Théorie du chaos

[invitebdf515f4]

Bonjour,

Je m'interroge sur la notion de système chaotique en physique.

On dit qu'un système est chaotique si une petite incertitude sur les conditions initiales provoque une grosse incertitude sur les conditions finales.

Plus précisément, d'après Wikipedia:
"Typiquement, pour un système chaotique, les erreurs croissent localement selon une loi du type : e^(t/tau)"

D'où une meilleure formulation :
On dit qu'un système est chaotique si une incertitude sur les conditions initiales provoque une incertitude sur les conditions finales qui tend vers l'infini.

Là, je me pose la question :

Est-ce que le fait que les erreurs croissent selon une loi exponentielle ne résulte pas d'un défaut de la modélisation, plutôt que d'une caractéristique réelle du système étudié ?

Autrement dit, ne pensez vous pas que les systèmes physiques étudiés sont intrinsèquement NON chaotiques, mais que la modélisation mathématique que l'on en fait introduit l'exponentielle et donc le chaos ?

J'ai l'impression, mais aucune preuve, que si on savait modéliser fidèlement le système, on ferait disparaitre l'exponentielle, donc le chaos ?

Finalement, le chaos ne serait qu'artificiel, introduit par le fait qu'on utilise des modèles qui ne sont que des approximations des véritables lois de la nature ?

A titre d'illustration, je dirais que cette idée rejoint un peu une autre idée, qui est que lorsque certains physiciens constatent qu'un modèle conduit à un infini (une singularité, etc), ils disent que c'est la modélisation qui n'est pas parfaite. Ils hésitent à dire que la nature contient réellement cet infini (ou cette singularité, etc).

Finalement, le chaos n'existerait pas dans la nature mais seulement dans les équations. Evidemment, il existerait des systèmes plus sensibles que d'autres aux conditions initiales, mais jamais de système dont la sensibilité aux conditions initiales serait infinie, conduisant à une erreur tendant vers l'infini.

Cette hypothèse, qui m'est venue subitement ce matin est elle plutôt originale (voire farfelue), ou bien s'agit-il d'une banalité épistémologique (il m'arrive souvent de croire qu'une de mes idées est originale et je de me rendre compte plus tard qu'elle est finalement d'une affligeante vulgarité) ?
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[Médiat]

A titre d'illustration, je dirais que cette idée rejoint un peu une autre idée, qui est que lorsque certains physiciens constatent qu'un modèle conduit à un infini (une singularité, etc), ils disent que c'est la modélisation qui n'est pas parfaite. Ils hésitent à dire que la nature contient réellement cet infini (ou cette singularité, etc).

Ce n'est pas le cas pour le chaos, l'incertitude tend vers l'infini quand le temps tend aussi vers l'infini. Du coup ce n'est pas gênant du tout, puisque c'est le cas d'énormément d'équations, de plus une incertitude en C.t tendrait aussi vers l'infini quand t tend vers l'infini sans être pour autant chaotique.

Finalement, le chaos n'existerait pas dans la nature mais seulement dans les équations.

C'est le cas de tout ce que l'on trouve dans les équations, Non ?

[invitebdf515f4]

Je ne sais pas trop dire pourquoi, mais même une erreur qui ne croitrait que proportionnellement au temps me semble douteuse physiquement.

Pour moi, c'est un peu comme si on perdait de l'information sur le système au fur et à mesure que le temps passe. Au départ, on sait dire plein de choses sur le système et au bout d'un certain temps, on ne sait plus rien en dire du tout. Les équations semblent ne pas respecter une sorte de règle de conservation de l'information (que je viens certainement d'inventer).

Ya un truc bizarre qui me tord les neurones et j'ai du mal à continuer à réfléchir avec un neurone tordu.

[invitebd2b1648]

Salut !

Je crois avoir compris !

Si un système chaotique dérive avec le temps pourquoi ne pas le disséquer et le ramener dans le droit chemin, le temps peut être segmenté et si çà dérive trop de l'observation ajuster les calculs en conséquences ... c'est juste une idée !

@ +

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2b84f8d]

La preuve qu'il ne faut jamais faire confiance à wiki (en tout cas en fançais).

Tout d'abord je formulerai differement TA definition du chaos. Au lieu de propager l'erreur, il vaut mieux voir deux systemes differents qui evoluent avec des quantites initiales legerement differentes et donc ils se retrouvent à la fin avec une tres forte difference. C'est ce qui est souvent appelé l'effet papillon. Une toute petite variation initiale entraine de grands bouleversements à la fin.
Mais cela n'est pas suffisant pour definir un systeme chaotique.

