Petite question pir trouver le signe de la dérivée

[inviteee20e3bc]

Bonjour à tous. J'aurai besoin de votre aide pour comprendre un petit truc.

alors j'ai la dérivée : f'(x) = 2x(1-x²)e^1-x²
on sait que la fonction f est paire.
Je dois étudier les variations:

si on met f ' (x) = 2x(1-x)(1+x)e^1-x², un corrigé décortique en 2 parties : sur 0 +infini , f'(x) est du signe de 1-x. et inverse sur - infini 0

Dans quels cas peut on ainsi décortiquer les intervalles pour étudier le signe? quelles conditions la fonction doit avoir pour le faire? car j'avais l'habitude de poser f'(x)>0 pour trouver le signe, mais cette inéquation comporte trop de facteurs pour la résoudre comme ça alors j'ai fait un tableau de signe.
Bien entendu le tableau designe me donne le même résultat à la fin, mais c'est un tableau très grand puisque il 'ya 4 facteurs et 4 intervales.

Ce moyen m'a donc l'air beaucoup plus rapide, mais je ne le conaissais pas.
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[invitefc60305c]

Dans quel cas ?
Bah pour chaque fonction dont la dérivée n'a pas un signe unique... j'vois pas le problème.Tu as sûrement déjà vu des fonctions croissantes sur tel intervalle puis décroissantes sur un autre intervalle ETC... Bah c'est que le signe de la dérivée change selon les intervalles.

[inviteae224a2b]

En fait cette décomposition en deux parties est strictement inutile. La fonction f(x) étant paire, sa dérivée est forcément impaire. Cela se voit très facilement avec un dessin, le plus facile étant avec , un autre exemple simple est que la dérivée du(paire) est (impaire).

Donc si tu sais ce qu'il se passe sur , tu sais que c'est l'opposée dur . On peut se ramener à l'étude sur l'intervalle . Maintenant, le fait que tu puisse tout étudier d'un bloc vient du fait que l'exponentielle est toujours positive, que est positive sur cet intervalle ainsi que . Donc le signe se ramène à celui de . C'est comme celà que ça se voit.

Maintenant, toute fonction paire ayant une dérivée impaire, on peut se contenter d'étudier qu'une moitiée d'intervalle, mais en règle générale il faut tout de même faire un tableau de signe sur ce dernier car, rien ne dit que ta fonction est aussi simple que celle là. Donc celle ci pourrait changer plusieurs fois de signe sur (exemple avec cos et sin).

[inviteee20e3bc]

ok merci de vos réponses, je continuerais donc à faire des tableaux de signes je pense que c'est le plus efficace

[A voir en vidéo sur Futura]