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Exercices d'Analyse



  1. #1
    Nico G.

    Exercices d'Analyse


    ------

    Bonjour tout le monde,

    J'ai un sujet de maths (3 exercices) sous la main mais malheureusement je n'ai pas le corrigé, hors j'aurais bien aimé connaître la solution de ces exercices (auxquels je n'ai pas compris grand chose ). Désolé si c'est un peu long à faire mais je ne suis vraiment pas pressé donc vous pouvez prendre votre temps. En tout cas je tente ma chance au cas où une âme charitable voudrait bien se dévouer :

    ---------------------------

    Exercice 1 :

    On note f : R - {0} -> R la fonction définie par f(x) = (1 - cos x) / sqrt(|x|) si x différent de 0.

    1) Déterminer : L = Limite (x->0,x différent de 0) de f(x).

    2) On note g : R -> R la fonction définie par g(x) = f(x) si x différent de 0 et g(0) = L. La fonction g est-elle continue sur R ?

    3) Déterminer les points de R où la fonction g est dérivable. Déterminer la dérivée de g en ces points.

    4) La fonction g est-elle deux fois dérivable en 0 ? Déterminer les points où la fonction g est deux fois dérivable.


    Exercice 2 :

    On note : I = Intégrale (0 à 1) de (1 / sqrt(4 - x^2))*dx

    1) Montrer que pour toute fonction continue f : [alpha,beta] -> R et pour toute fonction phi : [a,b] -> R de classe C1 telles que phi([a,b]) est inclu dans [alpha,beta] on a :

    Intégrale (phi(a) à phi(b)) de f(x)*dx = Intégrale (a à b) de (f ° phi)(t)*(phi)'(t)*dt

    2) Calculer I (on pourra considérer le changement de variable phi(t) = 2 sin t).

    3) Pour tout n >= 1, on note : I_n = Somme (k=0 à n-1) de 1 / sqrt(4n^2 - k^2)

    Déterminer Limite (n->+inf) de I_n en fonction de I.

    4) Montrer qu'il existe une constante c > 0 telle que : |I - I_n| inférieur ou égal à c / n


    Exercice 3 :

    Soit h : R -> R une fonction continue. Pour tout n >= 0, on note :

    A_n = Intégrale (0 à 1) de x^n*h(x)*dx

    1) Déterminer : Limite (n->+inf) de A_n

    2) On suppose maintenant que h est de classe C1 sur R et on note h' la dérivée de h. Calculer :

    Intégrale (0 à 1) de x^n*((n+1)*h(x) + x*h'(x))*dx en fonction de h(1).

    3) Déterminer la valeur de Limite (n->+inf) de (n+1)*A_n en fonction de h(1).

    4) On considère dans cette question que h est de classe C2 sur R. Déterminer : Limite (n->+inf) de (n+2)*((n+1)*A_n - h(1)) en fonction de h'(1).

    5) Déterminer : Limite (n->+inf) de (n+2)*(n+1)*Intégrale (0 à 1) de x^n*sin(pi*x)*dx


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    Merci beaucoup à ceux qui prendront le temps de faire ça (et surtout bon courage ).

    PS : sqrt est la fonction racine carrée.

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