Quels sont les principes qui régissent les règles de formation ?

[Alain2021]

Bonjour à tous,

Définition : Les sciences formelles (ou sciences logico-formelles) explorent déductivement, selon des règles de formation des propositions et des règles de démonstration des théorèmes, des systèmes axiomatiques.

Est-ce que je me trompe si je pense que toutes ces règles sont fondées sur
1) le principe d'identité,
2) le principe de non-contradiction,
3) le principe du tiers exclu ?

Je me pose cette question car certains auteurs ajoutent le principe de raison suffisante.

Merci.

Bien à vous.

Alain
-----

[Médiat]

Bonjour,

Les sciences logico-formelles (?) sont basées sur une logique (je suppose) mathématique (puisque c'est le sujet ici), or, certaines logiques refusent le tiers-exclu ! Quant au principe de raison suffisante, ce n'est pas un principe logique.

[Deedee81]

Salut,

Attention. Médiat a raison en disant que toute science formelle se base sur une logique donnée, en général la logique orthodoxe, parfois la logique quantique, l'intuitionnisme, et même parfois les logiques modales ou la logique floue. Et il ne faut pas confondre les axiomes de la logique en question avec les postulats de la science en question.

Concernant le principe de raison suffisante, c'est un principe philosophique qui fait partie de la science considérée mais pas de la logique sous-jacente. Et encore, toutes les sciences n'y font pas appel ! Il peut se traduire aussi par le principe de causalité mais il prend là aussi des formes différentes selon les sciences considérées (la causalité classique, relativiste, quantique,...)

Enfin, concernant le "explorent déductivement", pas toujours. On utilise tant que faire se peu l'approche de la déduction. Ce fut même un idéal au 19e siècle mais cela s'est avéré insuffisant. Depuis on utilise aussi l'induction et l'abduction. On prend "ce qui marche", souvent même sans se poser la question de "mais quelle approche vais-je suivre", la science étant plus une affaire d'habitude, de connaissance du métier, que de règles de cuisines à suivre. Même les sciences dites formelles sont loin de la façon de travailler des mathématiciens. Toutes les sciences étant avant tout expérimentales contrairement aux mathématiques.

Pour le reste, Alain, il faudrait peut-être que tu précises tes sources, le contexte. Non seulement parce que c'est assez maigre mais aussi parce que tu dis "certains auteurs".

[Alain2021]

Bonsoir à tous,

1) Merci beaucoup pour votre aide.

2) Correction de ma définition des sciences formelles grâce à votre aide : Les sciences formelles explorent, selon des règles de formation des propositions et des règles de démonstration des théorèmes, des systèmes axiomatiques.

3) Mes sources : Des articles ou cours de logique disponibles sur le web.
Le contexte : J'aimerai savoir, s'il vous plaît, si, dans une théorie formelle, ce sont les règles de formation des propositions qui contiennent les axiomes de la logique choisie ou si ce sont les systèmes axiomatiques ?

4) "Il ne faut pas confondre les axiomes de la logique en question avec les postulats de la science en question."
Approuvez-vous les définitions suivantes ?
a) Axiome : Postulat ou principe, considéré comme évident en soi ; proposition générale, reçue et établie.
b) Postulat : Proposition première indémontrable ou indémontrée, et que le mathématicien demande au lecteur d’accepter. Le postulat n’est pas forcément évident, contrairement à l’axiome.
Quand vous évoquez "les postulats de la science en question", faites-vous référence aux "systèmes axiomatiques" de la définition des sciences formelles ?

Merci.

Bien à vous.
Alain

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Les règles de formations sont une conséquence de la logique utilisée et du langage, mais en aucun cas des axiomes.

En mathématiques, axiome = postulat et ils n'ont rien à voir avec une notion d'acceptation (ce que jamais le mathématicien ne demande à ces lecteurs).

Un système axiomatique n'est qu'un système générateur d'une théorie, de plus les axiomes d'une théorie sont démontrables dans cette théorie.

Vos définitions ont 2500 ans de retard

[Alain2021]

Bonjour à tous,

Je vous adresse mes remerciements.

1) Pour un mathématicien moderne, est-ce que axiome et postulat et hypothèse sont des synonymes ?

2) Si je choisis
a) les axiomes d'une logique ( par exemple l'axiome d'identité et celui de non-contradiction et celui du tiers exclu ),
b) un langage formalisé,
est-ce que je ne peux concevoir qu'un seul ensemble de règles de formation des propositions ou est-ce que je peux concevoir plusieurs ensembles de règles de formation ?

3) Si je choisis
a) les axiomes d'une logique,
b) un langage formalisé,
est-ce que je ne peux concevoir qu'un unique ensemble de règles de démonstration des théorèmes ou est-ce que je peux concevoir plusieurs ensembles de règles de démonstration des théorèmes ?

4) Grâce à vous, j'ai compris qu'un système axiomatique est un système générateur d'une théorie. Mais je ne comprends pas comment une proposition peut être à la fois un axiome d'une théorie et le résultat d'une démonstration conçue grâce à cette théorie car on ne peut pas démontrer ce que l'on a supposé.

Merci.

Bien à vous.

Alain

[Deedee81]

Salut,

Pour le 4 : si, si on peut démontrer un axiome. C'est même trivial. Soit A l'axiome, alors :
A => A
est une démonstration

[Médiat]

Bonjour,
1) Pour un mathématicien moderne, axiome = postulat, "hypothèse" est différent et désigne en général, les conditions d'application d'un théorème,
2) Les règles de formation sont déterminées par la logique.
3) Les règles d'inférence font partie de la logique
4) Deedee a répondu

[gg0]

Bonjour.