Il faut que ton systeme est 2 autres proprietes.

*Topologiquement transitif
*Les orbites périodiques doivent être dense

[invitebd2b1648]

*Topologiquement transitif
*Les orbites périodiques doivent être dense

Tu pourrais vulgariser çà ?

@ +

[invitea2b84f8d]

La transitivité est liée au fait que pour toute paire de points dans l'espace des phases, il existe une orbite qui passe arbitrairement près des deux points. On parle aussi souvent de récurrence (terme très mal choisi).

Plus clairement, il vaut mieux differencier les 3 cas possibles.

Premierement un systeme deterministe, je n'ai pas besoin d'en dire plus.

Ensuite un systeme stochastique qui evidemment evolue de façon aléatoire. Donc aucune prédiction ne peut être faite.

Et enfin un systeme chaotique a un comportement bcp plus complexe. C'est un systeme attiré par une figure geometrique (en generale tres complexe) sur laquelle il semble errer au hasard sans jamais quitter cette orbite ni passer 2 fois par le même point. Donc tu as une sorte de melange entre determinisme, du aux attracteurs, mais aussi d'aleatoire, car ton systeme fait un peu ce qu'il veut autour de ces attracteurs (voir les attracteurs etranges).
Evidemment il ne faut pas de periodicite dans ton systeme chaotique.
Ce qui se passe parfois est le cas d'un systeme au depart deterministe avec une certaine periode, donc i.e. il refait la meme chose apres un certains temps, se met à ne plus du tout revenir à sa position d'origine car un parametre a été modifié, c'est ce que l'on appelle la bifurcation.


Un exemple classique de la transition est le billard. Si tu as un billard rectangulaire classique. Tu frappes ta boule et elle se met à faire plusieurs bandes, apres un certains temps elle repassera par sa position initiale, ton systeme a une periodicite et il est donc totalement deterministe.
Maintenant supposons que le parametre qui va nous permettre la transition soit la forme de ton billard. Choisissons un billard circulaire, et bien si tu frappes selon le diametre, le systeme a une periodicite triviale. Maintenant si tu frappes dans une autre direction, ton systeme va se mettre à frapper un peu partout sauf au centre, il se forme une partie au centre totalement vierge, appelé caustique. Encore une fois, ton systeme est deterministe. Une caustique est synonyme de non chaotique. Car il y a une partie de ta surface qui n'est pas explorée, on parle parfois de non ergodicité.
Maintenant si tu prends ton systeme circulaire mais dont tu coupes une partie. Tu ne verras apparaitre aucune caustique, i.e. aucune partie de la surface aussi petite soit-elle qui ne soit pas coupée par une trajectoire. Apres un temps infini, ta surface sera couverte par toutes les trajectoires, sans qu'une periodicite n'intervienne evidemment.
Ton systeme est devenu chaotique!

[invite5fc1946d]

La preuve qu'il ne faut jamais faire confiance à wiki (en tout cas en fançais).

En effet, la définition donnée est celle du chaos déterministe. La notion de théorie du chaos ne traite pas que du chaos déterministe. Par exemple la génération spontanée de tourbillons dans un fluide quelconque est bien lié à des lois chaotiques stochastique et n'a pas de rapport avec le chaos déterministe, sauf si on essaye de modéliser numériquement à partir de quand et comment le tourbillon se forme en prenant des conditions initiales différentes. Il n'empêche que le tourbillon lui-même est régit par des lois chaotiques stochastiques (lois émergeant du chaos entropique par intervention extérieure)

[invitebd2b1648]

(...)

Merci !

@ +

[invite29cafaf3]

Il n'empêche que le tourbillon lui-même est régit par des lois chaotiques stochastiques (lois émergeant du chaos entropique par intervention extérieure)

Des lois, "chaotiques stochastiques", j'aimerais en savoir un peu plus à ce sujet, j'ai mis les deux termes entre guillemets parceque dans le discours, les deux me semble indissociables.

En bref, qu'est=ce qu'une loi chaotique-stochastique ?

[invite6754323456711]

En bref, qu'est=ce qu'une loi chaotique-stochastique ?

il me semble que dans le chaos il y a deux aspects à ne pas mélanger le déterminisme d'un coté et l'aléatoire (non prédictible. ce qui rend impossible toute prévision à long terme) de l'autre non ?

