Arithmétique : vérification d'une démonstration.

[Hamb]

Bonjour à tous, voilà j'ai essayé de démontrer les théorèmes suivants et j'aimerais bien que vous me disiez si mes démonstrations sont correctes.

Théorème :
Soient deux entiers a et b, s'il existe deux entiers k et l premiers entre eux tels que ka=lb, alors ka=lb est le ppcm de a et b

démonstration:
- on pose D=PGCD(a;b) et a' et b' les entiers tels que a=a'D b=b'D
- on a alors : ka'D=lb'D
- en divisant par D : ka'=lb' (1)
- d'après le théorème de Gauss, k et l sont premiers entre eux donc il existe un entier q tel que b'=qk
- (1) s'écrit donc : ka'=kql
- on a donc en divisant par k : a'=ql
- on voit donc que q divise a' et b', or ces deux entiers sont premeirs entre eux, donc q=1.
- ainsi a'=l et b'=k
- donc (1) équivaut à : ka'=lb'=a'b
- donc ka'=lb'=a'b'D=PPCM(a;b)

Celle la je pense qu'il n'y a pas de problème, c'est plutôt pour l'autre ou je suis pas sur :

Théorème : Pour tout entier k, PPCM(ka;kb)=k.PPCM(a;b)

démonstration :
- on a : PPCM(ka;kb)=k²ab/PGCD(ka;kb)
- or, PGCD(ka;kb)=k.PGCD(a;b)
- donc PPCM(ka;kb)=(k²/k)(ab/PGCD(a;b))=k.PPCM(a;b)
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[invitefc60305c]

La 2e me semble correct... enfin chui pas expert.
La 1er j'ai la flemme de lire, dsl

[Gwyddon]

Salut,

Je n'ai pas compris la fin de la 1ère en fait. Tout le reste me semble très bien, mais la fin est embrouillée

Notamment la dernière égalité.

[Hamb]

alors je précise la fin :
- on voit que q divise a' et b', qui sont par leur définition premiers entre eux.
- donc a'=ql=l et b'=qk=k
- donc comme k=b', on a ka=b'a
- de plus comme a=a'D (par définition de a'), ka=b'a=b'a'D
- Or, PPCM(a;b) = a'b'D (si c'est ca qui te laisse sceptique, c'était le théorème juste avant dans mon cours donc déjà démontré, c'est pour ca que j'ai oublié de le repréciser.)
- donc ka=PPCM(a;b) et comme ka=lb, on conclut :

ka=lb=PPCM(a;b)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Ok c'est bon

Tu pouvais aller peut-être un peu plus vite (remarque c'est pareil) :

ayant a=ld, b=kd (d=pgcd(a,b) ) on a a*b = pgcd(a,b)*ppcm(a,b)=d*ppcm(a,b )

Donc avec b=kd : a*k*d = d *ppcm(a,b) --> ppcm(a,b) = ka (=lb par hypothèse)

[Hamb]

OK, mon prof de maths n'ayant pas eu le temps de faire les demonstrations avant la fin des cours c'est toujours mieux d'etre sur de ses demonstrations avant la bac ^^
Donc je vous remercie beaucoup ^^