Heure précise

[inviteaeb8dac8]

Bonjour,

Je ne savais pas précisément où ouvrir ce sujet, c'est hors mathématiques scolaires, mais pas non plus niveau supérieur, je m'excuse si je me trompe de forum.

Je me demandais s'il était possible de partir de chez soi à 15h 0000.... Exactement, la suite de zéros s'étendant à l'infini. Cette heure là où une heure, pourvu qu'elle soit exacte.

D'un côté je dirais que non, parce que la probabilité de partir à cet instant précis, comme il y a une infinité d'instants, ça fait p=1/infini, donc p=0. 1/infini=0, c'est internet qui le dit. Si la probabilité de partir à un instant exact est nulle, c'est qu'on ne peut pas partir à cet instant précis.

D'un autre côté, il faut bien qu'on parte à une heure définie. Si je pars entre 15h et 15h01, il y aura forcément un instant précis pour le départ, cet instant exact existe logiquement, mais il a une probabilité nulle et ne peut donc pas exister. Me voilà avec un joli paradoxe ^^

De plus, si on place sur un segment de 2cm représentant la durée entre 15h et 15h01, le milieu de ce segment peut être placé exactement (en théorie tout ça bien sûr), à 1 cm du début du segment. Et donc 15h00.300000..... existe. Mais il a une probabilité nulle d'arriver.

Si vous aviez une petite explication fiable
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[gg0]

Bonjour.

La précision sur un événement est généralement faible; car tout événement, pour être perçu, nécessite une certaine durée. Si on reprend ton exemple, on pourra dire "à 15h à ma montre, j'allais partir, à 15h01 j'étais parti". Le délai de 1 mn que j'ai pris peut être raccourci, mais il va falloir définir très précisément comment on fait la différence entre être parti et ne pas encore être parti. Et cette différence correspondra à un temps de, disons, mouvement (il faut bouger, pour être parti).

D'autre part, les physiciens qui travaillent sur de l'ultra-rapide arrivent à mesurer des temps très courts, mais qui sont encore loin de 0 : L'ordre de grandeur actuel est la femto-seconde : il y a mille milliards de femtosecondes dans une seconde. Mais il n'y a que 15 décimales, pas une "suite de zéros s'étendant à l'infini".

Enfin, ton raisonnement sur la probabilité est correct : la probabilité qu'un événement se produise exactement à un moment parfaitement précis est nulle. Ça semble poser un problème, car il se produit bien. Mais c'est simplement que probabilité nulle et impossibilité ne sont pas des synonymes; ou encore que pour des temps en nombres réels (ceux qui sont infiniment précis), on ne calcule que des probabilités d'arriver entre 2 temps. Et si les deux temps sont égaux, cette probabilité est nulle.
Sur ce dernier sujet, il n'y a pas de " petite explication", seulement des découvertes progressives des mathématiciens, qui n'y peuvent rien : le calcul des probabilités ne marche que ainsi (*).

Cordialement.

(*) mais de la même façon, un mathématicien ne peut pas refuser le théorème de Pythagore, même s'il voudrait que ce ne soit pas vrai.

[inviteaeb8dac8]

J'imagine que le problème est le même si on essaie de placer un point quelconque sur un segment. Ce point sera défini par un intervalle entre deux autres points, et pas par une position absolue. Je me trompe ? Autrement dit, quand on place le point A(5;0), si on suppose qu'on le place parfaitement (pur théorie), il ne sera pas placé au point d'abscisse 5.000...1 mais entre les points d'abscisse 4.999... et 5.000...1 ?

Ou bien les calculs de probabilité ne s'expriment qu'entre deux points mais le point a une abscisse de 5 absolument exacte ? Ça sera un bon compromis.

Petite parenthèse, uniquement si le premier résultat est correct, ne vous préoccupez pas de ça si c'est absurde. J'avais lu, mais je ne sais absolument pas si c'est vrai, et ça a l'air d'être contesté, que 0.999...=1. Sans vouloir entrer dans un débat, si c'est vrai, comment peut-on dire qu'on place le point entre 4.999... et 5.000...1 si 4.9999=5 ? Parce que j'imagine que si 0.999...=1, alors 4.999...=5 et 5.000...1= 5 non ? Je ne sais absolument pas si c'est vrai, c'est une question un peu à part, secondaire.

