Menace des systèmes logiques

[invite7863222222222]

Bonjour,

Suite à la proposition de Médiat, puisque la question m'intéresse, je m'interrogeais sur le propos de jobherzt :

Et ce que prouve Gödel, c'est justement qu'il est illusoire d'essayer de reduire les maths a un simple jeu de deduction logique. Donc les seule chose qui est menacées, ce sont les systemes logiques qui tentent d'axiomatiser les maths, mais pas les maths elles memes tu saisis la nuance ?

qui laisse sous entendre - si j'ai bien compris - que notre manière de raisonner (les systèmes logiques) ne serait pas capable de rendre compte de certaines vérités mathématiques. Par "notre manière de raisonner", j'entends en fait les systèmes formels concernés par les théorèmes de Godel, c'est à dire les théories récursivement axiomatisables.

Cela ouvre, il me semble, le choix entre deux possibilités seulement :

1. soit il ne faut rien trouver de choquant ou génant à ce que certains faits restent impossibles à prouver formellement,
2. soit suivant ce que jobherzt exprime comme pouvant être une menace, il est possible de trouver un système formel plus apte que ceux s'appliquant aux théories récursivement axiomatisables, à rendre compte des mathématiques.

Qu'en pensez-vous ?
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[invite6754323456711]

[QUOTE=jreeman;2271045]

1. soit il ne faut rien trouver de choquant ou génant à ce que certains faits restent impossibles à prouver formellement,

A partir du même formalisme non ? N'est-il pas aussi que certaines propositions «indécidables» sont vraies. Le formalisme ne permet pas de les démontrer, mais nous pouvons néanmoins voir qu'elles sont vraies ?

Patrick

[invite7863222222222]

A partir du même formalisme non ?

Oui mais la sémantique des mathématiques qu'on énonce, ne colle peut-être pas "bien" avec les règles d'inférence qu'on a choisi pour les démontrer.

Est-il nécessaire/possible de changer ces règles d'inférence pour les faire "coller" mieux à la sémantique des mathématiques ?

[invité576543]

N'est-il pas aussi que certaines propositions «indécidables» sont vraies. Le formalisme ne permet pas de les démontrer, mais nous pouvons néanmoins voir qu'elles sont vraies ?

Comment définis-tu "vrai"? Et comment "vois-tu" qu'une proposition indécidable est "vraie" plutôt que son contraire? (Exemple, l'hypothèse du continu.)

(Ces questions reviennent tout le temps sur ce forum... Il serait intéressant de faire un résumé clair, pas trop technique, satisfaisant pour ceux qui posent la question, de la réponse et la mettre en FAQ.)

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7863222222222]

mais nous pouvons néanmoins voir qu'elles sont vraies ?

Petite remarque : le but de cette discussion n'est pas de discuter qu'est ce que qu'"on voit" comme vrai, mais simplement d'étudier s'il est justifié et éventuellement possible de changer ou non les systèmes formels utilisés lors dans les démonstrations mathématiques.

[invite6754323456711]

Petite remarque : le but de cette discussion n'est pas de discuter qu'est ce que qu'"on voit" comme vrai, mais simplement d'étudier s'il est justifié et éventuellement possible de changer ou non les systèmes formels utilisés lors dans les démonstrations mathématiques.

Peut on dire en ce qui concerne la complétude :

Complétude : Une théorie formelle est complète si il n'existe pas de formule F telle que ni F ni son contraire (non F) ne puissent être démontrés, c'est à dire si tout ce qui est vrai dans la théorie est démontrable dans la théorie.

Une condition nécessaire et suffisante pour un système formel du premier ordre soit consistant est qu'il admette un modèle. La consistance c'est exactement équivalent au fait que l'on puisse trouver un modèle.


Maintenant comment définis tu l'incomplétude afin que l'on puisse participer au débat ? Car c'est de cela qu'il est question non ?

Une chose prouvable n'est pas nécessairement vraie et une chose vraie n'est pas toujours prouvable.

Il me semble qu'avant de vouloir changer de système formel il faudrait expliciter clairement pour tout le monde pourquoi le système actuel pose problème.


Patrick

[Médiat]

je m'interrogeais sur le propos de jobherzt :

Merci jreeman, je me sens moins seul.

