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Laquelle des convergences implique l'autre



  1. #1
    dhahri

    Laquelle des convergences implique l'autre


    ------

    Bonjour. On sait que la convergence ponctuelle, sur un compact, implique la convegence en norme 2 sur le meme compact, et que la réciproque est fausse.

    Maintenant, si on remplace le compact par l'ensemble R tout entier.
    La convergence en norme 2 n'implique pas toujours la convergence ponctuelle.
    Mais que peut-on dire de la réciproque? est ce qu'elle reste vraie, comme le cas du compact. Sinon est ce possible de me donner un contre exemple
    et merci bien davantage pour l'aide

    -----

  2. #2
    tize

    Re : Laquelle des convergences implique l'autre

    La suite de fonction converge ponctuellement sur ]0;1] (qui n'est pas compact) vers mais en norme 2 il me semble que
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  3. #3
    feldid

    Re : Laquelle des convergences implique l'autre

    Citation Envoyé par dhahri Voir le message
    Bonjour. On sait que la convergence ponctuelle, sur un compact, implique la convegence en norme 2 sur le meme compact, et que la réciproque est fausse.

    Maintenant, si on remplace le compact par l'ensemble R tout entier.
    La convergence en norme 2 n'implique pas toujours la convergence ponctuelle.
    Mais que peut-on dire de la réciproque? est ce qu'elle reste vraie, comme le cas du compact. Sinon est ce possible de me donner un contre exemple
    et merci bien davantage pour l'aide
    donné comme ça l'énoncé ne peut être vrai, il faudrait dire: soit une suite de fonction de carré sommable sur lR, convergeant ponctuellement vers une limite f(x). A-t-on f est de carré sommable? a priori non, si on rajoute l'hypothèse que la suite fn est majorée uniformément en norme L^2 on tombe sur la convergence dominée de Lebesgue et le résultat est vrai

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