Enfin, si jamais il est possible de placer un point à l'abscisse 5 exactement, les calculs de proba donnent 0 pour cette position. J'ai du mal à voir comment une probabilité nulle ne signifie pas impossibilité dans ce cas (uniquement s'il est possible de placer le point A(5;0) ).

[gg0]

Attention,

il ne faut pas confondre les maths avec les notions concrètes qui ont servi à les définir, ou qui servent en application. Mathématiquement le point d'abscisse 5 a une abscisse d'exactement 5. Que tu peux écrire 5,0000.... (ça ne sert à rien) ou 4,999... (c'est inutilement compliqué).

Tu es parti d'abord sur une question concrète de mesure du temps, j'y ai répondu, puis sur une question de probabilités (donc des maths, pas du concret), j'y ai répondu. mais ne mélange pas les deux

Attention, aussi à " je ne sais absolument pas si c'est vrai, et ça a l'air d'être contesté, que 0.999...=1". Ce n'est contesté que par des ignorants, car c'est une question parfaitement résolue en maths depuis des siècles, et qui s'enseigne facilement en post bac si c'est nécessaire (numération); on voyait ça en lycée au siècle dernier.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Enfin, si jamais il est possible de placer un point à l'abscisse 5 exactement, les calculs de proba donnent 0 pour cette position. J'ai du mal à voir comment une probabilité nulle ne signifie pas impossibilité dans ce cas (uniquement s'il est possible de placer le point A(5;0) ).

Tire un nombre au hasard entre 0 et 1 (selon une loi uniforme). Tu as obtenu un nombre 0< x <1.

Maintenant, quelle est la probabilité de tirer x? Elle était de 0, il s'est donc produit un évènement de probabilité nulle

[Médiat]

Bonjour,

Tire un nombre au hasard entre 0 et 1 (selon une loi uniforme). Tu as obtenu un nombre 0< x <1.

Maintenant, quelle est la probabilité de tirer x? Elle était de 0, il s'est donc produit un évènement de probabilité nulle

Il y a quand même un problème : comment faites-vous pour tirer un nombre (réel, je suppose, mais rationnel poserait le même problème) au hasard selon une loi uniforme ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je pense qu'il faut faire la part des choses entre le monde réel et les mathématiques.
Gardons l'exemple du tirage entre 0 et 1.Il a été écrit "la probabilité de tirer x à telle valeur est nulle". Cette phrase est vraie si on considère la phrase "il y a une infinité de nombres entre o et 1". Or il y a un tout petit problème, dans le monde réel l'infini n'existe pas.
Un définition connue des probabilités est "nombre de cas favorables / nombre de cas possibles". La contestation de cette définition est facile, les nombres réels sont en quantité infinie.
Votre heure de départ est une nouvelle version, moins dynamique, que celle bien connue d'Achile et de la tortue.

[Médiat]

Bonjour,

Un définition connue des probabilités est "nombre de cas favorables / nombre de cas possibles".

Connue, peut-être mais factuellement fausse, sinon, la probabilité pour que le soleil se lève demain serait de 1/2 !

[zenxbear]

la probabilité mesure une "proportion" d'un événement/ensemble par rapport à l'ensemble total. Pour une "loi uniforme", un intervalle [a,b] de [0,1] représente une proportion de (b-a) par rapport à l'intervalle total [0,1].
Si je dis, l'ensemble {x} a une probabilité nulle. Ca ne veut pas dire que l'ensemble n'existe pas, ou ne peut pas se produire, mais qu'il est négligable (nul), un rien par rapport à l'ensemble total.
Il y a beaucoup de nombres rationnels, mais si on regarde la loi uniforme, en réalité ils ne représentent rien par rapport à l'ensemble des nombres irrationnels entre [0,1].