Et ce que prouve Gödel, c'est justement qu'il est illusoire d'essayer de reduire les maths a un simple jeu de deduction logique. Donc les seule chose qui est menacées, ce sont les systemes logiques qui tentent d'axiomatiser les maths, mais pas les maths elles memes tu saisis la nuance ?

Avant toute chose je veux dire que la façon d'exprimer l'idée de jobhertz est platonicienne, alors que je je suis formaliste, et j'ai à coeur d'expliciter cette différence, afin, dans un premier temps, de montrer qu'il n'y a pas de différence mathématique entre ces deux points de vue (donc pas de chapelles, pas de factions en guerre l'une contre l'autre, ou d'autistes incapables de comprendre d'autres point de vue).

Pour illustrer cette "différence" qui n'en est pas une, je vais prendre l'exemple des entiers naturels et de l'arithmétique de Peano (supposée consistante).
Un platonicien pourrait dire (que l'on me corrige si je m'égare) que les entiers naturels existent et que l'arithmétique de Peano en est une formalisation, qui se révèle (Gödel) incapable de tout dire sur les entiers naturels.
Un formaliste pourrait dire que l'ensemble des entiers naturels est un modèle de la théorie appelée arithmétique de Peano, et que celle-ci est esentiellement incomplète (Gödel) et donc cette théorie ne sait pas tout dire sur ses modèles.

1. soit il ne faut rien trouver de choquant ou génant à ce que certains faits restent impossibles à prouver formellement,
2. soit suivant ce que jobherzt exprime comme pouvant être une menace, il est possible de trouver un système formel plus apte que ceux s'appliquant aux théories récursivement axiomatisables, à rendre compte des mathématiques.

1) effectivement je ne trouve rien de choquant à ce qu'une théorie ne dise pas tout sur ses modèles, c'est d'ailleurs le cas, même pour des théories complètes. Un exemple sous spoiler :

 Cliquez pour afficher

La théorie des ordres totaux, denses sans extremums est complète, elle est même -catégorique (il n'y a qu'un seul modèle dénombrable : muni de la relation d'ordre naturelle), mais pas -catégorique (, muni de la relation d'ordre naturelle n'est pas isomorphe à , de la relation d'ordre naturelle). Mais il est impossible de distinguer ces deux modèles par une formule du langage utilisé.

2) Il existe des alternatives à la logique du premier ordre : les logiques d'ordre supérieur, ou les logiques avec des quantificateurs exotiques (il existe une infinité, par exemple).

N'est-il pas aussi que certaines propositions «indécidables» sont vraies

Cette façon de dire les choses doit être comprise d'un point de vue strictement platonicien, "vrai" voulant dire ici "vrai dans l'ensemble des entiers naturels (je reste sur cet exemple) ; j'ai plusieurs fois exprimé que je n'aime pas cette façon de dire les choses car je la trouve dangereuse à cause des connotation du mot "vrai", j'imagine que pour un platonicien les modèles non-standard existent autant que le modèle standard, et du coup je ne vois plus ce que peut vouloir dire "vrai" (pourquoi un objet serait tellement plus naturel que les autres que je ne peux parler que de lui ?).

Est-il nécessaire/possible de changer ces règles d'inférence pour les faire "coller" mieux à la sémantique des mathématiques ?

Changer les règles d'inférence est déjà possible : logique intuitionniste, logique linéaire, 2nd ordre, etc.

Ces questions reviennent tout le temps sur ce forum... Il serait intéressant de faire un résumé clair, pas trop technique, satisfaisant pour ceux qui posent la question, de la réponse et la mettre en FAQ

Si tu fais une liste des mots que tu voudrais voir définis, je veux bien me charger de ceux que je connais.

Complétude : Une théorie formelle est complète si il n'existe pas de formule F telle que ni F ni son contraire (non F) ne puissent être démontrés

Oui, on peut dire aussi que F est indécidable dans T si T U {F} est consistante et si T U {nonF} est aussi consistante.

c'est à dire si tout ce qui est vrai dans la théorie est démontrable dans la théorie.

Non, tu confonds la complétude de la logique classique du premier ordre (aussi de Gödel) et la complétude d'une théorie.

Une condition nécessaire et suffisante pour un système formel du premier ordre soit consistant est qu'il admette un modèle. La consistance c'est exactement équivalent au fait que l'on puisse trouver un modèle.

