Lesquels sont les plus nombreux ?

[Petithassane]

Les rationnels ou les irrationnels ?
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[invite78d2ef62]

Les rationnels ou les irrationnels ?

Si tu parles de nos contemporains, j'opte pour les seconds.

Mais je suppose que tu évoques un problème mathématique ?

[g_h]

Salut,

L'ensemble des rationnels est dénombrable (ça se montre assez facilement, si ça t'intéresse), tandis que l'ensemble des irrationnels est indénombrable.

En ce sens, il y a "plus" d'irrationnels que de rationnels

[invitec053041c]

Oui, plus d'irrationnels que de rationnels.
g_h, tu dis que les rationels sont dénombrables, ca veut donc dire qu'il y a autant de rationnels que d'entiers? (puisque dénombrabilité=>bijection avec N)
ou bien je me trompe?

[A voir en vidéo sur Futura]

[g_h]

Oui, plus d'irrationnels que de rationnels.
g_h, tu dis que les rationels sont dénombrables, ca veut donc dire qu'il y a autant de rationnels que d'entiers? (puisque dénombrabilité=>bijection avec N)
ou bien je me trompe?

Oui, c'est exactement ça, il y en a (cf. la théorie de Cantor)

Il est immédiat d'établir une injection de N sur Q, et il est "facile" (mais moins immédiat !) d'établir une surjection de N sur Q, d'où l'existence d'une bijection entre les 2

[ericcc]

Il est facile d'établir une bijection de NxN sur N, par exemple la fonction qui à (x,y) fait correspondre 2^x(2y+1) est bijective.
Ensuite il est aussi facile de faire une bijection entre N et Q

[invitec053041c]

Oui g_h, c'est bien ce que je me disais...ça paraît assez curieux , mais bon si la logique le veut, nous le voulons

[invite6b1e2c2e]

Ensuite il est aussi facile de faire une bijection entre N et Q

Salut,

Tu peux nous montrer comment tu fais ?
En fait, je n'en connais pas (je veux dire avec des formules explicites, sinon bien sûr il suffit de reprendre la preuve que les entiers se surjectent dans Q). Si on prend ton truc sur N^2, on répéte des éléments pour cause de facteurs communs.

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rvz

[ericcc]

Je voulais dire NxN et Q (chaque rationnel a une décomposition unique p/q)

[invite6b1e2c2e]

Justement. Je ne connais pas de bijection de N^2 dans N^2$ = {(p,q) avec p et q premiers entre eux }. D'ailleurs, je subodore que cet ensemble n'a pas vraiment d'expression simple autre que calculer le pgcd à chaque fois.
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rvz

[ericcc]

Voir ce lien :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable

[invite6b1e2c2e]

Ok, je dois dire que c'est très joli. J'avais jamais vu.

__
rvz

[invitec053041c]

Oua c'est classe ste formule... je savais qu'il y avait un moyen de compter les rationnels mais de là à avoir une formule...

[invite71b8e227]

moi j'aurais plus vu ca en terme de probabilité.

Par exemple si on considere qu'on a un nombre comme
1,21571....
Ca revient à faire des sortes de lancé de dés à neuf face, et la probabilité de tomber sur un enchainement periodique au niveau des décimales (c'est a dire de tomber sur un rationnel) est négligeable par rapport à la probabilité de tomber sur un irrationnel (pas de période). Après c'est peut être un peu simpliste comme raisonement C'était juste parceque je trouvais que la question "lesquels sont PLUS NOMBREUX" était un peu maladroite, au final la vrai question auxquels vous avez donné des réponse bien interréssente, ce serait "lesquels sont les plus probables?"

etienne3000

[invité576543]

Oua c'est classe ste formule... je savais qu'il y avait un moyen de compter les rationnels mais de là à avoir une formule...

Formule, c'est vite dit... Si c'est c'est à l'énumération par récurrence dont on parle, ce n'est pas exactement une formule. Déjà, il y a-t-il un algo plus rapide que la simple énumération pour connaître le rationnel de rang n? Et quelle complexité pour l'algo dans l'autre sens?

Cordialement,

[invité576543]

moi j'aurais plus vu ca en terme de probabilité.

Les probas sur les ensembles infinis, ce n'est pas simple, et même très technique et sujet à erreur! (Exemple le paradoxe de la proba de longueur d'une corde d'un cercle, voir là, ou plus technique là.)

Avec des mesures usuelles, la "probabilité" de Q vaut 0 et celle de R-Q vaut 1. Ca fait effectivement plus d'irrationnels que de rationnels

Cordialement,