Principe de l'emboîtement des intervalles

[Andromede9]

Bonjour,
je dois montrer que le principe de l'emboîtement des intervalles implique l'existence d'un suprémum.

Ma démonstration ne me semble pas très fiable et solide: pouvez-vous m'aidez.
La voici:

Supposons un emboîtement d'intervalles noté [a_n,b_n] pour tout n appartenant à l'ensemble des naturels. Si b_n majore A={a₁, a₂, ..., a_n}, nous avons a_n<b_n.
Selon la définition de l'emboîtement des intervalles, il existe un réel x tel que l'intersection des intervalles est x, c'est à dire qu'il existe un x tel que a_n<ou= x <ou= b_n. Ainsi je montre la présence d'un suprémum x pour un ensemble non vide A majoré pas b_n.

Merci à vous si vous savez me conseiller.
-----

[invite2ac85754]

Pour montrer que la borne supérieure M d'une partie non vide et majorée A de R existe, il faut d'abord donner une méthode de construction d'un tel nombre M, puis, dans un second temps, démontrer que le nombre que l'on a construit existe. Pour bien commencer le problème, il faut chercher les moyens de construire un nombre que nous avons à disposition. Ici, il semble que notre moyen principal est le théorème des fermés enboîtés: si on parvient à construire une suite d'intervalles fermés emboîtés, alors on obtient un nombre x: c'est l'unique nombre qui dans tous les intervalles de notre suite.

En conclusion, ce qu'il faut chercher en premier lieu, c'est construire une suite d'intervalles fermés emboîtés. Voici comment on commence. On sait par hypothèse qu'il existe un nombre m tel que x<m ou x=m pour tout x dans A.
D'autre part, comme A n'est pas vide, on peut choisir un élément a de A. On pose a_0=a et b_0=m. On a ainsi un intervalle I_0=[a_0 ; b_0]. Pour construire les suivants, il faut penser à M (la borne supérieure que l'on veut construire) comme à un nombre dont on veut calculer la valeure approchée la meilleure possible. On remarque que si M existe, on a x<M ou x=M pour tout x dans A, et on aura aussi M<m ou M=m. en particulier si M existe, M est dans I_0. Pour construire la bonne suite d'intervalles fermés emboîtés, cela peut donc être une bonne idée de voir a_0 et b_0 comme des valeurs approchées de M. Je laisse la suite à un autre...

[Andromede9]

Merci beaucoup pour ton aide elle m'a eclairee sur certains points