C'est bien le théorème de complétude de Gödel, qui n'a rien à voir avec la complétude d'une théorie.

Maintenant comment définis tu l'incomplétude afin que l'on puisse participer au débat ? Car c'est de cela qu'il est question non ?

Une théorie incomplète est ... une théorie qui n'est pas complète, une théorie essentiellement incomplète (ou incomplétable) est une théorie que l'on ne peut pas compléter (Peano, par exemple).

Une chose prouvable n'est pas nécessairement vraie et une chose vraie n'est pas toujours prouvable.

Que veux-tu dire exactement, car, il faudrait définir ce que "vrai" veut dire, pour un platonicien, je comprends que "vrai" veut dire "vrai dans le modèle standard", et la phrase "une chose vraie n'est pas toujours prouvable" est exacte (bien que dangereuse ) ; pour un formaliste, en tout cas, pour moi, "vrai" (que j'évite d'utiliser) ne peut vouloir dire que "vrai dans tous les modèles" avec cette interprétation, la phrase "une chose vraie n'est pas toujours prouvable" est fausse (Théorème de complétude). Quelque soit la définition de "vrai" prise parmi celles ci-dessus, la phrase "Une chose prouvable n'est pas nécessairement vraie" est fausse.

[invite6754323456711]

Comment définis-tu "vrai"?

En logique du premier ordre on parle de sémantique :

Deux étapes :

1. Donner un sens aux fonctions et prédicats (interprétation) :

– définition d’un domaine, ensemble d’« objets » du monde ;
– définition de la sémantique des fonctions (allant du domaine vers le domaine) et des prédicats (du domaine vers les booléens).

2. Donner, si nécessaire, un sens au variables libres (affectation).



il est tout à faire possible d’avoir un domaine avec une infinité d’éléments. Le nombre total d’interprétations peu donc être infini.

Patrick

[invite6754323456711]

Que veux-tu dire exactement, car, il faudrait définir ce que "vrai" veut dire, pour un platonicien, je comprends que "vrai" veut dire "vrai dans le modèle standard", et la phrase "une chose vraie n'est pas toujours prouvable" est exacte (bien que dangereuse ) ; pour un formaliste, en tout cas, pour moi, "vrai" (que j'évite d'utiliser) ne peut vouloir dire que "vrai dans tous les modèles" avec cette interprétation, la phrase "une chose vraie n'est pas toujours prouvable" est fausse (Théorème de complétude). Quelque soit la définition de "vrai" prise parmi celles ci-dessus, la phrase "Une chose prouvable n'est pas nécessairement vraie" est fausse.

La phrase ne veut rien dire volontairement. Si ce n'est qu'il faut comme tu le fais préciser les termes afin que l'on soit tous en phase.

Patrick

[invite6754323456711]

Une théorie incomplète est ... une théorie qui n'est pas complète, une théorie essentiellement incomplète (ou incomplétable) est une théorie que l'on ne peut pas compléter (Peano, par exemple).

Comment peut se traduire verbalement l'incomplétude de l'arithmétique de Peano par exemple ?

- La plupart des théories formelles, si elles sont consistantes, sont incomplètes. Si l'arithmétique est consistante, non seulement elle est incomplète, mais le sera toujours même si on y ajoute des axiomes supplémentaires.

- Il est impossible de prouver la consistance d'un certain nombre de théories formelles (dont l'arithmétique) en utilisant ces théories.


Patrick

[Médiat]

La plupart des théories formelles, si elles sont consistantes, sont incomplètes.

Je ne sais pas (d'ailleurs, je ne sais pas ce que veut dire "la plupart des théories formelles").

Si l'arithmétique est consistante, non seulement elle est incomplète, mais le sera toujours même si on y ajoute des axiomes supplémentaires.

Premier théorème d'incomplétude de Gödel si on parle de théories récursivement axiomatisables et travaux de Levin si on pense à ajouter des axiomes "au hasard".

Il est impossible de prouver la consistance d'un certain nombre de théories formelles (dont l'arithmétique) en utilisant ces théories.

Deuxième théorème d'incomplétude de Gödel.

[invite6754323456711]

Je ne sais pas (d'ailleurs, je ne sais pas ce que veut dire "la plupart des théories formelles").

