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Arithmétique : vérification d'une démonstration.



  1. #1
    Hamb

    Arithmétique : vérification d'une démonstration.


    ------

    Bonjour à tous, voilà j'ai essayé de démontrer les théorèmes suivants et j'aimerais bien que vous me disiez si mes démonstrations sont correctes.

    Théorème :
    Soient deux entiers a et b, s'il existe deux entiers k et l premiers entre eux tels que ka=lb, alors ka=lb est le ppcm de a et b

    démonstration:
    - on pose D=PGCD(a;b) et a' et b' les entiers tels que a=a'D b=b'D
    - on a alors : ka'D=lb'D
    - en divisant par D : ka'=lb' (1)
    - d'après le théorème de Gauss, k et l sont premiers entre eux donc il existe un entier q tel que b'=qk
    - (1) s'écrit donc : ka'=kql
    - on a donc en divisant par k : a'=ql
    - on voit donc que q divise a' et b', or ces deux entiers sont premeirs entre eux, donc q=1.
    - ainsi a'=l et b'=k
    - donc (1) équivaut à : ka'=lb'=a'b
    - donc ka'=lb'=a'b'D=PPCM(a;b)

    Celle la je pense qu'il n'y a pas de problème, c'est plutôt pour l'autre ou je suis pas sur :

    Théorème : Pour tout entier k, PPCM(ka;kb)=k.PPCM(a;b)

    démonstration :
    - on a : PPCM(ka;kb)=k²ab/PGCD(ka;kb)
    - or, PGCD(ka;kb)=k.PGCD(a;b)
    - donc PPCM(ka;kb)=(k²/k)(ab/PGCD(a;b))=k.PPCM(a;b)

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  4. #2
    anonymus

    Re : Arithmétique : vérification d'une démonstration.

    La 2e me semble correct... enfin chui pas expert.
    La 1er j'ai la flemme de lire, dsl
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  5. #3
    Gwyddon

    Re : Arithmétique : vérification d'une démonstration.

    Salut,

    Je n'ai pas compris la fin de la 1ère en fait. Tout le reste me semble très bien, mais la fin est embrouillée

    Notamment la dernière égalité.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #4
    Hamb

    Re : Arithmétique : vérification d'une démonstration.

    alors je précise la fin :
    - on voit que q divise a' et b', qui sont par leur définition premiers entre eux.
    - donc a'=ql=l et b'=qk=k
    - donc comme k=b', on a ka=b'a
    - de plus comme a=a'D (par définition de a'), ka=b'a=b'a'D
    - Or, PPCM(a;b) = a'b'D (si c'est ca qui te laisse sceptique, c'était le théorème juste avant dans mon cours donc déjà démontré, c'est pour ca que j'ai oublié de le repréciser.)
    - donc ka=PPCM(a;b) et comme ka=lb, on conclut :

    ka=lb=PPCM(a;b)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Gwyddon

    Re : Arithmétique : vérification d'une démonstration.

    Ok c'est bon

    Tu pouvais aller peut-être un peu plus vite (remarque c'est pareil) :

    ayant a=ld, b=kd (d=pgcd(a,b) ) on a a*b = pgcd(a,b)*ppcm(a,b)=d*ppcm(a,b )

    Donc avec b=kd : a*k*d = d *ppcm(a,b) --> ppcm(a,b) = ka (=lb par hypothèse)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. #6
    Hamb

    Re : Arithmétique : vérification d'une démonstration.

    OK, mon prof de maths n'ayant pas eu le temps de faire les demonstrations avant la fin des cours c'est toujours mieux d'etre sur de ses demonstrations avant la bac ^^
    Donc je vous remercie beaucoup ^^

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