2 + 2 = 4

[toto91300]

Bonjour,
Lorsque je suis rentré en Terminale (Math Elem) il y avait un cours d’arithmétique et la première leçon était sur l’addition avec la démonstration de 2 + 2 = 4 .
Croyez moi ce n’était pas simpliste.
Mais pour nous c’était tellement évident…….
Bref, le cours suivant j’ai été le premier interrogé. Arrivé au tableau, que dire puisque c'était une évidence: 2 + 2 = 4. Résultat : 0 /20 et nous avons été une dizaine à obtenir cette première note,... et le cours a continué.
Je n’ai jamais retrouvé cette démonstration. L’un de vous la connaîtrai –t-il ?
-----

[Médiat]

Bonjour,

Pour parler de démonstration, il faut savoir dans quelle théorie on se place, dans le cas de l'arithmétique, la plus courante est l'Arithmétique de Peano, dans laquelle, on dispose (entre autres) d'un symbole de constante (0), d'un symbole pour la fonction successeur (s), d'un symbole pour l'addition.

2 et 4 ne sont pas des symboles de cette théorie, il faut donc les définir :
2 = s(s(0))
4 = s(s(s(s(0))))

On doit donc démontrer que s(s(0)) + s(s(0)) = s(s(s(s(0)))), or l'un des axiomes de l'addition est x + s(y) = s(x + y), on applique cet axiome :
avec x = s(s(0)) et y = s(0) : s(s(0)) + s(s(0)) = s(s(s(0)) + s(0)), on recommence
avec x = s(s(0)) et y = 0 : s(s(s(0)) + s(0)) = s(s(s(s(0)) + 0)), on applique l'axiome x + 0 = x
avec x = s(s(0)) : s(s(s(s(0)) + 0)) = s(s(s(s(0)))) CQFD

Je doute que l'on voit cela en Terminale

Une version plus simple (qui suppose que l'on sait "faire + 1") :
2 + 2 = 2 + (1 + 1) = (2+1) + 1 = 3 + 1 = 4

[gg0]

Bonjour Toto91300.

Si tu as fait la Math élem à la même époque que moi (j'ai passé le bac en 67, dernière année d'existence des maths-élem, remplacés par la C), la preuve est à peu près celle de Médiat, simplement, on définissait l'addition par récurrence avec la notion de prédécesseur : x+y=x si y=0; x+y=s(x)+p(y) si y<>0.
En général, on montrait que s(x)=x+1 et on introduisait l'écriture p(x)=x-1, ce qui redonne du sens habituel à x+y=s(x)+p(y) : x+y=(x+1) + (y-1) Bien évidemment, pas question de supprimer les parenthèses et de simplifier les 1, on suppose les règles habituelles non connues.

C'est d'ailleurs cette idée (on oublie toutes les habitudes, puisqu'on veut les justifier par une axiomatique) qui a fait que tu es passé à côté. Il est même possible que tu n'aies pas entendu le prof l'expliquer (il l'a dit, mais ce n'est pas venu à ta compréhension), éventuellement qu'il ne l'ait pas expliqué (mais alors tu as eu un prof nul !).

C'est l'une des difficultés des cours sur les fondements : On retrouve comme conséquence ce qui est évident, donc il ne faut pas l'utiliser. Pas seulement en maths d'ailleurs. Vois un cours de base de linguistique, ou de sémantique, ou même de grammaire (pas la grammaire de l'école, celle des chercheurs).

Cordialement.

NB : Ce cours de terminale m'a permis d'avoir, 5 ans plus tard, un oral de capes facile.

[PlaneteF]

Bonjour,

NB : Ce cours de terminale m'a permis d'avoir, 5 ans plus tard, un oral de capes facile.

Tu veux plutôt dire que ce cours t'a permis d'avoir un oral de Capes successeur du successeur du successeur du successeur du successeur de zéro ans plus tard.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ec994dc]

En tous les cas merci gg0 pour tes lumières.

[invitedf3b174e]

Bonjour,
Lorsque je suis rentré en Terminale (Math Elem) il y avait un cours d’arithmétique et la première leçon était sur l’addition avec la démonstration de 2 + 2 = 4 .
Croyez moi ce n’était pas simpliste.
Mais pour nous c’était tellement évident…….
Bref, le cours suivant j’ai été le premier interrogé. Arrivé au tableau, que dire puisque c'était une évidence: 2 + 2 = 4. Résultat : 0 /20 et nous avons été une dizaine à obtenir cette première note,... et le cours a continué.
Je n’ai jamais retrouvé cette démonstration. L’un de vous la connaîtrai –t-il ?