Oui c'est flou. Quel est le périmètre (mathématiques) d'application des théorèmes d'incomplétudes ?

Je ne sais pas si c'est plus clair.

Patrick

[invite6754323456711]

Quel est le périmètre (mathématiques) d'application des théorèmes d'incomplétudes ?

Si jobherzt dit juste cela ne concerne donc pas les mathématiques en soi ?

Et ce que prouve Gödel, c'est justement qu'il est illusoire d'essayer de reduire les maths a un simple jeu de deduction logique. Donc les seule chose qui est menacées, ce sont les systemes logiques qui tentent d'axiomatiser les maths, mais pas les maths elles memes tu saisis la nuance ?

L'axiomatisation des mathématiques est donc pleinement concerné dont la théorie des ensembles pourtant considéré (semble t-il) comme le fondement des mathématiques ?

Patrick

[God's Breath]

Les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai.

Je vais également soutenir Médiat tout en m'en démarquant.

effectivement je ne trouve rien de choquant à ce qu'une théorie ne dise pas tout sur ses modèles.

Un exemple peut-être plus parlant de théorie qui ne dit pas tout sur ses modèles, la théorie des groupes, et l'indécidable qui ne gêne personne, bien loin de là :

pour un formaliste, en tout cas, pour moi, "vrai" (que j'évite d'utiliser) ne peut vouloir dire que "vrai dans tous les modèles".

Et comme on ne connaît pas de modèles... le « vrai » nous échappe, comme le dit si bien Russell.

[invite6754323456711]

Un exemple peut-être plus parlant de théorie qui ne dit pas tout sur ses modèles, la théorie des groupes, et l'indécidable qui ne gêne personne, bien loin de là :

Cela doit être trop subtil pour moi.

N'est ce pas une autre forme d'indécidabilité qui est moins gênante car il est question d'égalité ? Si on a xy on a aussi yx (l'un ou l'autre c'est la même chose).

Si on a A on n'a pas non A (et réciproquement). On peut rajouter A ou Non A à une théorie consistante elle restera toujours incomplète.

Patrick

[Médiat]

Et comme on ne connaît pas de modèles... le « vrai » nous échappe, comme le dit si bien Russell.

Je ne suis pas certains que ce soit pour les mêmes raisons que toi, mais j'ai déjà cité l'aphorisme de Russell, que j'aime bien, et "le vrai nous échappe" me convient très très bien aussi.
J'aurais dû citerl'exemple de l'indécidabilité de la commutativité pour la théorie des groupes d'autant plus que c'est l'exemple que je prends habituellement sur ce forum : Nous n'avons jamais été autant d'accord sur ce genre de sujet .

[Médiat]

N'est ce pas une autre forme d'indécidabilité qui est moins gênante car il est question d'égalité ?

Je en vois pas le rapport entre indécidabilité et égalité, et je ne connais qu'une seule forme d'indécidabilité.

Si on a xy on a aussi yx (l'un ou l'autre c'est la même chose).

La question n'est pas de savoir "on a" xy et/ou yx, mais de savoir si ces deux éléments sont toujours égaux ou non.

On peut rajouter A ou Non A à une théorie consistante elle restera toujours incomplète.

Désolé, mais mais là tu es dans la semoule, il existe des théories complètes, et donc des théories complétable (cf. l'exemple que j'ai donné sous spoiler, par exemple, mais il y en a plein d'autres).

[invite6754323456711]

Bonjour,

Pour mieux comprendre ce que signifie "la commutativité est indécidable dans la théorie des groupes" : http://forums.futura-sciences.com/ma...e-groupes.html

Patrick
Edit : croisement de message

[invite6754323456711]

Désolé, mais mais là tu es dans la semoule, il existe des théories complètes, et donc des théories complétable (cf. l'exemple que j'ai donné sous spoiler, par exemple, mais il y en a plein d'autres).

Surement une mauvaise interprétation de ma part de :

Ainsi, si G est un énoncé indécidable donné pour T par le premier théorème d'incomplétude, on aura, en appliquant à nouveau ce théorème, un nouvel énoncé indécidable dans la théorie T + G (et donc d'ailleurs indécidable aussi dans la théorie T). De fait, quand le théorème d'incomplétude s'applique à une théorie T, il s'applique à toutes les extensions cohérentes de cette théorie, tant qu'elles restent récursivement axiomatisables : il n'y a aucun moyen effectif de compléter une telle théorie.

