Card(N) = Card(Q) = nf0

[invite7553e94d]

Bonjour à tous.

Je cherche, histoire de m'occuper un peu dans le train, à démontrer qu'il y a autant de nombres naturels que de nombres rationnels, à savoir l'infini de premier ordre, noté par Kantor il me semble.

Je pense y être arrivé, mais j'aimerais une petite confirmation.

Soient les suites , et .








On définie alors la suite à partir de ces trois suites :




Pour finir, on crée la fonction

est une bijection de dans . Cela implique .



Quant à la démonstration que est bien une bijection de dans , il suffit de s'intéresser aux constructions de p et de q : on s'aperçoit que le couple donne pour les premieres valeures de n
(0,0) (0,1) (1,0) (0,2) (1,1) (2,0) (0,3) (1,2) ... et une fois tout parcouru, on a tous les points de .
est l'ensemble des nombres avec tels que PGCD(p, q) = 1 (auxquels il faut ajouter 0). Nous avons déjà tous les points de , la suite est là pour satisfaire la seconde condition. Son incrémentation permet de "sauter" les couples non irreductibles.



Je vous remercie de m'avoir lu jusqu'ici ; et j'attends avec impatiente vos remarques et critiques.
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[invitea77054e9]

Salut,

est l'ensemble des nombres avec tels que PGCD(p, q) = 1 (auxquels il faut ajouter 0).

Que fais-tu des rationnels négatifs?

[invite7553e94d]

Erf ! je les ai oubliés !!!!!!


Bon, je vais y revenir. Mais j'ai en tête une construction de Z à partir de N, donc ça devrait aller.

[invite7553e94d]

Voici, on garde les mêmes suites, mais on transforme f :


Cette fois-ci ça fonctionne, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3240c37d]

En voici une autre :

[Médiat]

La fonction qui à tout x de qui peut s'écrire de façon unique p/q avec p et q premiers entre eux fait correspondre : (p+q-1)(p+q-2)/2 + p est une injection (facile à démontrer par récurrence) de .

Si on ajoute f(0) = 0 et une petite astuce il est facile de généraliser cette fonction à une injection de . Comme il est trivial de trouver une injection de ... cqfd

PS es-tu le prgasp77 que j'ai connu ailleurs ?

[invite7553e94d]

Je me doutais bien qu'il y avait plus court, je vous remercie de m'en donner des exemples.

PS : Oui, si tu es bien le Médiat (le Grand, l'Unique) de la tavèrne