Appartenance à plan.

[invite91552492]

Bonjour,

Je ne sais trouver comment montrer que le point D appartient au plan (ABC) avec D(0;1;-3) et A(1;-2;-5), B(0;0;-2) et C(-1;3;0).

Pouvez-vous m'aider ?

Merci...
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[invitec053041c]

Bonjour.
As-tu essayé de trouver une relation de linéarité entre le vecteur AD (par exemple) et AB et AC (définissant le plan) ?

[invite91552492]

Merci.
Mais comment fait-on cela ?
J'ai AB et AC et AD mais comment trouver le rapport ?

[invitec053041c]

A vrai dire? A tâton !
A vue, j'ai quelque chose comme AB=AC-AD

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3df1c846]

Salut!!!
Avec les trois points que tu as tu devrais pouvoir trouver l équation carthésienne du plan ABC!!

Tu poses l équation du plan ABC ax+by+cz+d=0. Si A, B et C appartiennent au plan alors ils répondent à l équation donc...

[invite91552492]

Et j'ai le droit d'écrire que c'est AC-AB car (-2;5;5) - (-1;2;3) = (-1;3;2) ?

[invitec053041c]

Salut!!!
Avec les trois points que tu as tu devrais pouvoir trouver l équation carthésienne du plan ABC!!

Tu poses l équation du plan ABC ax+by+cz+d=0. Si A, B et C appartiennent au plan alors ils répondent à l équation donc...

Ca va tellement plus rapidement de vérifier que ton vecteur est combinaison linéaire de vecteurs du plan.
Passer par l'eq cartésienne coûte : 1 produit vectoriel (ou un système de 2 produits scalaires nuls), la détermination de la constante, l'injection des coordonnées de A dans l'equation. Ta méthode nous ferait résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues...c'est laborieux pour juste une petite vérification.
Et oui tu as le droit d'écrire (-2;5;5) - (-1;2;3) = (-1;3;2)

[invite3df1c846]

eeee à vrai dire j en sais rien mais je sais que la technique en TS c est plutôt de trouver le plan ABC par un système puis de vérifier si D appartient à ce plan en remplaçant ses coordonnées dans l équation du plan!! ^^

[invitec053041c]

eeee à vrai dire j en sais rien mais je sais que la technique en TS c est plutôt de trouver le plan ABC par un système puis de vérifier si D appartient à ce plan en remplaçant ses coordonnées dans l équation du plan!! ^^

Oui, tous les chemins mènent à Rome, mais si on peut prendre l'autoroute (gratos en maths!), autant en profiter .
Cordialement.

[invite91552492]

Merci !!!!!
Je suis en première s... la technqiue de la soustraction me suffit ^^
Sinon, par curiosité ca donnerait quoi en méthode TS ?

[invite3df1c846]

meeee nan ya juste besoin de vérifier que les points A, B et C répondent à ax + by + cz +d=0 !!! mais effectivement c est bien un système à trois inconnues!! ^^

Je crois que j ai jamais compris que les maths c était arriver à un résultat par la méthode la plus simple!!! J aime tellement bien les calculs de brute!! ^^

Mais c est vrai que la méthode de Ledescat est fichtremet plus sympa!!! A moins que comme moi t adores les systèmes!! ^^

[invite3df1c846]

Ben la méthode TS est la plus simple possible en théorie donc celle que tu as faite mais tu verras aussi que l équation d un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c des coefficients à déterminer!!

Or si un point appartient à un plan il répond à son équation donc ça te faisait le système :
a-2b-5c+d=0
-2c+d=0
-a+3b+d=0

Apres tu exprimes a, b et c en fonction de d tu obtiens une équation du type
3dx+5dy-3dz+d=0
tu divises tout par d, tu obtiens l équation du plan ABC qui serait donc ici
3x+5y+3z+1=0

tu vérifies ensuite si D vérifie l équation du plan...

C est un chouilla plus long... ^^

[invitec053041c]

Merci !!!!!
Je suis en première s... la technqiue de la soustraction me suffit ^^
Sinon, par curiosité ca donnerait quoi en méthode TS ?

Bon, je me lance, vraiment pour te montrer que la méthode que tu as utilisée est vraiment plus simple .

L'équation du plan est a^x+by+cz+d=0 avec (a,b,c) vecteur normal à P.
On doit donc chercher n(a,b,c) tel que n.AB=0 et n.AC=0
Après la résolution d'un petit système (ou un grugeage de ma part qui utilise le produit vectoriel, mais chuut), on peut prendre n(5,1,1)
On a donc P: 5x+y+z+d=0
Comme B vérifie l'équation, on en déduit d=2

On a donc P: 5x+y+z+2=0

On injecte les coordonnées de D:
5xd+yd+zd+2=1-3+2=0
Donc D appartient bien à P, ouff .

Convaincue que chercher une combinaison linéaire c'est incomparable ?

[invitec053041c]

Mais c est vrai que la méthode de Ledescat est fichtremet plus sympa!!! A moins que comme moi t adores les systèmes!! ^^

Héhé, moi je haie les systèmes! Je me connais parfaitement et je sais que je ferai une erreur de calcul assurément...