Patrick

[Médiat]

Surement une mauvaise interprétation de ma part de [...]

Je pense que la bonne phrase aurait pu être :
Si T est une théorie essentiellement incomplète, et A une formule, alors, soit la théorie T U {A} est contradictoire, soit elle est incomplète (pas malin, puisque c'est la définition de essentiellement incomplète).

[invite7863222222222]

Bonsoir,

et merci de vos réponses que je n'ai pas encore eu le temps de lire attentivement mais qui sont déjà très éclairantes.

Changer les règles d'inférence est déjà possible : logique intuitionniste, logique linéaire, 2nd ordre, etc.

D'accord, le "etc." m'a l'air pas mal.

[invite6754323456711]

Non, tu confonds la complétude de la logique classique du premier ordre (aussi de Gödel) et la complétude d'une théorie.

C'est bien le théorème de complétude de Gödel, qui n'a rien à voir avec la complétude d'une théorie.

Pour comprendre les distinctions car ce n'est pas immédiat : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...idabilit%C3%A9


Patrick

[invite7863222222222]

Pour comprendre les distinctions car ce n'est pas immédiat : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...idabilit%C3%A9


Patrick

La complétude du système logique du premier ordre signifie que toute formule valide, est prouvable. La complétude d'une théorie, c'est autre chose.

[invite6754323456711]

J'aurais dû citerl'exemple de l'indécidabilité de la commutativité pour la théorie des groupes d'autant plus que c'est l'exemple que je prends habituellement sur ce forum : Nous n'avons jamais été autant d'accord sur ce genre de sujet .

Je rejoins le point de vue de wiki sur le fait que le terme indécidable est bien mal choisi. Il apporte plus de confusion que de clarté. Le terme indépendant semble bien mieux approprié. La commutativité est je suppose comme l'axiome des parallèles en géométrie il est indépendant des autres axiomes formant le système.

Cette propriété semble plus être un gâche d'enrichissement pour les théories qu'une faiblesse, on peut les étendre. Dire que la théorie des groupes est indécidable a un coté péjoratif alors que l'on peut l'enrichir avec la commutativité par exemple. La théorie des groupes abéliens (commutatifs) devient décidable non ?

Patrick

[Médiat]

Je rejoins le point de vue de wiki sur le fait que le terme indécidable est bien mal choisi.

Dire que l'on ne peut pas décider de la "valeur de vérité" d'une formule ne me paraît pas si mal choisi que cela ; bien sur je suis partisan de tout ce qui pourrait diminuer la confusion.

Dire que la théorie des groupes est indécidable a un coté péjoratif alors que l'on peut l'enrichir avec la commutativité par exemple.

Cela ne me choque pas, trouver le moyen de compléter une théorie, c'est à dire affirmer que l'on s'est donné les moyens de tout dire de cette théorie me semble important (même si cela ne garantit pas que l'on est capable de tout dire des modèles).

La théorie des groupes abéliens (commutatifs) devient décidable non ?

Oh Non, par exemple est-ce que la formule (j'utilise la notation multiplicative avec 1 comme élément neutre) :
Peux-tu démontrer cette formule dans la théorie des groupes abéliens ? Est-elle vraie dans tous les groupes abéliens ? Est-elle fausse dans tous les groupes abéliens ?

[invite6754323456711]

Dire que l'on ne peut pas décider de la "valeur de vérité" d'une formule ne me paraît pas si mal choisi que cela ; bien sur je suis partisan de tout ce qui pourrait diminuer la confusion.

Cela ressemble à l'analogie qui est de dire que l'on ne peut pas décider de l'age du capitaine en ne connaissant que le type de son bateau. On a pas tous les éléments, c'est donc forcément indécidable.

On a l'impression que l'indécidabilité est considéré comme une découverte négative pour les mathématiques. Alors que si on fait l'analogie avec le principe d'incertitude Heisenberg en physique il semble plutôt avoir été vu comme une découverte positive et très fleurissante.

