0=∅?

[invitee290a5e0]

Bonjour,
je me suis intéressé à la démonstration de 1+1=2 et je suis tombé sur https://blogdemaths.wordpress.com/20.../pourquoi-112/ mais un axiome me pose problème. Pour l'explication de l'axiome 1 mentionné dans ce site ils disent que l'on construit 0 à partir de l'ensemble vide et qu'on définit 0 comme étant l'ensemble donc 0=∅. Cette définition me pose problème car si une équation admet une solution, cela veut dire qu'elle admet un élément d'un ensemble mathématique (R,C...) comme solution. Or 0 peut être solution d'une équation et si on admet que 0=∅ alors cela faudrait dire que si 0 est solution de l'équation, alors la solution n'a pas de solution ce qui est absurde.
Pourriez-vous m'éclairer sur ce point s'il-vous-plaît?
Cordialement
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour l'explication de l'axiome 1 mentionné dans ce site ils disent que l'on construit 0 à partir de l'ensemble vide et qu'on définit 0 comme étant l'ensemble donc 0=∅. Cette définition me pose problème car si une équation admet une solution, cela veut dire qu'elle admet un élément d'un ensemble mathématique (R,C...) comme solution. Or 0 peut être solution d'une équation et si on admet que 0=∅ alors cela faudrait dire que si 0 est solution de l'équation, alors la solution n'a pas de solution ce qui est absurde.

Si tu poses par définition que et que la solution de ton équation est alors l'ensemble des solutions s'écrit : ce qui n'est pas l'ensemble vide. Dis autrement et ce n'est pas la même chose et l'on a alors que

Cordialement

[invitee290a5e0]

Que signifie le symbole := et ∅ entre accolades? C'est sans doute cela que je n'ai pas compris.

Cordialement

[PlaneteF]

Juste avant de répondre à ta question, je vois que tu poses cette question dans le forum du collège et du lycée. En quelle classe es-tu (si cela n'est pas indiscret) ? ... Je te pose cette question c'est juste pour cibler la réponse.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee290a5e0]

Terminales S.

[PlaneteF]

OK.

Pour ce qui est de la notation c'est simplement pour signaler que l'on a une égalité "par définition". On peut aussi trouver .

Pour ce qui est de c'est l'ensemble vide que l'on peut noter aussi {}. De manière intuitive l'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient aucun élément. J'ai bien mis "l'ensemble" et non pas "un ensemble" car cet ensemble est unique. Maintenant l'ensemble contenant l'ensemble vide est un autre ensemble qui pour le coup n'est pas vide puisqu'il contient l'ensemble vide

Pour ce qui est de c'est le cardinal d'un ensemble qui uniquement pour les ensembles finis correspond à notre intuition de "nombre d'éléments". Attention à ne surtout pas utiliser cette intuition pour les ensembles infinis sous peine de comprendre les choses de travers.

Cdt

[invitee290a5e0]

Donc si j ai bien compris 0:=∅ ne veut pas dire 0=∅ mais que zéro est un ensemble qui contient l'ensemble vide?

Cdt

[PlaneteF]

Donc si j ai bien compris 0:=∅ ne veut pas dire 0=∅ mais que zéro est un ensemble qui contient l'ensemble vide?

Ben non, tu n'as pas bien compris, si tu poses , cela veut dire que zéro est l'ensemble vide. What else?

Cdt

[invitee290a5e0]

En fait j'étais en train de modifier mon message mais je n'ai pas eu le temps mais à ce moment là, la seule distinction entre ∅ et 0 est que 0 est non seulement l'ensemble vide mais aussi un chiffre alors que ∅ est seulement l'ensemble vide? Aussi si j ai bien compris, si une équation n'a pas de solution on peut aussi marquer S=0?

Cdt

[PlaneteF]

(...) mais à ce moment là, la seule distinction entre ∅ et 0 est que 0 est non seulement l'ensemble vide mais aussi un chiffre alors que ∅ est seulement l'ensemble vide?

Non pas vraiment car si l'on met une égalité c'est justement qu'il n'y aucune distinction formelle ! ... Disons que formellement c'est plus pratique d'écrire plutôt que !

Aussi si j ai bien compris, si une équation n'a pas de solution on peut aussi marquer S=0?

Dans le formalisme dont on parle, oui. Mais attention il s'agit de mathématiques formelles, pas des mathématiques que tu utilises au lycée, et donc ne vas pas t'amuser à écrire ce genre de choses dans tes études de terminale S (c'est bien pour cela que je t'ai demandé dans quelle classe tu étais).

Cdt

[invitee290a5e0]

Pour ce qui est de S=0, je n'ai dit ça qu'à titre d'exemple évidemment je ne vais pas écrire des choses hors programme dans une copie, en tout cas merci pour toutes tes réponses.

Cdt

[invite82078308]

0=∅ est une affirmation qui ne présente en soi guère d’intérêt .
Plus intéressante est la construction de Von Neuman qui prolonge cette idée:
0=∅={}.
1={0}= {∅}= {{}}
2={0,1}={{},{{}}}
3 ={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}
etc
ainsi, les entiers naturels sont définis uniquement a partir des notions élémentaires de la théorie des ensembles.
On notera que le nombre d'éléments (le cardinal) d'un entier naturel est alors égal à ce nombre.
que la comparaison est égale à ce nombre.
On peut généraliser cette construction aux ordinaux, mais là, nous allons un peu loin.

[invite82078308]

Il fallait lire: que lacomparaison correspond à l'inclusion.
Satanée règle des 5 mn !