Prend un autre cas. Imagine un carré [0,1]x[0,1] avec une loi uniforme. un rectangle [a,b]x[c,d] à l’intérieur de ce carré à une probabilité "proportion par rapport au grand carré de (b-a)x(d-c). Il s'agit donc tout simplement de son aire.
Si tu dessines un cercle dans ce carré, j'ai dis un cercle pas un disque. Tu as bien "sélectionné" ou "tiré au hasard sous la bénédiction du dieu Cercle" un sous-ensemble de ce carré [0,1]x[0,1]. Quelle est l'aire de ce cercle? 0? N’empêche tu viens de le dessiner une figure d'"aire" (de probabilité) 0. C'est ouf non!?

Pire, tu peux dessiner des gribouillis confus dans le carré pour lesquels tu ne peux même pas dire qu'ils ont une "aire".

[gg0]

Bonjour Médiat.

Dans la modélisation mathématique du "tirage d'un nombre réel entre 0 et 1 au hasard suivant une loi uniforme", donc "réalisation de la loi uniforme sur [0,1], on utilise bien l'événement X=x, qui correspond d'ailleurs à un intervalle [x,x], dont la probabilité est x-x=0. Il s'agit d'un événement de probabilité nulle, mais pas impossible comme le serait l'événement X=2.
Si on ne veut pas utiliser de variable aléatoire, on construit sur R la tribu engendrée par les intervalles ]-oo,a], en leur associant les probabilités 0 si a<0, a, si 0<=a<=1, 1 si a>1. Là encore, P({x})=0

Par contre, dans les utilisations concrètes de ces modèles, les réalisations deviennent "floues", car il y a toujours une certaine imprécision de mesure, et en pratique, on se contente de probabilités d'intervalles "de longueur suffisante".

Cordialement.

NB : j'imagine que tu sais déjà tout ça, mais tes messages précédents pouvaient faire croire à une impossibilité théorique.

[Médiat]

Bonjour gg0,

Mon message #6 fait bien état d'une impossibilité de "tirer au hasard un nombre entre 0 et 1" telle que présentée dans le message #5, c'est à dire l'impossibilité de définir un algorithme fini donnant en un temps fini, au hasard un nombre compris entre 0 et 1 (répartition uniforme), et non de l'impossibilité de définir un modèle de probabilité (Kolmogorov) basée sur une mesure (quelle qu'elle soit).

[Dlzlogic]

A mon avis, cet article peut éclairer le débat.
https://mathinfo.unistra.fr/fileadmi.../o_83_1-15.pdf

[invite23cdddab]

Médiat, tu refuses donc de parler de réalisation d'une variable aléatoire ayant une loi à densité?

[Médiat]

Bonsoir,

Je ne comprends pas votre question (réalisation ?), ni le rapport avec ce que j'ai écrit.

[invite23cdddab]

Une réalisation d'une variable aléatoire X, c'est la valeur X(w) pour un certain w de l'univers. En gros, la valeur que va prendre X lors d'une expérience aléatoire donnée. C'est du vocabulaire classique en théorie des probabilités.

https://en.wikipedia.org/wiki/Realization_(probability)

Et ton argument se transpose directement à toute variable aléatoire réelle a densité

[Médiat]

Expliquez-moi comment vous "réalisez" une variable aléatoire qui peut prendre, uniformément, une valeur réelle entre 0 et 1, d'autre part, si c'est une "expérience", ce n'est plus des mathématiques.

[invite23cdddab]

Une "expérience aléatoire" n'est pas une "expérience" physique... c'est encore du vocabulaire classique de théorie des probabilités

Sinon, ça se réalise (d'un point de vue mathématique), comme n'importe quelle autre variable aléatoire. Après, vous avez parfaitement le droit de dire et de penser que la théorie des probabilités n'est pas physique (c'est d'ailleurs pour ça que l'on dit toujours que l'on modélise tel machin par une variable aléatoire qui suit la loi bidule)

[Médiat]

Après, vous avez parfaitement le droit de dire et de penser que la théorie des probabilités n'est pas physique

Si c'est des mathématiques, ce que je pense profondément, ce n'est pas de la physique, d'ailleurs, si on peut "facilement" définir une mesure sur [0, 1[, c'est à dire faire des mathématiques, je répète ce que je dis depuis le début, on ne peut pas "réaliser" un tirage aléatoire dessus, ni physiquement, ni même algorithmiquement !