Patrick

[invite7863222222222]

On a l'impression que l'indécidabilité est considéré comme une découverte négative pour les mathématiques

Je pense que l'indécidabilité nous apporte une meilleure compréhension des mathématiques, par exemple en différenciant ce qui est du ressort de la syntaxe ou de la sémantique. Peut-être que la bonne façon d'appréhender la logique est de la considérer elle aussi comme une mathématique avec ses propres règles, ses propres mécanismes. De cette manière, on ne positionne pas la logique de manière hierarchique en s'attendant à ce qu'elle "englobe" les mathématiques mais plutôt comme quelque chose qui nous reste tout autant inaccessible que les mathématiques.

[Médiat]

Pour revenir à la question initiale :

Hypothèse :
0) L'esprit d'un être humain peut manier un nombre fini d'objets (des concepts mathématiques ici, je ne parle de rien d'autre).
1) Il peut aussi manier un nombre infini d'objets qu'il peut manier si ceux-ci sont décrits par un nombre fini de règles.

On voit bien que la définition précédente est récursive, mais j'ai quelques questions :
a) cette description est-elle acceptable (je n'ose dire correcte) ?
b) existe-t-il une limite à cette récursion ?
c) la récursion doit-elle restée finie ?
d) l'esprit d'un être humain peut-il manier un objet qui n'entre pas dans cette description ?
e) suffit-il de nommer un objet du type ci-dessus (en prétendant : il existe !), pour le manier ?
f) la "limitation" (théorème d'incomplétude de Gödel) des systèmes formels est-elle celle de l'esprit humain ?

[invite6754323456711]

Pour revenir à la question initiale :

Quel est le fil conducteur (logique sous-jacente ) avec le problème qui est posé ?

Hypothèse :
0) L'esprit d'un être humain peut manier un nombre fini d'objets (des concepts mathématiques ici, je ne parle de rien d'autre).
1) Il peut aussi manier un nombre infini d'objets qu'il peut manier si ceux-ci sont décrits par un nombre fini de règles.

On voit bien que la définition précédente est récursive, mais j'ai quelques questions :

a) cette description est-elle acceptable (je n'ose dire correcte) ?

Peut on manier tous les objets avec un nombre fini de règles ? Que signifie un objet au sens mathématique du terme (des concepts mathématiques ici, je ne parle de rien d'autre) ?

b) existe-t-il une limite à cette récursion ?
c) la récursion doit-elle restée finie ?

Problème de la terminaison ?

d) l'esprit d'un être humain peut-il manier un objet qui n'entre pas dans cette description ?

C'est qu'il n'a pas trouvé la bonne récursion ?

e) suffit-il de nommer un objet du type ci-dessus (en prétendant : il existe !), pour le manier ?

On peut toujours le manier (qu'est ce qu'il l'interdit ?). La réponse est dans l'hypothèse 1. Maintenant la question de son existence est un autre problème non ?

f) la "limitation" (théorème d'incomplétude de Gödel) des systèmes formels est-elle celle de l'esprit humain ?

Le premier ? la réponse est dans la question ?

Patrick

[Médiat]

Quel est le fil conducteur (logique sous-jacente ) avec le problème qui est posé ?

Déterminer (ou en tout cas aborder le problème) si les systèmes formels sont « coupables » de leur insuffisance, ou bien si le mal est-il plus profond (ontologique).

Que signifie un objet au sens mathématique du terme

J’ai été volontairement évasif pour rester général, mais tu peux penser aux nombres entiers comme exemple.

Problème de la terminaison ?

Non, mais des limites de la compréhension suffisante pour « manier »

C'est qu'il n'a pas trouvé la bonne récursion

Penses-tu que cette réponse peut s’appliquer à une fonction de choix ?

On peut toujours le manier (qu'est ce qu'il l'interdit ?). La réponse est dans l'hypothèse

Ce n’est pas une question d’interdit, mais de possibilité, si la réponse était oui je pourrais définir un sous-ensemble indéfinissable de IN en disant que c’est le plus petit des indéfinissables pour tel ordre (lexicographique, par exemple)

Maintenant la question de son existence est un autre problème non

J’ai toujours une difficulté à comprendre ce qu’est l’existence (en dehors de l’usage correct du quantificateur existentiel.

Le premier ? la réponse est dans la question ?

Je ne comprends pas cette remarque