Pour le 1), la réponse est oui et non. Non car le mot "postulat" ne s'emploie plus, c'est un mot historique très daté; oui, car généralement, les postulats étaient simplement des axiomes.
Le 2) et le 3), je ne les comprends pas. S'agit-il de développer une théorie logique ? Et comment écrire "les axiomes d'une logique" autrement qu'avec "un langage formalisé" ? Enfin comme la théorie se construit à partir de ses prémisses, comment pourrait-elle donner "plusieurs ensembles de règles de formation" ? Sauf à diviser arbitrairement (j'ai repris l'expression "règle de formation" sans être sûr de ce que tu veux dire).

Pourquoi ne prends-tu pas le temps de lire sérieusement un livre de logique, puisque le sujet t'intéresse, au lieu de butiner "Des articles ou cours de logique disponibles sur le web." Il y a un gros risque de confusion, d'autant que certains mots précis en logique mathématique sont utilisés dans des sens différents par des vulgarisateurs. Et j'ai l'impression que c'est ce qui t'arrive, puisque tu parles de "formation des propositions" (question de grammaire) à partir d'axiomes de logique et de langage formalisé. Ce qui me semble cohérent; puis tu parles de "démonstration des théorèmes". Il manque (sauf en pure logique) les axiomes propres de la théorie.
Mais ce n'est peut-être que la conséquence d'une question trop générale.

Cordialement.

NB : Médiat a répondu en logicien.

[Alain2021]

Bonjour et merci à tous.

J'étudie la logique grâce à un livre de logique. Quand je ne comprends pas quelque chose, je fais des recherches sur le web. Idem si je ne trouve pas une définition ou si je découvre deux définitions incompatibles.

Médiat a écrit ceci :
"Les règles de formation sont déterminées par la logique."
"Les règles d'inférence font partie de la logique"

Est-ce qu'un système axiomatique n'est constitué que d'un ensemble d'axiomes ?
https://fr.abcdef.wiki/wiki/Axiomatic_system

Autrement dit, est-ce qu'un système formel est constitué
1) d'un vocabulaire
2) de règles de formation des expressions
3) d'un système axiomatique : l'ensemble de ses axiomes
4) de règles d'inférences ?
https://fr.abcdef.wiki/wiki/Formal_system

Merci.

Bien à vous.

Alain

[Médiat]

La logique choisie fixe le vocabulaire logique (les connecteurs, les quantificateurs, le nombre de variables), les règles de formations des formules, les règles d'inférence.

Pour faire une théorie mathématique dans une logique, il faut d'abord fixer le langage, auquel on peut appliquer les règles de formation générale de la logique utilisée, ensuite, il faut donner une liste d'axiomes, qui doivent être des formules bien formées (évidemment).

Donc attention, il y a deux niveaux de langage et deux niveaux d'axiomes.

L'article de Wikipedia sur les systèmes axiomatique est très lacunaire (mauvais en fait)

[Deedee81]

Salut,

Je ne suis pas spécialiste donc à prendre avec des pincettes mais pour l'avoir lu il me semble que l'article Logique dans l'Encyclopédia Universalis est beaucoup plus juste de ce point de vue.
Médiat si tu n'es pas d'accord, n'hésite pas à le dire

[Médiat]

Salut,
Je l'ai lu il y a plus de 30 ans, il était écrit par G. Sabbagh, qui a été mon prof, et l'article était parfait.

[Deedee81]

Salut,

Je l'ai lu il y a plus de 30 ans, il était écrit par G. Sabbagh, qui a été mon prof, et l'article était parfait.

Merci,

On doit avoir lu le même (c'était aussi il y a environ trente ans).

[Alain2021]

Bonjour à tous,

Merci.

Sur internet, je n'ai pas trouvé d'article contenant les mots clés suivants : "universalis logique Sabbagh".

Cher Médiat, vous avez écrit ceci : "La logique choisie fixe le vocabulaire logique (les connecteurs, les quantificateurs, le nombre de variables), les règles de formations des formules, les règles d'inférence." Voulez-vous dire que les axiomes d'une logique sont ses règles de formation des formules et ses règles d'inférence ?

Ensuite, vous avez écrit ceci : "Pour faire une théorie mathématique dans une logique, il faut d'abord fixer le langage, auquel on peut appliquer les règles de formation générale de la logique utilisée, ensuite, il faut donner une liste d'axiomes, qui doivent être des formules bien formées (évidemment). Donc attention, il y a deux niveaux de langage et deux niveaux d'axiomes." Dans la proposition précédente, je suppose que vous voulez dire "il faut d'abord fixer le langage" de la théorie mathématique ( merci de me corriger si je vous ai mal compris ).

Pour concevoir une théorie mathématique dans une logique, je suppose qu'il faut aussi des règles d'inférence. Pourquoi n'avez-vous pas mentionné ces règles dans votre phrase relative à la conception d'une théorie mathématique ?

Enfin, je déduis de votre réponse à ma question qu'un système formel est une théorie formelle : une logique ou une théorie mathématique ou une théorie de l'informatique théorique.

Merci.

Bien à vous.

Alain

[Alain2021]

Correction d'une phrase : Pour concevoir une théorie mathématique dans une logique, je suppose qu'il faut aussi appliquer les règles d'inférence de cette logique. Pourquoi n'avez-vous pas dit cela dans votre phrase relative à la conception d'une théorie mathématique ? Je vous pose cette question car vous avez écrit dans cette phrase "auquel on peut appliquer les règles de formation générale de la logique utilisée".