[invite3df1c846]

Héhé, moi je haie les systèmes! Je me connais parfaitement et je sais que je ferai une erreur de calcul assurément...

Oui moi aussi c est ça le problème c est que je m acharne quand même à le faire... On a tous des problèmes... ^^

[invitec053041c]

Et oui !
Sinon , si la combinaison linéaire n'est pas évidente, il y a la méthode math sup: calculer le déterminant 3x3, mais là est un tout autre problème .

[aNyFuTuRe-]

Salut, je voulais savoir si cette méthode de combinaison linéaire était vraiment rigoureuse: c'est-a-dire est ce que cela prouve vraiment que D appartient au plan (ABC) ? En effet une méthode par tatonnement n'est pas, dans la plupart des cas, une méthode efficace! En passant par le scalaire, tout est démontré bien dans les formes dirai-t-on !

Pourrait tu m'expliquer Ledescat?

Merci d'avance

[Hamb]

En même temps calculer le déterminant 3x3 c'est pas résoudre le système ?

[invite3df1c846]

c est quoi ce déterminant 3x3?? Si ça fait pas trop de travail à Ledescat...^^

[invitec053041c]

Salut, je voulais savoir si cette méthode de combinaison linéaire était vraiment rigoureuse: c'est-a-dire est ce que cela prouve vraiment que D appartient au plan (ABC) ? En effet une méthode par tatonnement n'est pas, dans la plupart des cas, une méthode efficace! En passant par le scalaire, tout est démontré bien dans les formes dirai-t-on !

Pourrait tu m'expliquer Ledescat?

Merci d'avance

Disons que généralement, si on demande si un point appartient à un plan, c'est que le vecteur associé est une combinaison linéaire évidente de 2 vecteurs du plan.
Je t'accorde que si AD avait été égal à 48AB - 30racine(2)AC, ça aurait été plus laborieux .
Dans ce cas il y a la méthode imparable du déterminant que tu verras si tu continues dans tes études. Mais à vrai dire, je doute qu'on demande des choses pareilles !
En tout cas, si tu vois que ton vecteur est combinaison linéaire de vecteurs du plan, c'est rigoureux de dire que ton point appartient à ce plan.
Comment t'expliquer... Si tu dois résoudre x²-1=0, tu ne passes pas par delta, tu dis directement que x vaut plus ou moins 1. La méthode du delta est imparable, mais pas toujours nécéssaire quand une solution est évidente .

[invitec053041c]

c est quoi ce déterminant 3x3?? Si ça fait pas trop de travail à Ledescat...^^

Si u1,u2 sont des vecteurs du plan, det(u1,u2)=0 ssi u1 et u2 sont liés (colinéaires).
Si u1,u2,u3 sont 3 vecteurs de l'espace, det(u1,u2,u3)=0 ssi les vecteurs sont liés (coplanaires ou colinéaires).
Plus généralement, si u1,...,un sont n vecteurs d'un espace à n dimension, det(u1,...,un)=0 ssi les n vecteurs sont liés.

Le déterminant 2x2 c'est facile:
Si tu as u1(a,b) et u2(c,d)
Le déterminant se note
|a c|
|b d| (ce sont des grandes barres en théorie ) et il vaut ad-bc.
Après pour le déterminant 3x3, il y a des techniques de développement par ligne ou par colonne, c'est à peine plus compliqué .

[invite3df1c846]

Ok je crois avoir à peu près saisit les grandes bases du principe!! J aurais l impression d avoir une léger sentiment de déjà vu comme ça si je vois ça l an prochain ^^

Et puis si y a 20 lignes de calculs après ça peut que me convenir...

[invitec053041c]

Ok je crois avoir à peu près saisit les grandes bases du principe!! J aurais l impression d avoir une léger sentiment de déjà vu comme ça si je vois ça l an prochain ^^

Et puis si y a 20 lignes de calculs après ça peut que me convenir...

Si tu veux du calcul tu en auras avec les déterminants .

[Hamb]

Est-ce que pour démontrer que : "Si u1,u2 sont des vecteurs du plan, det(u1,u2)=0 ssi u1 et u2 sont liés (colinéaires)."
il faut résoudre le système ?

[invitec053041c]

Est-ce que pour démontrer que : "Si u1,u2 sont des vecteurs du plan, det(u1,u2)=0 ssi u1 et u2 sont liés (colinéaires)."
il faut résoudre le système ?

La théorie des déterminants repose sur les notions de permutations, signatures, sur l'algèbre linéaire et multilinéaire, donc avant de démontrer que le déterminant de vecteurs est nul ssi ils sont liés, il y a un bout de chemin.
Sinon, pour le plan, le (ad-bc) traduit en fait la proportionnalité (ou non proportionnalité) des vecteurs...

[invitec053041c]

En même temps calculer le déterminant 3x3 c'est pas résoudre le système ?

Non pas exactement. Pour résoudre totalement le système, on utilise la méthode de cramer, qui nous fait calculer un autre déterminant pour chaque inconnue. Et là on ne cherche pas à résoudre un système, on cherche juste à savoir si 3 vecteurs sont coplanaires ou pas.

[Hamb]

ok merci pour ces précisions.