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Petit problème de colle....



  1. #1
    verbatim74

    Question Petit problème de colle....


    ------

    Bonjour
    J'ai une colle de maths a rediger et je ne sais vraiment pas comment m'y prendre. Voici l'intitulé du sujet :



    Soit a,b,c dans R+* .Démontrer que les 3 assertions suivantes sont equivalentes :

    1) Il existe 3 points non alignés A, B, C appartenant au plan tels que BC =a , CA = b , AC=c (utiliser l'inégalité triangulaire pour les points)

    2) a<b+c , b<c+a et c<a+b

    3) |b-c|<a<b+c (utiliser Al Khashi ?)

    Je vous remercie si vous pouvez essayer de m'aider...
    Au plaisir de vous aider.JP

    -----

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  4. #2
    rvz

    Re : Petit problème de colle....

    Salut,

    Un seul mot : (ou deux, mais bon je ne suis pas matheux )
    Inégalité Triangulaire.
    Ca marche pour toutes les implications.
    __
    rvz

  5. #3
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    Ca marche effectivement pour les 2 premieres mais pas pour la 3eme ?
    1) equivaut à 2 => ok par IT
    2) equivaut 3 => ok
    mais 1) equivaut à 3 je vois pas comment faire ?
    Si on pouvait m'aider ca serait bien pour la redaction
    Ceci dit merci de ton aide

    JP

  6. #4
    indian58

    Re : Petit problème de colle....

    Citation Envoyé par verbatim74 Voir le message
    Ca marche effectivement pour les 2 premieres mais pas pour la 3eme ?
    1) equivaut à 2 => ok par IT
    2) equivaut 3 => ok
    JP
    Si je résume, tu as (1) <=> (2) et (2) <=> (3). La relation "<=>" étant clairement une relation d'équivalence (!!), par transitivité, tu as immédiatement (1) <=> (3).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    Comment ca par transitivité tu pourrai mexpliquer plus clairement ? Merci

  9. #6
    GuYem

    Re : Petit problème de colle....

    Tu as 1 <==> 3, en effet :

    On montre 1 => 3 : supposons 1, puisque 1 => 2, on a 2, et puisque 2 => 3, on a 3. Donc 1 => 3.

    Je te laisse montrer 3 => 1 de la même manière.


    Cet exercice me fait penser à un autre, avec des probas dedans : On prend un baton, on le casse aléatoirement en trois pièces. Plus mathématiquement, on tire deux nombres au hasard dans [0,1] suivant la loi uniforme sur [0,1].
    Quelle est la probabilité de pouvoir construire un triangle avec les trois bouts obtenus ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  11. #7
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    Oui merci
    Mais comment faire tu pour montrer que 1=> 3 puis 3 => 1 ?
    Je ne vois vraiment pas comment faire. Tu pourrais me donner une piste ?
    Ceci dit ton problème de proba est interesant, je m'y met de suite...
    JP

  12. #8
    blouseman

    Re : Petit problème de colle....

    Joli exercice de probas, si on note X le premier nombre tiré et Y le deuxième nombre tiré, la question devient:
    calculer P(Y-X <= 1/2) sachant que X et Y suivent des lois uniformes sur [0;1], et après si mes souvenirs sont bons, pour trouver la densité de Y-X, il faut prendre la convolée des densités de Y et de -Y, et ensuite le tour est joué, mais y-a-t-il plus simple?

  13. #9
    blouseman

    Re : Petit problème de colle....

    je voulais dire de Y et de -X...désolé

  14. #10
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    Merci de m'aiser pour ma colle sur la geometrie merci !

  15. #11
    indian58

    Re : Petit problème de colle....

    Citation Envoyé par verbatim74 Voir le message
    Comment ca par transitivité tu pourrai mexpliquer plus clairement ? Merci
    transitivité: si x est en relation avec y et y avec z, alors x est en relation avec z.

  16. #12
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    Ok capito
    Mais sans la transitivité, est -il possible de montrer que 2)<=> a 3) ???
    Car je pense que c'est cela que mon proff attend
    Merci de votre aide

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  18. #13
    kNz

    Re : Petit problème de colle....

    Citation Envoyé par verbatim74 Voir le message
    2) a<b+c , b<c+a et c<a+b

    3) |b-c|<a<b+c (utiliser Al Khashi ?)
    On suppose qu'il existe (a,b,c) dans R^3 tels que :
    a<b+c ; b<c+a ; c<a+b
    <=> a>b-c ; a>c-b ; a<b+c
    <=> a>|c-b| ; a<b+c
    <=> |c-b|<a<b+c

  19. #14
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    et pour le 1 <=> 2 et 3<=>1 ???
    Je dois vous avouer que c'est surement simple mais ca m'echappe totalement...
    Merci de m'aider

  20. #15
    GuYem

    Re : Petit problème de colle....

