démonstration de logique classique (trivial ?)

[christianautodidacte]

bonjour,

je viens de consulter un livre de math dans lequel on démontre l'équivalence: (a => b) <=> (non b => non a)

Il le démontre de manière très rigoureusement logique d'après le système,

1) x ou x => x
2) x => x ou y
3) x ou y => y ou x
4) (x => y) => [(z ou x) => (z ou y)]

et les deux règles suivantes

5) la règle de détachement, si A est un théorème et si A => B est un théorème alors B est un théorème.

6) la règle de substitution, si A est un théorème où figure la lettre x, si B est une expression propositionnelle, alors substituer B à la lettre x dans le théorème A donne un nouveau théorème.



Pour en revenir à la démonstration de (I), c'est très long ça demande une quinzaine de ligne mais ça utilise l'équivalence : A => B <=> [(non A) ou B], qui n'est pas démontré préalablement.

Donc j'ai décidé de le démontrer pour m'amuser.

J'ai utilisé les hypothèses du dessus plus l'hypothèse définition de la négation

7) A ou non A



Je dois démontrer donc

A => B <=> [(non A) ou B]


Je démontre très facilement (A => B) => (non A) ou B

Mais je ne parviens pas du tout à démontrer :

(non A) ou B => (A=>B)

Si un professeur de math pouvait m'aiguiller pour que je puisse démontrer la formule...
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[Matmat]

En logique classique, tu as la droit d'éliminer la double négation.

(non A) => (non (non A) => tout) => (A => tout) => (A =>B)
B => (tout => B) => (A=>B)

[christianautodidacte]

merci de votre aide

mais

(non A) => (non (non A) => tout)

m'échappe. Je ne la comprends pas. Et puis il faut transformer les deux implications de fin en une seule. Et pour moi c'est (hic)...

[Matmat]

(non A) => (non (non A) => tout)m'échappe.

oui pardon c'est ma faute, cette étape était inutile, puisque (non A) n'est autre que (A => tout)

Et puis il faut transformer les deux implications de fin en une seule. Et pour moi c'est (hic)...

C'est toujours comme ça dans les démonstrations par disjonction des cas

[A voir en vidéo sur Futura]

[christianautodidacte]

J'ai compris, on utilise la règle d'inférence d'élimination de la disjonction :

si A=>C, B=>C, A ou B

on peut conclure que C.

Merci bien, je ne connaissais pas cette règle d'inférence, je l'utilisais mais sans la connaitre précisément et la comprendre.

Mais j'ai cru comprendre que d'après le système d'axiome plus haut, les 4 axiomes et les deux règles (Système de Hilbert-Ackermann), on démontre toute les règles de la logique classique. Même le tiers exclu est démontré à partir de ce système. Donc il faut démontrer cette règle d'élimination à partir du système d'Hilbert Hackmerman. Corrigez moi si je me trompe. Mais je laisse béton ma démonstration et je passe mon tour.

Merci de votre aide !

[Nini42]

Ma question est peut-être stupide, mais qu'est-ce qui nous empêche ici de faire une table de vérité ?

[Deedee81]

Salut,

Ma question est peut-être stupide, mais qu'est-ce qui nous empêche ici de faire une table de vérité ?

Rien ne l'empêche, on peut quand c'est pas trop lourd. Mais il faut aussi voir ce qui était demandé à/recherché par Christian. Comprendre les règles d'inférences et leur usage est évidemment indispensable pour traiter des cas beaucoup plus complexes.

[Nini42]

OK je vois, merci beaucoup !

[christianautodidacte]

bien le bonjour, les matheux.

Je suis en train de lire un cours de logique et on présente la convention T de Tarski. Je l'ai comprise. Je la rappelle.

P est une proposition.

(T) : "P" est vrai si et seulement si P.

Je ne comprends pas qu'on utilise l'équivalence matérielle "si et seulement si" alors que cette phrase relève du métalangage et que l'équivalance matériel ne s'applique qu'au langage objet.

Ne faudrait il pas utiliser l'équivalence sémantique (s'applique au Métalangage) à la place de l'équivalence matériel (s'applique au LO).

OU alors j'ai mal saisi le cours ???