Exercice étude des variations avec une petite dérivée et un tableau de signe (1èreS)

[neokiller007]

Salut,
Je voulais savoir si mon exercice est juste et bien rédigé.
L'énoncé est en bleu, mes réponses en noir.


ABCD est un carré de 4cm de côté.
E est le milieu du segment [AD]. On consièdre un point M du segment [AB].
La perpendiculaire à la droite (EM) en M coupe le segment [BC] en N.
On pose AM=x et on apelle f(x) l'air du triangle ENM. voir figure(cliquez)


1)Etudier les variations de la fonction f sur [0;4[.


Déterminons f(x):
Le triangle ENM est rectangle donc son aire est égale à:
Donc

Calculons EM:
EM est l'hypoténuse du triangle rectangle EAM.
Donc d'après le théorème de pythagore:




Calculons MN:
Les angles et son des angles droits car ce sont les sommets d'un carré.
Comme la somme des angles d'un triangles est égale à 180° on a donc:



L'angle mesure 180° car [AB] est le côté d'un triangle.
Donc
D'après tous ceci on déduit donc que et

Les triangles MAE et MBN sont donc semblables alors:

Figure pour mieux comprendre le raisonnement(cliquez)

D'après le théorème de pythagore:





Etudions les variations de la fonction f sur [0;4[



Df=[0;4[=Df'

On pose u(x)=(4-x)(x²+4) et v(x)=4
Donc u'(x)=-1*(x²+4)+(4-x)*2x=-x²-4+8x-2x² et v'(x)=0





On cherche les valeurs qui annulent le numérateur.





donc il y a deux racines:





Faisons le tableau de signe:
voir tableau de signe(cliquez)












2)En déduire un encadrement de f(x) pour x élément de [0:2].

Sur le tableau de signe précédent on a pour x [0;2] une valeure minimale de pour et une valeure maximale de 4 pour x=0 et x=4
Donc si x [0;2];




Voila
Merci a++
-----

[mécano41]

Bonjour !

Tout cela me paraît bon et bien présenté.

Juste quelques erreurs à la recopie de ton brouillon :

- à la définition de MN, le x sous le radical devrait être x² mais c'est bon plus loin !

- à la définition de f(x) ce n'est pas (BM.MN)/2 mais (EM.MN)/2 mais c'est bon plus loin !

- à la 2ème définition de f(2/3) tu as frappé un signe "différent de" au lieu de "multiplié par" mais c'est bon plus loin !

Bon courage

[mécano41]

Désolé ! J'ai oublié :

tu as écris : L'angle AMB mesure 180° car AB est le côté d'un triangle. Il s'agit en fait du côté d'un carré ; mais tu aurais simplement pu dire que c'était par hypothèse ou par construction.

[neokiller007]

Oula effectivement c'est plein d'erreurs d'inatention.
Merci!

[A voir en vidéo sur Futura]