|z + 1/z| = 2

[Romain3001]

Bonsoir à tous,
Je suis en terminale et je me frotte aux exercices proposés par Louis le Grand pour avoir un avant goût de la prépa.
Je suis actuellement sur un exercice qualité de niveau 5 ( le plus élevé) et je m'arrache les cheveux depuis plusieurs heures.
L'énoncé est le suivant : montrer que l'ensemble des nombres complexes non nuls z tels que |z + 1/z| =2 a pour image la réunion de 2 cercles que l'on précisera.
Merci geogebra, j'ai pu trouver les cercles en question : rayon racine 2, et centre (0;1) ou (0;-1).
Je précise que l'exercice est dans une partie du cours qui n'utilise ni la forme exponentielle ni la forme trigonométrique.
J'ai déjà essayé plusieurs idées, mais je me retrouve toujours dans des situations très compliquées avec de a et des b puissance 2 4 ou 6 (en posant z= a +ib).
Si quelqu'un a le temps de potentiellement m'indiquer le chemin, sans forcément m'étaler la solution en entier, je serais reconnaissant.
Merci d'avance.
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[Archi3]

Une piste que je n'ai pas explorée jusqu'au bout donc je te laisserai le faire

Ton équation s'écrit aussi (z+1/z)(z*+1/z*) = 4 soit (zz* +z*/z +z/z* +1/zz*) = 4 soit encore (zz*)²+z²+z*²+1-4zz* = 0

Ca parait raisonnablement similaire à la solution suggérée, réunion de deux cercles, puisque comme l'équation d'un cercle de centre z0 et de rayon R0 s'écrit |z-z0| = R0 soit (z-z0)(z*-z0*) - R0² = 0 la réunion de deux cercles peut s'écrire ((z-z1)(z*-z1*) - R1²)( ((z-z2)(z*-z2*) - R2²)) = 0 ce qui en développant doit pouvoir se ramener à la forme ci-dessus en cherchant les "bons" z1, z2, R1 et R2 ?

[Romain3001]

Merci beaucoup,
Je vais y jeter un coup d'œil et voir où ça me mène

[invite75748033]

Bonjour.
On connait l'équation générale d'un cercle non ? et si on en a une autre ...pour avoir les deux faisons un produit ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Merlin95]

Merci geogebra, j'ai pu trouver les cercles en question : rayon racine 2, et centre (0;1) ou (0;-1).

Bizarre donc z=(1+√2)i serait une solution ?

||(1+√2)i + 1/((1+√2)i)||=||(1+√2) - 1/((1+√2))||=(3+3√2-1-√2)/3=2(1+√2)/3<> 2
Même pas sûr que ce soit des cercles.

[invite75748033]

Bonjour.
Ben si ! ce sont deux cercles ,l'ensemble cherché est la réunion de deux cercles, ceux proposés par Romain 3001 ce n'est pas très difficile à montrer...poser z= a+ib ....puis il faudra de la rigueur avec cette équation du quatrième degré à deux inconnues a et b que l'on va obtenir.
Cordialement.

[Merlin95]

Pardon je suis allé trop vite dans le calcul mais ca ne change rien :

||(1+√2)i + 1/((1+√2)i)||
=|(1+√2) - 1/((1+√2))|
=((1+√2)²-1/(1+√2)
=(1+2+2√2-1)/(1+√2)=2
Désolé

@derona oui surement mais je cherchais une solution plus rapide. Ceci dit je veux bien le détail de vos calculs puisque ce n'est pas si difficile (sans connaitre les centres et rayons).

[invite75748033]

O K ...d'abord remplacer z par a+ib dans ce module et calculer tout ça...on arrivera sur l' équation x^4 +y^4+2x²y² -2x² -6y²+1=0 il est clair qu'à ce niveau on peut difficilement trouver une factorisation MAIS l'énoncé fournit la réponse la réunion de deux cercles donc un produit de deux éq. de cercles ... le premier membre ci-dessus s'écrit ( x²+y²+ax+by+c)(x²+y²+a'x+b'y + c' ) on développe tout ceci par comparaison des coefs de ces polynômes on aura 8 petites équations simples par ex a+a' = 0 ; b+b' = 0 ....
cc' =1 il est facile de montrer ensuite que l'on trouvera que -2ab= 0 donc voir si a = 0 ( on trouvera les deux cercles ) et si a différent de 0 ça n'ira pas...on trouvera que a² = - 4 !!!

[invite75748033]

Une remarque Merlin 95..
SI tu sais que (1+rac2) i est une solution et ceci tu le sais car c'est géogébra qui l'a dit ci-dessus on voit que si z est une sol. alors - z aussi donc ici - (1+rac2)i est aussi une solution

[Merlin95]

Ok j'avais pas envie de faire le calcul .

x^4 +y^4+2x²y² -2x² -6y²+1=0
X²+Y²+2XY-2X-6Y+1=0
X²+X(2Y-2)+Y²-6Y+1=0
delta = (2Y-2)²-4(Y²-6Y+1)
=4Y²-8Y+4-4Y²+24Y-4=16Y
D'ou
X=(2-Y)±√Y
(X-2+Y+√Y)(X-2+Y-√Y)=0
(x²-2+y²+y)(x²-2+y²-y)=0

Reste à mettre en évidence que l'on a deux équations de cercle.

[Merlin95]

Décidément
delta = 16Y
X=((1-Y)±2√Y)
(X-1+Y+2√Y)(X-1+Y-2√Y)=0
(x²-1+y²+2y)(x²-1+y²-2y)=0

[invite75748033]

Voilà qui termine cet exercice ( ( x² +(y+1)²-2 ) (x²+(y-1)² -2 ) = 0 d'où la réunion des deux cercles proposés au départ.
en somme votre façon de procéder est meilleure que la mienne laquelle se fonde sur la connaissance de l'ensemble de points ce que dit l'énoncé , votre méthode consiste à factoriser l’équation en x^4 avec y comme paramètre .