[TS+] Introduction à la topologie des espaces métriques

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

ce post est une petite introduction à la notion de distance et à la notion de boule ouverte.

Définition Soit un ensemble.

On le munit d'une distance , c'est-à-dire d'une application qui va de dans vérifiant les axiomes de :
- séparation : équivaut à
- symétrie :
- inégalité triangulaire :

Exercice 1
On considère l'ensemble . On propose l'application définie par :
pour tout couple ,
où (resp. ) désigne la composante de (resp. )

Montrer qu'il s'agit d'une distance. Pourquoi l'appelle-t-on distance de Manhattan (ou distance city-block) ?


Exercice 2
Soit un espace métrique (ie un ensemble muni d'une distance )

On définit la boule ouverte de centre et de rayon par :


Vérifier qu'une telle boule n'est jamais vide.

Sur un espace quelconque, définissons la distance (dite distance discrète) par :
si
sinon

Vérifier que est bien une distance sur .

A quoi ressemblent les boules ouvertes de ?

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Regarder si et si .

Vérifions que est un espace séparé, ie vérifions l'axiome de Hausdorff :
soient et deux points de distincts, montrer qu'il existe une boule ouverte centrée en et une boule ouverte centrée en qui ne s'intersectent pas.

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C'est immédiat avec la réponse à la question précédente.

Exercice 3
A quoi ressemblent les boules ouvertes pour muni de la distance de Manhattan ?

Vérifier qu'il s'agit d'un espace séparé.

Montrer que tout espace métrique est séparé.


Exercice 4
Soit muni de la distance de Tchebychev .

Vérifier qu'il s'agit d'une distance.

A quoi ressemblent les boules ouvertes de cet espace ?
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[Seirios]

Exercice 1
On considère l'ensemble . On propose l'application définie par :
pour tout couple ,
où (resp. ) désigne la composante de (resp. )

Montrer qu'il s'agit d'une distance. Pourquoi l'appelle-t-on distance de Manhattan (ou distance city-block) ?

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Si , alors ; la réciproque est immédiate.
La symétrie est assurée grâce aux valeurs absolue, puisque
Pour la dernière propriété, on utilise ; ainsi, dans l'expression de , on écrit , etc.

Pour le nom de la distance, je pense que cela est en rapport avec les rues perpendiculaires de Manhattan ; la distance représente alors la distance à parcourir entre deux points, en empreintant uniquement deux rues perpendiculaires.

[Seirios]

Exercice 2
Soit un espace métrique (ie un ensemble muni d'une distance )

On définit la boule ouverte de centre et de rayon par :


Vérifier qu'une telle boule n'est jamais vide.

Sur un espace quelconque, définissons la distance (dite distance discrète) par :
si
sinon

Vérifier que est bien une distance sur .

A quoi ressemblent les boules ouvertes de ?

Vérifions que est un espace séparé, ie vérifions l'axiome de Hausdorff :
soient et deux points de distincts, montrer qu'il existe une boule ouverte centrée en et une boule ouverte centrée en qui ne s'intersectent pas.

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Une boule de centre c contient toujours c, puisque quelque soit r>0, .

est bien une distance, puisque la séparation est vérifiée par définition, la commutativité découle de celle de l'égalité et de la non-égalité, l'inégalité triangulaire peut se vérifiée par une disjonction des cas : si x=y et z=x=y, alors 0=0 ; si x=y et , alors ; si , alors ; etc.

Soit c un point quelconque de E. Si , alors ; si (ce qui revient en fait à r=1), alors .

Pour la vérification de l'axiome de Hausdorff, il suffit de choisir avec , avec x et y distincts.

[inviteaeeb6d8b]

Très bien Phys2 pour les exercices 1 et 2

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Exercice 3
A quoi ressemblent les boules ouvertes pour muni de la distance de Manhattan ?

Vérifier qu'il s'agit d'un espace séparé.

Montrer que tout espace métrique est séparé.

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Dans ce cas, les boules de rayon r auraient une forme approchant cette figure : http://1.bp.blogspot.com/_VkAJugS3nd...olic_plane.JPG, avec des diagonales de longueur égale à 2r.

Ensuite, pour montrer que tout espace métrique , et donc en particulier, est séparé : soient deux points quelconques x et y de E ; alors les boules BO(x,r) et BO(y,r), telles que ou de manière équivalente, , ne possèdent pas de points en commun.

[invite45a4e22b]

Salut!

Voici un bout de réponse pour l'exo 1:

Séparation:
équivaut à équivaut à donc et ainsi on a

Symétrie:


Inégalité triangulaire: (je bloque un peu...)

Soit dans .
D'après l'inégalité triangulaire :

et là je n'arrive pas à conclure, j'ai pas dû le prendre dans le bon sens je pense ...

[invite45a4e22b]

Pour l'exo 2:

Dire que la boule est vide équivaut à pour tout de pour tout
Or, si , on a car
Ainsi la boule n'est jamais vide et contient au moins son centre.

