La négation ¬p

[invite2c780859]

Salut,

J'ai lu dans mon cours que la formule ¬p n’est pas définissable par une formule construite a partir des atomes du langage et des connecteurs seuls ∨, ∧, →, ↔. Je n'arrive pas bien à comprendre pourquoi.

Merci,
Mathieu
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[Médiat]

Bonjour,

Sans doute ne comprends-je pas votre question, mais la seule réponse qui me vienne est : parce que !

Vous avez des raisons de douter de cette affirmation ?

A tout hasard on peut si on ajoute un symbole pour "faux" (ou "all") généralement noté

[syborgg]

la question de mathieu785 est fondamentale mine de rien... voir par exemple Poizat et la logique positive

https://www.jstor.org/stable/27588595?seq=1

[Médiat]

Oui, je connais la logique positive (et avant cela on se posait des questions sur les "fragments") et Bruno Poizat (nous étions ensemble en M2), c'est la formulation de la question qui me dérange

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Oui, je connais la logique positive (et avant cela on se posait des questions sur les "fragments") et Bruno Poizat (nous étions ensemble en M2), c'est la formulation de la question qui me dérange

J;ai eu le plaisir de le connaitre en personne egalement car il etait ami avec mon tuteur de these et aimait venir a barcelone pour danser le tango.... des repas memorables un peu trop arroses au vin chez mon tuteur...

[Médiat]

C'est bien lui (enfin, pour le tango, j'ignorais)

[syborgg]

C'est bien lui (enfin, pour le tango, j'ignorais)

En bon Lyonnais le vin ne pouvait pas manquer
Les taquineries a Pillay ne manquaient pas non plus lors de ces repas ou des seminaires, et comme ce dernier ne manque pas non plus d'humour c'etait pas triste...

[ThM55]

Bonjour. Je me trompe peut-être mais il me semble possible de le démontrer. Dans cette négation il y a une seule variable p. Une formule F(p) qui utiliserait uniquement les connecteurs donnés peut être construite récursivement en partant de p, et en ajoutant des connecteurs et d'autres occurrences de p. N'est il pas possible de démontrer par récurrence que l'on n'arrivera jamais à une formule équivalente à non-P?

[Médiat]

Bonjour,

C'est très facile(par récurrence, effectivement), si le primo posteur, qui n'est pas revenu depuis le 20, avait posé la question de la démonstration, on aurait pu lui répondre ; s'il avait posé directement la question de l'intérêt aussi (cf. la réponse de syborgg), mais telle que posée, je ne sais toujours pas ce qu'il veut

[invitedbc10295]

Bonjour Mathieu785 si vous êtes toujours là.
Bien sûr qu'on peut exprimer la négation à l'aide des connecteurs et même avec un seul bien choisi. Deux exemples:
non p = non (p et p) = p nand p
non p = non p ou non p = p nor p
Votre cours s'est mal exprimé. Il veut sans doute dire ceci:
Les 16 connecteurs binaires sont définis dans une logique formelle à deux valeurs appelées VRAI et FAUX ou 1 et 0, ou 5 et 0 (volts)... Comment définir les connecteurs sans partir de là, sans les tables de vérité ? La négation étant monaire et non triviale (ni l'identité, ni une constante), elle ne peut être que l'unique fonction qui reste la bijection VRAI <---> FAUX. On ne peut que constater son existence et l'appeler NEGATION.
J

[Médiat]

Bonjour,

Désolé mais le cours de mathieu785 est correct, en logique mathématiques les seuls connecteurs faisant partie du langage par défaut sont , et , ce qui est à la fois complet et intuitif.

[sobriquet]

Si jamais Mathieu785 repasse par là, l'exercice se résout très simplement en passant par une exhaustion des cas. En utilisant les opérateurs cités, on peut évaluer tous les prédicats constructibles à l'aide d'un seul opérateur. Il n'y en a que deux. On peut ensuite faire la même chose sur les prédicats à deux opérateurs, et la conclusion est ensuite rapide.