Les nombres entiers sont dits naturels
On compte jusqu'à 10 et en reprend on ajoutant 1 puis 2 pour dire 11 et puis 12 et lorsqu’on arrive à 20 on refait pour 21 et 22.

Ces nombre sont naturelles et en relation avec le nombre de nos doigts.
Nous avons 10 doigts et on compte avec.

Pour démontrer que 2 + 2 = 4 il suffit de compter les doigts de la main gauche par la main droite.

Mais si nous n’avions que 6 doigts (3 dans chaque main) comment sera-t-il notre ensemble des entiers naturelles ??

[invite51d17075]

oui, il y a certainement un lien entre le système décimal et le nb de doigts, mais ce ne fut pas non plus le seul
citation ( extrait wiki ):

La base dix est très ancienne. Elle découle d'un choix naturel, dicté par le nombre des doigts des deux mains. Les Proto-indo-européens comptaient probablement en base dix. Un système de notation décimale a été mis au point :

au IIIe millénaire av. J.-C., par les Égyptiens1,2 (le système égyptien était toutefois un système décimal sans positionnement3,4) ;
avant -1350, par les Chinois5 ;
vers -650, par les Étrusques ;
vers -500, par les Indusiens en sanskrit.
Noter cependant l'usage de systèmes non décimaux, dont voici quelques exemples.

Les anciennes civilisations de Mésopotamie (Sumer, Babylone…) utilisaient un système positionnel de base sexagésimale (60)6,7,8,9.
À noter également l'usage de systèmes proto-élamites mixtes, dit bisexagésimaux (binaire, décimal ou sexagésimal suivant la qualification des objets ou des êtres vivants à décompter)10,11.
La civilisation maya utilisait un système de base 20 en introduisant quelques variantes12.
Le basque (ainsi que les langues celtiques) se fonde aussi sur la base 20. Il en reste quelques traces en français avec la dénomination « quatre-vingt ».
Bases combinées:
Les numérations décimales utilisent parfois des bases auxiliaires :

Un système quinaire auxiliaire est utilisé dans certains systèmes de notation (voir plus haut) et pour l'énonciation des nombres dans certaines langues, comme le wolof.
Un système vigésimal auxiliaire est utilisé pour l'énonciation des nombres dans certaines langues, comme en basque, ou « quatre-vingts » en français.

[invite51d17075]

j'aurais pu y ajouter un mot comme 70 qui se prononce "60 ; 10".
et tous ceux qui suivent 4 20 pour 80
4 20 10 pour 90....

[invitedf3b174e]

Merci asnnet pour les explications

je trouve que demander une démonstration pour 2+2=4 est un peu déplacer puisqu'on est dans un système décimale issu du nombre de nos doigts

[invite51d17075]

Merci asnnet pour les explications

je trouve que demander une démonstration pour 2+2=4 est un peu déplacer puisqu'on est dans un système décimale issu du nombre de nos doigts

non tu confonds les notations avec la démonstration mathématique.
même en binaire ( langage informatique par exemple ) : 2+2=4, indépendant de ton formalisme d'écriture.
ce n'est pas le nb de nos doigts qui ont changés les maths .

[invitedf3b174e]

j'aurais pu y ajouter un mot comme 70 qui se prononce "60 ; 10".
et tous ceux qui suivent 4 20 pour 80
4 20 10 pour 90....

ceci n'est valable que dans la langue francaise mais pas dans les autres langues, le mathématique soit doit etre universel

[invite51d17075]

ceci n'est valable que dans la langue francaise mais pas dans les autres langues, le mathématique soit doit etre universel

ou veux tu en venir, puisque le calcul final est le même qcq soit la langue, même en chinois.

[invitedf3b174e]

ou veux tu en venir, puisque le calcul final est le même qcq soit la langue, même en chinois.

je parlais de ((((70 qui se prononce "60 ; 10".
et tous ceux qui suivent 4 20 pour 80
4 20 10 pour 90.... ))))

[invite51d17075]

c'est une question de terminologie, pour te dire qu'ill n'y a pas eu que la base 10.
et que d'autre part cela ne change rien au calcul.
comprends tu ???????????????????

[inviteea028771]

c'est une question de terminologie, pour te dire qu'ill n'y a pas eu que la base 10.
et que d'autre part cela ne change rien au calcul.
comprends tu ???????????????????

En effet, "deux" plus "deux" ça fait "quatre", peu importe comment on écrit ces nombres :

2+2=4, 二+二=四, 10+10=100, 2+2 = 11 ou encore d'autres bases exotiques