Par définition, si ce qui vérifie la séparation.
si
sinon ce qui vérifie la symétrie.
Soit x,y,z distincts 2 à 2
alors on a
De même si ( quoi que ce soit positif)
Si et différent de l'égalité est vérifiée
si

On a bien affaire à une distance...

On prend m un point de la boule
Si donc alors la boule se résume à son centre (un seul point donc)
Si , ouainsi la boule est l'ensemble E.

Si x et y différents
et différents
Ainsi on attribuera aux boules de centres et des rayons strictement inférieurs à 1 pour ne pas qu'elle s'intersectent.

ps: je n'ai pas le temps de me relire, je laisse ça comme ça.

[Seirios]

Attention à ce que tu as écrit : (tu as écrit , ce qui ne fonctionne pas pour x<0).

[Seirios]

Exercice 4
Soit muni de la distance de Tchebychev .

Vérifier qu'il s'agit d'une distance.

A quoi ressemblent les boules ouvertes de cet espace ?

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Si , alors, la plus grande valeur absolue étant nulle, la seconde le sera également, d'où , c'est-à-dire x=y ; la réciproque est immédiate.
La commutativité est assurée par les valeurs absolues, puisque .
L'inégalité triangulaire se démontre de la même manière que dans l'exercice 1 lorsque les maxima sont atteints pour un même i (1 ou 2). Dans le cas où au moins un maximum diffère de i=1 par exemple, on utilise , puisque .

Pour la forme des boules, je dirais qu'il s'agit de l'ensemble des points à l'intérieur d'un carré avec une diagonale de longueur égale à 2r.

[invitec317278e]

sauf erreur, c'est le coté du carré qui vaut 2r, et sauf erreur, pour la distance de manhattan, c'est un carré pivoté de 45degrés.

[invite45a4e22b]

Attention à ce que tu as écrit : (tu as écrit , ce qui ne fonctionne pas pour x<0).

Oui très juste, je ne me trompe pas là-dessus habituellement. Mais c'est vrai que là j'étais pas très à l'aise, notamment dans l'inégalité que je n'ai pas su finir.

[Seirios]

Inégalité triangulaire: (je bloque un peu...)

Soit dans .
D'après l'inégalité triangulaire :

et là je n'arrive pas à conclure, j'ai pas dû le prendre dans le bon sens je pense ...

L'idée est bonne, mais essaie de recombiner et , puis les deux restants, plutôt que et .

[inviteaeeb6d8b]

Phys2 : tu t'es trompé pour l'allure des boules ouvertes (exercices 3 et 4).

Pour déterminer l'allure des boules, on peut commencer par chercher le bord de ces boules, c'est-à-dire chercher l'ensemble des points tels que (si est le centre de la boule).

Il vaut mieux, au moins au début, faire ce genre de choses rigoureusement pour éviter les erreurs.


Druk : je ne comprends pas ce que tu as voulu dire...

et différents

Ces deux réels sont nuls.


Je vois que vous arrivez au bout, il va falloir que je propose une suite

[Seirios]

Phys2 : tu t'es trompé pour l'allure des boules ouvertes (exercices 3 et 4).

Pour déterminer l'allure des boules, on peut commencer par chercher le bord de ces boules, c'est-à-dire chercher l'ensemble des points tels que (si est le centre de la boule).

Il vaut mieux, au moins au début, faire ce genre de choses rigoureusement pour éviter les erreurs.

C'est ce que j'avais fait, mais trop rapidement apparemment ; je l'ai refait avec plus d'attention, et je suis d'accord avec les réponses de Thorin.

[inviteaeeb6d8b]

Tout va bien alors

Une suite vous intéresse ?

[invitec317278e]

D'ailleurs, il me semble qu'on peut passer de la distance de manhattan à la distance de l'exo 4 via une rotation du repère^^ Mais la flemme de faire les calculs

[invitef1b93a42]

Oui une suite serait très intéressante Romain s'il te plait !

[inviteaeeb6d8b]

OK. J'ai pas mal de boulot là, mais je vais préparer ça.

[Flyingsquirrel]

Pour patienter, un exercice avec une distance aux propriétés quelque peu étranges :

On note l'ensemble des suites de nombres réels. On définit l'application de dans par

(en clair, signifie « soit le plus petit entier naturel tel que »)

Questions

1. Montrer que est une distance ultramétrique sur , c'est-à-dire qu'elle vérifie l'axiome de séparation, l'axiome de symétrie et l'inégalité suivante (qui est plus forte que l'inégalité triangulaire)
   
   pour tout , , .
2. Montrer que dans muni de la distance tous les triangles sont isocèles, c'est-à-dire que si l'on prend trois éléments , , de , l'une des trois égalités suivantes est vérifiée :
   • 
   • 
   • 
3. Montrer que tout point d'une boule ouverte de est le centre de cette même boule, c'est-à-dire que si la suite appartient à la boule ouverte de centre et de rayon , alors ¹.