[inviteaeb8dac8]

Merci pour vos réponses, et surtout pour l'article ! Je n'ai pas encore le niveau pour comprendre précisément les calculs évoqués, mais je pense avoir compris l'idée. Je vais vous regarder discuter, c'est intéressant.

[invite23cdddab]

Après, vous avez parfaitement le droit de dire et de penser que la théorie des probabilités n'est pas physique

Si c'est des mathématiques, ce que je pense profondément, ce n'est pas de la physique, d'ailleurs, si on peut "facilement" définir une mesure sur [0, 1[, c'est à dire faire des mathématiques, je répète ce que je dis depuis le début, on ne peut pas "réaliser" un tirage aléatoire dessus, ni physiquement, ni même algorithmiquement !

On ne peut pas non plus définir ni physiquement ni algorithmiquement une telle mesure.

[Médiat]

Merci de confirmer ce que je dis

[Dlzlogic]

Bonsoir,
A mon avis l'ambiguïté du terme "mesure".
Il faudrait donc le définir. Je pense que cela éclaircira le débat.

[Médiat]

Bonjour,

Il n'y a aucune ambiguïté sur le mot Mesure, il peut y en avoir une sur le mot "Réalisation" (s'agit-il d'une réalisation physique, mathématique (avec ou sans une description mathématique de cette réalisation)), et, pour moi il y en a une sur l'expression "On tire un nombre au hasard" qui pour Tryss2 me semble (si je me trompe, j'en suis désolé, il me corrigera) signifier "la variable aléatoire prend une valeur" (*), et pour moi, dans le forum "Collège et Lycée" signifie "J'effectue une suite d'opérations (mathématiques) qui me fourni un nombre" ; par exemple, je peux traduire l'expression "je tire au hasard mille nombres entiers entre 0 et 9" par "Je prends successivement les 1000 premiers chiffres du développement décimal de tel nombre bien défini" (**)


(*) Si je ne me suis pas trompé sur la signification que Tryss2 attribue à cette expression, alors "La probabilité de chaque singleton est nulle" aurait eu ma préférence, car sans ambiguïté.

(**) Après, se posera la question de la "qualité" de cette méthode (si je prends 1/3 comme constante, cela ne vas pas marché très bien ) ; on peut aussi utiliser n'importe quel générateur de nombres pseudo-aléatoire disponibles sur les ordinateurs (qui clairement ne "tire" pas au hasard un nombre réel entre 0 et 1, la liste des possibles étant finie)

[gg0]

Médiat,

on obtient plus équitablement ces 1000 nombres en tirant à pile ou face un peu plus de 10000 fois et en interprétant chaque suite de 10 résultats avec le code P=0, F=1, comme un nombre binaire. C'est d'ailleurs ainsi (avec des pièces soigneusement équilibrées) qu'ont été autrefois fabriquées les tables de la Rand Corporation qui servaient avant l'arrivée des programmes pseudo-aléatoires. Ta méthode pose un problème, car une fois le nombre déterminé, la suite des chiffres n'est plus aléatoire. Elle a même de fortes raisons de ne pas être équirépartie (vu qu'on manipule très peu de nombres dont la suite des chiffres est équirépartie, même s'ils sont majoritaires dans les réels.
On peut aussi faire des tirages dans des urnes. Mais il est aussi possible d'utiliser des "générateurs de bruit blanc" dont le signal échantillonné est (parait-il), totalement aléatoire, change aléatoirement à chaque usage (contrairement aux programmes) et très indépendant de l'utilisateur.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

on obtient plus équitablement ces 1000 nombres en tirant à pile ou face

Justement je voulais donner un exemple sans aucun recours à des expériences

Elle a même de fortes raisons de ne pas être équirépartie

D'où ma remarque sur la "qualité", qui est une autre question que celle que je soulevais

[gg0]

Sans recours à des expériences, c'est des probas théoriques, et on a des réalisations de variables aléatoires qui sont parfaitement définies :

ou des événements singleton qui le sont aussi.

Mais j'ai l'impression qu'on est tous les trois d'accord, avec simplement des habitudes de fréquentation des probas différentes, ce qui fait des incompréhensions de vocabulaire.

Cordialement.