2^2^n n'appartient à IP

invitef978daf1 · 13/05/2009, 21h52

bonsoir
comment on peut démontrer que (2²^n -5) n'est pas un nombre premier pour tout n de N*

**Flyingsquirrel** · 13/05/2009, 22h09

Salut,

Pour $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ qui est premier ce qui est légèrement contradictoire avec ce que tu veux montrer. À moins que j'ai mal lu la question. (?)

invitef978daf1 · 13/05/2009, 22h23

pardon c'est 2²^n+5

**prgasp77** · 13/05/2009, 23h08

Coucou. L'exercice m'a donné un peu de mal, il y a une astuce amusante. J'avais commencé par exprimer $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ , puis j'avais fait la supposition que $\text{[math]}$ , et je cherchais à démontrer que $\text{[math]}$ .

Mais voila, à moins de donner une valeur à l'un des deux entier ( $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ), on avance pas

N'oublie pas que $\text{[math]}$ .

Bon courage.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**phys4** · 13/05/2009, 23h25

Il est possible de montrer que le résultat est toujours un multiple de 3;
Pour cela, commencer par écrire que $\text{[math]}$ est un multiple de 3p (p pair) ou 3q +1 ou 3q +2.
Le développement de la puisance de 2 contient $\text{[math]}$ que l'on peut mettre sous forme $\text{[math]}$ .
Suivant chaque cas, on montre alors que l'on obtient une puissance de 3.

**prgasp77** · 13/05/2009, 23h32

Bonjour phys4.
Ton message est un peu obscur, j'ai beau le relire je ne comprends pas par quel cheminement tu parviens à montrer que l'expression est multiple de 3 pour tout $\text{[math]}$ .

**Médiat** · 14/05/2009, 06h01

Si k est pair, 2^k est congru à 1 modulo 3 (très facile à démontrer)
or 2ⁿ est pair (pour n > 0)
donc 2^2ⁿ est congru à 1 modulo 3 (pour n > 0) et comme 1 + 5 = 6...

**Thorin** · 14/05/2009, 08h27

sinon, le calcul direct marche aussi :

$\text{[math]}$

invitef978daf1 · 14/05/2009, 09h58

Merci
Je crois que c'est bon

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