sur l'Idée de la justice, c'est qu'elle ne peut être que juste. Et elle ne peut être que juste parce qu'elle se rapporte à l'Être qui ne peut que être, et jamais ne pas être (cf. Parménide:"être est, le non-être n'est pas"). Son souci est de préserver l'enseignement Socratique, contre une certaine forme de sophistique. Mais on se situe à une époque où cette manière de penser n'est pas évidente comme de nos jours. En quelques sortes, l'Être, en tant qu'être suprême, est le principe de toutes les Idées et son propre principe de non-contradiction (tout émane de l'être). De sorte que si je dis "tel acte est juste", cela signifie dans un sens platonicien : tel acte est tel qu'il est une version corrompue de l'Idée de justice absolue qui ne peut être que juste (sans quoi elle n'est pas), de sorte qu'on ne peut pas la rapporter à une quelconque injustice. Mais l'acte n'est pas juste en soi, il n'est que la copie imparfaite de cette idée de justice, de sorte qu'il peut être sujet à contradiction.

Le problème de Platon n'est pas logique en soi, mais dialogique et dialectique, dans la nécessité de se mettre d'accord dans un débat contradictoire où les mots devront être (eux-même comme copies imparfaites des Idées) est mise à l'épreuve.

Et c'est dans le débat contradictoire que va naître la logique en elle même. C'est à dire dans un rapport à un interlocuteur et où les mots, il ne faut pas l'oublier, sont considérés comme des objets au même titre que les tables et les chaises (à cette époque, il est était légitime de se demander si lorsqu'on parle d'un char, un char sort effectivement de la bouche). Le mot ne s'identifie pas à l'Idée car, contrairement à l'Idée, il peut désigner une multiplicité de choses. Il peut être trompeur, comme chez les sophistes.
En effet, de par la langue antique, de par la doxa de l'époque, le rapport au langage n'était pas le même que pour nous, post-latinistes dont le langage analytique est tel que chaque mot (concept) peut être considéré comme un atome de sens. Maintenant, nous définissons les atomes linguistiques, les règles et nous déduisons, à l'époque, ce rapport devait être pensé en profondeur. Il devait être durement arraché au discours trompeur...

Cordialement.