    Verbatim : pour ton problème d'équivalence, quand on demande de montrer que trois propositions (1), (2) et (3) sont équivalentes, on attend clairement que l'élève montre (1) => (2), puis (2) => (3), puis (3) => (1). On a ainsi montré l'équivalence en seulement trois implications. Si tu en fais plus, tu donnes l'impression de ne pas avoir compris le principe de l'équivalence.

    Après, si tu tiens absolument à démontrer toutes les implications posibles et imaginables pour t'entrainer, c'est bien ; mais un peu inutile.

    Pour blouseman qui a commencé à répondre à ma question de proba (qui pollue le fil, j'en suis conscient), tu n'as pas écrit les bonnes conditions sur X et Y pour pouvoir faire un triangle. C'est un peu plus compliqué que ça et ça fera surement appel à des probas conditionnelles.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  21. #16
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    Ok mais pour moi le principe de l'equivalence n'est pas le principe de l'implication
    Je croyais qu'il fallait montrer 1=>2 puis 2=> 1
    puis 2=> 3 puis 3=> 2 puis 1=> 3 puis 3=>1...

  22. #17
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Tu as 1 <==> 3, en effet :

    On montre 1 => 3 : supposons 1, puisque 1 => 2, on a 2, et puisque 2 => 3, on a 3. Donc 1 => 3.

    Je te laisse montrer 3 => 1 de la même manière.

    Comment faits tu pour montrer 1=> 3 ??
    On suppose 3 vrai. On n'a pas montrer que 3=> 2 puis que 2=> 1 donc on peut pas montrer que 3=> 1
    Ca marche ds un sens mais pas dans l'autre.
    Merci de me montrer ton raisonnement, je ne te suis pas.
    Cordialement

  23. #18
    GuYem

    Re : Petit problème de colle....

    Citation Envoyé par verbatim74 Voir le message
    Ok mais pour moi le principe de l'equivalence n'est pas le principe de l'implication
    Je croyais qu'il fallait montrer 1=>2 puis 2=> 1
    puis 2=> 3 puis 3=> 2 puis 1=> 3 puis 3=>1...

    Si tu fais cela, tu en fais beaucoup trop. Trois implications suffisent à montrer l'équivalence des trois propositions :
    (1) => (2)
    (2) => (3)
    (3) => (1)


    En effet, si tu as montré ces trois implications, tu peux montrer toutes les réciproques en "faisant le tour". Par exemple, si tu veux montrer (3) => (2), tu procèdes ainsi :
    Supposons (3). Puisque (3) => (1), alors (1) est vraie. Et puisque (1) => (2), alors (2) est vraie. Et donc (3) => (2).

    J'espère être clair.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  25. #19
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    Oui oui bien sur c'est clair pour montrer l'equivalence on montre dans un sens puis dans l'autre
    Mais je n'arrive pas a montrer que 3 => 1
    Tu vois comment faire ou pas ?

  26. #20
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    J'ai tenté avec Al Khashi mais comment montrer que si |b-c|<a<b+c => il existe 3 points non alignés A, B, C tels que BC=a, CA=b et AC= c ???
    Je ne voit pas comment faire.
    Et puis par une autre methode, montrer que 3=> 2 puis 2=>1 pour montrer que 3=> 1 me parait fastidieux.
    Vous en pensez quoi ?

    Merci de m'aider
    JP

  27. #21
    GuYem

    Re : Petit problème de colle....

    Citation Envoyé par verbatim74 Voir le message
    Oui oui bien sur c'est clair pour montrer l'equivalence on montre dans un sens puis dans l'autre
    Mais je n'arrive pas a montrer que 3 => 1
    Tu vois comment faire ou pas ?
    Ah d'accord. Je croyais, vu un message plsu tôt dans le topic que tu avais montré (1) <=> (2) et (2) <=> (3), auquel cas tu as fini, et tu en as même fait un peu trop.

    En fait j'ai trés rapidement lu la question, je laisse le soin à des géomètres plus assidus que moi de répondre.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  28. #22
    verbatim74

    Re : Petit problème de colle....

    J'ai trouvé plus ou moins la reponse
    En fait il faut noter B et C de coordonnées respectives (0,0) et (a,0)
    Montrer que A existe revient a montrer que A est a lintersection de 2 cercles : un de centre C et de rayon b et l'autre de centre B et de rayon c
    On trouve les equation de cercle assez facilement et on montrer que le systeme constitué de ces equations est non vide
    Cela prouve que A existe ( en ayant utiliser 3, car les coordonnées doivent etre positive et les distances aussi)
    Ensuite pour montrer que ce n'est pas aligné on montre que le cas d'egalité dans l'inégalité triangulaire n'est pas verifié ( A,B et C ; B,A et C ; B,C et A )
    Et par construction, tout vient tout seul : BC=a et comme A appartient au cercle de centre C et de rayon b et au cercle de centre B de rayon c alors AC=b et AB=c

    Voili voila voilou

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