Bonjour à tous, je m'appelle Alexia, et je dois rendre un devoir maison avec mon meilleur ami mais, le seul et dominant problème, est que nous sommes vraiment nuls en mathématiques! Ce devoir est à rendre le 3 décembre, nous avons essayé mais rien ne fonctionne, nous ne pouvons en plus de cela, avoir Géogébra... Si vous, vous pouvez avoir ce logitiel, merci de nous aider.

Problème : Soit (C) un cercle de centre O et de rayon 1. Le segment [KL] est un diamètre de ce cercle.
Un point M varie sur le segment [KL]. La perpendiculaire d à la droite passant par M coupe le cercle en
deux points N et P. On se propose de rechercher s’il existe une position du point M telle que l’aire A du
triangle KNP soit maximale.
Partie expérimentale
1. Faire la figure à l’aide du logiciel GeoGebra en respectant les étapes
suivantes.
a) Construire les points K(0 ; 0) et L(2 ; 0). Rappelons que sur
GeoGebra, pour construire le point K(0 ; 0), il faut taper K=(0,0) dans
la ligne de saisie.
b) Construire le point O milieu du segment [KL] puis le cercle (C) de
diamètre [KL].
c) Définir un curseur a variant entre 0 et 2 avec un pas (incrément) de
0,001.
d) Construire le point M(a ; 0) puis la perpendiculaire d à (KL) passant
par M.
e) Construire N et P, points d’intersection de d avec le cercle (C).
f) Dans l’outil « options », choisir 3 décimales pour l’arrondi.
g) Construire le triangle KNP (icône polygone) et afficher son aire.
2. En faisant varier le curseur, déterminer la distance KM pour laquelle l’aire du triangle est maximale.
Donner une valeur approchée de cette aire A.
3. Afficher les longueurs des côtés [KN], [KP] et [PN] et conjecturer la nature du triangle KNP lorsque
son aire est maximale.
Partie théorique
1. On note x la longueur KM (x varie donc dans l’intervalle [0 ; 2]).
En considérant les cas où M appartient à [KO] puis à [OL], démontrer que la longueur du segment
[MP] est dans les deux cas : MP 2 .  x x
2
2. En déduire que l’aire du triangle KNP est donnée par
2
f x x x x ( ) 2 .  
3. Dans la ligne de saisie de GeoGebra, taper f x x x x ( ) *sqrt(2 ^ 2)   pour obtenir la courbe
représentative de la fonction f.
4. On admet que le maximum de cette fonction est atteint pour
3
.
2
x  Calculer la valeur exacte de cet
extremum et comparer cette valeur à la valeur approchée obtenue dans la première partie.
5. Dresser le tableau des variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].
6. Calculer la valeur exacte de PN, KP et KN lorsque
3
.
2
x  Démontrer ainsi la conjecture faite dans la
partie expérimentale sur la nature du triangle KNP.