Exemple Chaos moléculaire :
Modèle moléculaire imagé (gaz de Lorentz) expliquant le caractère aléatoire de la diffusion observée aux échelles supramoléculaires. Ici, une particule se déplace dans un réseau de centres diffuseurs fixes, avec lesquels elle subit des collisions élastiques: sa vitesse, bien définie entre les collisions, est égale à sa vitesse thermique.
Malgré le caractère parfaitement déterministe de ce modèle, la trajectoire est imprédictible à long terme, car chaque collision double l'incertitude angulaire sur la condition initiale et amplifie de la même façon les perturbations dues au bruit extérieur. En pratique, le phénomène observé aux temps longs et aux grandes échelles spatiales a toutes les caractéristiques d'un mouvement stochastique.

La théorie du chaos ne montre t-elle pas que le déterminisme ne devait pas être confondu avec la prédictibilité à long terme de l'évolution, laquelle disparaît (lorsque la dynamique est chaotique) dès qu'il existe la plus infime incertitude sur les conditions initiales ou sur les mécanismes en jeu ?

Patrick

[invite5fc1946d]

Des lois, "chaotiques stochastiques", j'aimerais en savoir un peu plus à ce sujet, j'ai mis les deux termes entre guillemets parceque dans le discours, les deux me semble indissociables.

En bref, qu'est=ce qu'une loi chaotique-stochastique ?

Je me suis sans doute mal exprimé. Parlons de système complexe dans ce cas. Tu as des systemes déterministes d'un coté (le chaos deterministe) et des systemes stochastiques de l'autre (chaos stochastique). Dans les deux cas, des lois peuvent en émerger. Et il existe beaucoup de systèmes complexes ou les deux approchent se superposent. Mon exemple de tourbillon me parait très claire alors je vais le reprendre.

Un tourbillon dans un fluide est une loi émergeant d'un système stochastique (le fluide). Mais ce tourbillon bien qu'il possède une structure complexe évolue de façon déterministe et peut être reproduit. En faisant varier les conditions initiales ont obtiendra différentes formes de tourbillons ou pas de tourbillons du tout. Bref la théorie du chaos doit bien différencier le chaos stochastique et déterministe même si lorsqu'on étudie des systèmes complexes (la turbulence par exemple) ils empruntent les 2 mais restent différenciés car n'empruntent pas les mêmes échelles.

Est-ce que c'est plus clair ?

[invitebdf515f4]

J'imagine que le chaos stochastique intervient à partir du moment ou on introduit dans les modèles une variable aléatoire, non ?

Or, si on introduit cette aléa, cela veut dire qu'on ne sait pas modéliser le système de manière adéquate. Donc, ce chaos là apparait bien à cause d'une insuffisance dans la modélisation que l'on fait du système étudié.

Pour la chaos déterministe, j'ai l'impression que c'est pareil (juste une intuition) : si on savait modéliser le système plus fidèlement, on saurait définir son évolution à long terme. Une incertitude sur l'état initial du système devrait produire une incertitude de même proportion sur le résultat final. L'idée que pour réduire l'incertitude de 1% sur le résultat final il faille par exemple diviser par 2 l'incertitude sur l'état initial me semble non physique (mathématiquement, ça ne me pose pas de problème). Dans ce genre de situation, on en arrive à des conclusions du genre : pour déterminer la position de ma boule sur le billard à 10 cm près au bout d'une heure de mouvement, il faut connaitre la position initiale de la boule à 10 puissance -100 centimètres près. Et au bout de 2 heures de mouvement, la position initiale doit être connue à 10 puissance -200 centimètres près. Ca me semble très bizarre, purement mathématique et finalement non physique.

Le chaos serait donc introduit par une modélisation grossière de la réalité. Aucun système ne serait réellement chaotique. Tous les systèmes seraient donc parfaitement déterministes, mais on ne saurait pas déterminer l'évolution long terme de certains parce que nos modèles seraient trop grossiers.

(Simple hypothèse oiseuse)

[invite6754323456711]

J'imagine que le chaos stochastique intervient à partir du moment ou on introduit dans les modèles une variable aléatoire, non ?

http://www.futura-sciences.com/fr/do...883/c3/221/p3/

Imaginons toutes ces merveilles réunies. Nous connaissons parfaitement les lois qui gèrent l’évolution d’une variable, nous connaissons avec une grande précision les valeurs de cette variable au départ, et nous voulons prévoir l’évolution de la variable. Cela semble assez simple… Mais ne l’est pas.

A l'inverse le comportement collectif d'un grand nombre d'éléments identiques, qui se comportent chacun aléatoirement, peut produire, selon les cas, un résultat déterministe ou aléatoire.

Patrick