Bonjour à tous, voilà j'ai essayé de démontrer les théorèmes suivants et j'aimerais bien que vous me disiez si mes démonstrations sont correctes.
Théorème :
Soient deux entiers a et b, s'il existe deux entiers k et l premiers entre eux tels que ka=lb, alors ka=lb est le ppcm de a et b
démonstration:
- on pose D=PGCD(a;b) et a' et b' les entiers tels que a=a'D b=b'D
- on a alors : ka'D=lb'D
- en divisant par D : ka'=lb' (1)
- d'après le théorème de Gauss, k et l sont premiers entre eux donc il existe un entier q tel que b'=qk
- (1) s'écrit donc : ka'=kql
- on a donc en divisant par k : a'=ql
- on voit donc que q divise a' et b', or ces deux entiers sont premeirs entre eux, donc q=1.
- ainsi a'=l et b'=k
- donc (1) équivaut à : ka'=lb'=a'b
- donc ka'=lb'=a'b'D=PPCM(a;b)
Celle la je pense qu'il n'y a pas de problème, c'est plutôt pour l'autre ou je suis pas sur :
Théorème : Pour tout entier k, PPCM(ka;kb)=k.PPCM(a;b)
démonstration :
- on a : PPCM(ka;kb)=k²ab/PGCD(ka;kb)
- or, PGCD(ka;kb)=k.PGCD(a;b)
- donc PPCM(ka;kb)=(k²/k)(ab/PGCD(a;b))=k.PPCM(a;b)
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