[TS+] x^x=V2/2

[invite9a322bed]

Bonjour !
Il faut résoudre l'équation suivant dans :

.

J'ai su résoudre, mais avec deux méthodes différentes, je trouve deux résultats différents, c'est ça le bémol !

Première méthode :

On a : soit : , de plus la fonction est strictement croissant sur son domaine de définition, soit par identification .
C'est un résultat évident, vérifiable à la main.

Deuxième méthode:

On a (1)
De plus,
On dérive et on passe à l'inverse :
on trouve : (2)
Par transitivité de (1) et (2) :
Soit
Donc

On a
et

Donc, avec la deuxième méthode, je trouve un résultat approximatif, ma question, est ce que la deuxième méthode est fausse , et que mon approximation est un pur hasard ?
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour la première méthode :

la fonction est strictement croissant sur son domaine de définition

C'est faux !!!
Il faut faire une étude plus précise de cette fonction ; tu t'apercevras alors que l'équation a deux solutions.

Pour la deuxième méthode

On dérive et on passe à l'inverse

Qu'est-ce que ça veut dire ?

[invite9a322bed]

La fonction est strictement croissante, donc admet une unique solution d'après le théorème de bijection.

Pour la deuxième remarque; ma dernière expression qui est écrite au dessus de la phrase, je la dérive, puis je trouve l'égalité qui s'ensuit.Maintenant, ai je le droit de dériver ou pas, je ne sais pas !

[inviteec9de84d]

La fonction est strictement croissante, donc admet une unique solution d'après le théorème de bijection.

Faux ! Calcule la dérivée et tu verras ! (suis le conseil de God's Breath...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Illustration graphique :

[invite9a322bed]

Oui, tu as raison, j'ai pas fais attention sur ce coup, comme quoi, faut toujours vérifier avec un stylo et papier ^^
Je trouve comme extremum local : 1/e
donc il y a deux solutions, comment déduire la deuxième ? Par symétrie certes, mais comment, je sais qu'elle existe.

Et pouvez vous vérifier la deuxième méthode svp ^^

[invite57a1e779]

Maintenant, ai je le droit de dériver ou pas, je ne sais pas !

L'équation n'a rien a voir avec l'équation : la première signifie que les graphes de et de sont sécants au point d'abscisse , la seconde qu'ils ont des tangentes parallèles en leurs points d'abscisse .

Représente graphiquement les fonctions définies par et , résous les équations et , interprète géométriquement.

[invite9a322bed]

Re,
Désolé pour le retard, j'étais pas chez moi

En effet, qu'on on dérive une égalité, on cherche le point, ou les deux fonctions admettent une même tangente, a contrario, de l'égalité des deux fonctions, qui elle sert pour trouver l'intersection des courbes.

Donc, si j'ai bien saisi, je n'ai pas le droit de dériver ! D'ou mon deuxieme raisonnement est faux ! (C'était bien essayé quand même)

Sinon, pour la deuxième solution, comment pourrais je la déduire ?

Merci !

[invite57a1e779]

Sinon, pour la deuxième solution, comment pourrais je la déduire ?

Il me semble qu'elle est bien lisible sur le graphe que j'ai joint en message #5.
Il suffit donc de vérifier que la valeur lue convient.

[invite890931c6]

God's breath pourquoi, su ton graph tu n'as pas la droite d'équation ?

[invite9a322bed]

Je ne connais pas l'échelle utilisée, peux tu me donner la valeur ?
Et je trouve que lire la valeur n'est pas très mathématiques, y pas un moyen "calculatoire" pour la trouver ?

[invite9a322bed]

Désolé de post a supprimer !

[invite57a1e779]

God's breath pourquoi, su ton graph tu n'as pas la droite d'équation ?

J'ai représenté le graphe de et la droite d'équation puisque, en dernier ressort, il s'agit de résoudre .

Je ne connais pas l'échelle utilisée, peux tu me donner la valeur ?
Et je trouve que lire la valeur n'est pas très mathématiques, y pas un moyen "calculatoire" pour la trouver ?

L'échelle est indiquée par la graduation 1 sur chacun des axes.
Il est alors aisé de trouver la maille du quadrillage, et de lire les abscisses des points d'intersection de la droite et de la courbe.
En fait la seconde racine est « évidente », il suffit de voir que

et d'utiliser tes résultats antérieurs...

[invite9a322bed]

Oui, on trouve et ca marche après vérification

Grand merci God's Breath toujours efficace !

Et dernière question, la technique de dériver une équation, je dois laisser tombé pour de bon ?

[invitec317278e]

dériver peut être utile des des centaines (de milliers de...) de situations ; mais ici, le raisonnement est faux ; je pense que tu t'es fait piéger par tes notations, en considérant le "x" à la fois comme la solution de l'équation (donc un nombre défini), et la variable d'une fonction (qui peut valoir ce qu'elle veut), et donc, le x de la dérivée n'a pas de raison d'être à la fois la solution à l'équation et une égalité de dérivée...

[invite9a322bed]

Ok, merci beaucoup !

[invitec053041c]

dériver peut être utile des des centaines (de milliers de...) de situations ; mais ici, le raisonnement est faux ; je pense que tu t'es fait piéger par tes notations, en considérant le "x" à la fois comme la solution de l'équation (donc un nombre défini), et la variable d'une fonction (qui peut valoir ce qu'elle veut), et donc, le x de la dérivée n'a pas de raison d'être à la fois la solution à l'équation et une égalité de dérivée...

Ca serait une révolution mathématique, car on pourrait dès lors résoudre n'importe quelle équation polynômiale par radicaux .