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Card(N) = Card(Q) = nf0



  1. #1
    prgasp77

    Card(N) = Card(Q) = nf0


    ------

    Bonjour à tous.

    Je cherche, histoire de m'occuper un peu dans le train, à démontrer qu'il y a autant de nombres naturels que de nombres rationnels, à savoir l'infini de premier ordre, noté par Kantor il me semble.

    Je pense y être arrivé, mais j'aimerais une petite confirmation.

    Soient les suites , et .








    On définie alors la suite à partir de ces trois suites :




    Pour finir, on crée la fonction

    est une bijection de dans . Cela implique .



    Quant à la démonstration que est bien une bijection de dans , il suffit de s'intéresser aux constructions de p et de q : on s'aperçoit que le couple donne pour les premieres valeures de n
    (0,0) (0,1) (1,0) (0,2) (1,1) (2,0) (0,3) (1,2) ... et une fois tout parcouru, on a tous les points de .
    est l'ensemble des nombres avec tels que PGCD(p, q) = 1 (auxquels il faut ajouter 0). Nous avons déjà tous les points de , la suite est là pour satisfaire la seconde condition. Son incrémentation permet de "sauter" les couples non irreductibles.



    Je vous remercie de m'avoir lu jusqu'ici ; et j'attends avec impatiente vos remarques et critiques.

    -----
    --Yankel Scialom

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  3. #2
    evariste_galois

    Re : Card(N) = Card(Q) = nf0

    Salut,

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    est l'ensemble des nombres avec tels que PGCD(p, q) = 1 (auxquels il faut ajouter 0).
    Que fais-tu des rationnels négatifs?
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  4. #3
    prgasp77

    Re : Card(N) = Card(Q) = nf0

    Erf ! je les ai oubliés !!!!!!


    Bon, je vais y revenir. Mais j'ai en tête une construction de Z à partir de N, donc ça devrait aller.
    --Yankel Scialom

  5. #4
    prgasp77

    Re : Card(N) = Card(Q) = nf0

    Voici, on garde les mêmes suites, mais on transforme f :


    Cette fois-ci ça fonctionne, non ?
    --Yankel Scialom

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    MMu

    Cool Re : Card(N) = Card(Q) = nf0

    En voici une autre :

  8. #6
    Médiat

    Re : Card(N) = Card(Q) = nf0

    La fonction qui à tout x de qui peut s'écrire de façon unique p/q avec p et q premiers entre eux fait correspondre : (p+q-1)(p+q-2)/2 + p est une injection (facile à démontrer par récurrence) de .

    Si on ajoute f(0) = 0 et une petite astuce il est facile de généraliser cette fonction à une injection de . Comme il est trivial de trouver une injection de ... cqfd

    PS es-tu le prgasp77 que j'ai connu ailleurs ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    prgasp77

    Re : Card(N) = Card(Q) = nf0

    Je me doutais bien qu'il y avait plus court, je vous remercie de m'en donner des exemples.

    PS : Oui, si tu es bien le Médiat (le Grand, l'Unique) de la tavèrne
    --Yankel Scialom

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