[1] Pour ceux qui ne sont pas très familiers avec la notion d'ensemble, montrer que revient à montrer que chaque point de appartient à et que chaque point de appartient à .

[invite93e0873f]

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1. La séparabilité est vérifiée par définition, la symétrie est vérifiée aussi par définition car il est équivalent de dire et que de dire et (ce qui fait qu'on retombe sur le même p) et pour ce qui est de l'inégalité :

Si , c'est-à-dire si , alors les deux autres distances sont égales. Si , alors on a égalité, sinon on a , donc .

Dans le cas où la distance n'est pas nulle, on note les 'p' de chaque couple . Si alors , car les termes des suites et coïncident plus 'longuement' que ne les font ceux de avec , il doit donc en aller de même de cette dernière suite avec à partir du même terme, soit . Sans perte de généralité, disons que . Il faut alors que , car si ce n'était pas le cas (si ), cela voudrait dire que a des termes en commun avec qui les a en commun avec sans que celui-ci les ai avec , ce qui est illogique. Ainsi, le maximum entre les distances et est associé à celle qui a le plus petit p, soit ici . Cette notion de distance est donc ultramétrique.

Le dernier point répond à la question 2, car dans le cas où deux des trois suites ne seraient pas égale (comme dans le cas dernier paragraphe), soit si on a un triangle en bon et dû forme, on se rend compte qu'il y a toujours au moins deux distances qui sont égales.

Pour la question 3, on peut voir la boule , étant le plus petit p (ce qui maximise la distance, par définition) tel que . Cela signifie que si on a une suite et qu'on regarde la boule , on peut comparer ces deux boules de la façon suivante. Étant donné la suite à laquelle on restreint notre attention, si on regarde un élément de à la frontière de cette boule, il faut que . Or, il faut donc aussi que , car ne peut avoir plus de termes en commun avec qu'en a cette dernière avec . On se rend donc compte que les frontières des deux boules sont les mêmes, donc que les boules sont les mêmes.

C'est quand même étrange qu'une boule puisse avoir deux centres distincts

[Flyingsquirrel]

@Universus

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Pour la question 3, on peut voir la boule , étant le plus petit p (ce qui maximise la distance, par définition) tel que . Cela signifie que si on a une suite et qu'on regarde la boule , on peut comparer ces deux boules de la façon suivante. Étant donné la suite à laquelle on restreint notre attention, si on regarde un élément de à la frontière de cette boule, il faut que . Or, il faut donc aussi que , car ne peut avoir plus de termes en commun avec qu'en a cette dernière avec . On se rend donc compte que les frontières des deux boules sont les mêmes, donc que les boules sont les mêmes.

Qu'appelles-tu frontière d'une boule ? S'agit-il de la notion classique de frontière utilisée en topologie (et que tu n'es pas censé connaître puisqu'on ne l'a pas définie dans ce fil) ?

En fait on peut répondre à la question en utilisant simplement l'inégalité vérifiée par les distances ultramétriques, sans faire appel à des notions que l'on a pas encore vues.

[invite93e0873f]

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Non non, par frontière, je m'imaginais juste un . Peut-être est-ce une erreur, justement parce que tout ça est difficile à imaginer en terme de ce qu'on interprète intuitivement comme une distance. Je n'ai pas vraiment de notion de topologie, soyez-en tous sûrs

[invite93e0873f]

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C'est bête, mais je n'ai pas l'habitude de ces méthodes d'exos où la réponse à la question précédente permet de répondre à la question qui suit. En effet, si on se fie à ce que tu as dit Flyingsquirrel, en prenant un élément de la boule et un élément extérieur à cette boule (je ne sais pas si ça se fait, mais je dirais que oui, je ne vois pas pourquoi ça ne se ferait pas), alors d'après le fait que ce sont des triangles isocèles, il faut que pour n'importe quel couple . L'idée de prendre hors de la boule est justement pour que ce ne soit pas et qui soient à égales distances de . Ainsi tous les sont aussi les centres de .

[Flyingsquirrel]

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Ainsi tous les sont aussi les centres de .

Je ne comprends pas en quoi le fait de prouver que les points à l'extérieur de la boule sont à la même distance de que de prouve que les boules et sont confondues.
Pour l'instant tu as montré que si un point n'appartient pas à alors il n'appartient pas non plus à . Dit autrement, tout point de appartient à donc la boule est incluse dans or on veut prouver que les deux boules sont égales, la démonstration n'est donc pas finie (cf la note à la fin du message n^o19).

[invite93e0873f]

Oui, en effet ; j'ai coupé ça court et je ne me suis pas posé vraiment de questions... Je devrais me taire dans ces temps-là.

[Flyingsquirrel]

Oui, en effet ; j'ai coupé ça court et je ne me suis pas posé vraiment de questions...

Ceci dit tu as fait la moitié de la démonstration (montrer que est incluse dans ) et l'on peut se servir du même raisonnment pour prouver que est incluse dans et donc que .