Signe d'une dérivée...

[invite787dfb08]

Bonjour à tous...

Voila mon problème, j'ai une suite :

.

Je connais la limite de cette suite en l'infini positif, mais je souhaite montrer qu'elle converge vers cette limite d'une manière strictement décroissante.
C'est pourquoi j'aurais besoin du signe de la dérivée.

La dérivée est :




Voila le problème. La somme des arccos ne peut pas s'exprimer autrement. Je pense que cette dérivée est négative, il s'agit de le montrer. Quelqu'un aurait-il une idée de comment s'y prendre, nottament pour le signe de la dérivée de la somme des arccos.

J'ai pris arbitrairement des arccos, si vous préférez des arcsin (peut être plus simples), je pourrait changer...

Merci en tout cas à ceux qui s'intéresseront à mon problème, qui nous fait ramer depuis plusieurs semaines...

Cordialement

GalaxieA440
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[invite03f2c9c5]

Euh, tu prétends dériver une suite ? Qu'est-ce que cela signifie ?

[invite787dfb08]

On peut bien étudier les variations d'une suite en étudiant sa dérivée... Le problème ici c'est que la somme des arccos ne pouvant pas s'exprimer autrement, la dérivée non plus ne peux pas s'exprimer autrement...

Aurais-tu d'autres suggestions pour montrer que an est monotone ?

[invite03f2c9c5]

On peut bien étudier les variations d'une suite en étudiant sa dérivée...

Hum, peux-tu rappeler la définition du nombre dérivé d'une fonction en un réel ? Tu devrais réaliser que si ta fonction est une suite, il y a un problème…

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite787dfb08]

ba on apprend a étudier le sens de variations de certaines suites au lycée en dérivant la fonction correspondante. Cela dit c'est vrai que ça ne marche peut être pas quand il n'y a pas de fonction correspondantes justement...

C'est ça ?

Comment alors montrer que an est monotone, est-ce possible ?

[invite4ef352d8]

ouai mais pour les exemple que tu as étudié au lycée tu avait an=f(n) avec f une fontion qui est définit sur les réel.


ici a cause du n qui apparait dans la somme (somme de i=1 a n) ca na aucun sens de considérer f(x) pour x réel (enfin si on peut y donner un sens, mais ca fait pas une fonction dérivable...) donc dérivé n'as ici aucun sens.


à ta palce j'étudierai la suite Bn = 1/an, peut-etre qu'on peut faire quelque chose avec Bn+1-Bn (c'est juste une idée, c'est pas sur que ca marche...)

enfin il est pas dit du tous que cela soit simple à prouver...

[invite787dfb08]

je peux t'assurer que ce n'est pas simple !!!

J'essaie ta méthode, je bidouille un peu.... Merci du conseille...

[invite787dfb08]

en fait ça revient à faire a(n+1)- an...

J'ai une question : dans l'expression de a(n+1), est-ce que je dois changer quelque chose au dénominateur de l'expression que je donne ci dessus ? ou est-ce que je dois changer uniquement le numérateur.

Si je change uniquement le numérateur : ça revient à étudier et ça donne une courbe décroissante, mais je ne vois pas pourquoi quelque chose ne changerait pas au dénominateur...

[invite787dfb08]

Sinon mon prof de maths m'a parlé de l'étude de la somme des arcsinus par une fonction qui évolue "à peu près de la même manière".

Quelqu'un connaitrait il une telle approximation ?

Genre dire somme deds i = 1 à n des arcsinus 1/(racine i+1) environ égal à 2*RACINE(n+1) ou quelque chose comme ça

Merci d'avance...

[invite1237a629]

Peut-être essayer de te servir d'une des formules de taylor, qui font intervenir les dérivées, mais généralement, ça se fait en 0 et non en 1 (ce vers quoi tend ce qui est dans l'arccos)

Mais sinon je vois pas d'autre forme de simplification :/

[invite5c80e8b0]

(erreur desolé)

[inviteaf1870ed]

Mon idée, mais je n'ai pas fait les calculs :
Regarder An+1/An, en faisant un développement limité, on doit pouvoir y arriver.

[invite787dfb08]

(vraiment désolé pour ce double post...)

Je n'ai aucune idée de comment faire les développements limités, je n'ai pas encore eu le temps d'en parler avec un prof de maths... mais merci de l'idée

[invite4ef352d8]

Sinon mon prof de maths m'a parlé de l'étude de la somme des arcsinus par une fonction qui évolue "à peu près de la même manière".

Quelqu'un connaitrait il une telle approximation ?

Genre dire somme deds i = 1 à n des arcsinus 1/(racine i+1) environ égal à 2*RACINE(n+1) ou quelque chose comme ça

Merci d'avance...

>>> oui bien sur ca existe. si an est une suite positives an~bn et somme des an -> l'infinit alors somme des an ~ sommes des bn. (par exemple, il y en à d'autres du meme genre...)

ca te permettra de calculer la limite de ta suite, mais rien qui te permettra de montrer que la suite est monotone.

[invite787dfb08]

Pour la limite de an en + l'infini, c'est bon je n'ai plus de problèmes.

Mais c'est le sens de variation dont j'ai surtout besoin ...