jeu de boules
bonsoir,
j'ai une petite énigme qui m'a demandé un peu de réflexion je l'avoue, et j'aimerai vous la faire partager:
il y a 12 boules d'aspect identique
l'une de ces 12 boules a un poid différent des onze autres
on a le droit à 3 pesées à l'aide d'une balance à plateau
comment déterminer la boule différente?
sur ce bonne nuit!
Tres simple :
je presente comme cela : nombre de boules sur la plateau gauche/nombre de boules sur la plateau droit
6/6, on recupere le groupe de boules le plus lourd car la boule que l'on cherche en fait parti;
3/3, idem;
1/1 : si la boule que l'on cherche est l'une des deux, la balance nous l'indiquera, sinon, c'est la boule qui n'est pas sur la balance.
la simplicité te perdra!
qui a dit que la boule été plus lourde?
non non nooon ! la boule a un poid différent (c'est écris en gras en plus!)
Re : jeu de boules
qu'importe que la boule ait un poids different, de toutes les manieres le lot contenant la boule differente sera desequilibré (plus lourd ou moins lourd) par rapport au lot ne contenant que des boules identiques .
Donc sont resonnement est correcte tu vas pas pinailler pour un probleme de syntaxe
Alors là... y'a un GROS trou dans ton raisonnement !!Envoyé par thales
qu'importe que la boule ait un poids different, de toutes les manieres le lot contenant la boule differente sera desequilibré (plus lourd ou moins lourd) par rapport au lot ne contenant que des boules identiques .
Donc sont resonnement est correcte tu vas pas pinailler pour un probleme de syntaxe
Si la boule peut etre aussi bien plus legere que plus lourde, lequel des deux lots contient la boule differente ??? Si la balance penche a gauche ca peut etre aussi bien parce que la boule est plus lourde et se trouve a gauche, ou bien que la boule est plus legere et se trouve a droite.... non ?
Du coup peser les deux lots de 6 boules ne sert strictement a rien !!
qu'importe que la boule ait un poids different, de toutes les manieres le lot contenant la boule differente sera desequilibré (plus lourd ou moins lourd) par rapport au lot ne contenant que des boules identiques .Ca c'est du raisonnement
Bon en attendant je cherche.
je pense avoir trouvé :
on sépare les 12 boules en 4 groupes de 3 : A, B C et D
on prend A et B et on pèse.
1) si la balance ne penche pas, on a trouvé un "poids standard de 3 boules".
on reprend A qu'on pèse avec C, si la balance penche, alors C possède la boule différente. sinon c'est D qui la possède
on a alors pour la 3e pesée 3 boules, on pèse 1 d'elle contre 1 autre.
merde je crois que ya un truc qui va pas pour la derniè§re pesée. je m'arrete ici
En 4 pesées maximum, j'ai trouvé ceci :
On sépare les 12 boules en 3 groupes de 4, soit A, B et C
On compare A à B puis B à C (2 pesées). Le déséquilibre dira le groupe où se trouve la boule différente et aussi le signe de la différence (important).
Il reste donc 4 boules en cause, soit 1, 2, 3 et 4.
On compare 1 et 2. Si déséquilibre, c'est trouvé.
Sinon, on compare 3 et 4 et on trouve.
Donc 4 pesées maximum.
Je suis parti du principe qu'on n'avait pas de boîte de poids.
ah bein non je l'ai la réponse, c'est bien comme ça.
on sépare les 12 boules en 4 groupes de 3 : A, B C et D
on prend A et B et on pèse.
ici 2 possibilités
1) si la balance ne penche pas, on a trouvé un "poids standard de 3 boules".
on reprend A qu'on pèse avec C, si la balance penche, alors C possède la boule différente. sinon c'est D qui la possède. on sait aussi maintenant si la boule est plus lourde ou plus légère.
2) si la balnce penche, on sait que A ou B contient la boule.
on pèse alors A avec C et si ça penche alors A contient la boule, sinon c'est B. ici aussi on sait si la boule est plus lourde ou plus légère.
on a alors pour la 3e pesée 3 boules, on pèse 1 d'elle contre 1 autre.
si ça penche, en sachant si la boule unique est plus lourd ou moins lourde, on sait laquelle c'est. sinon si ça ne penche pas alors c'est la 3e.
voilààààààà
Olle : ça ne marche pas :
Si A=B et que A=C, tu sais que la boule de masse différente se trouve dans D, mais tu ne sais pas si elle est plus lourde ou plus légère... Donc pour la 3e pesée, avec 2 boules de D, on ne saura pas laquelle est anormale...
En attendant, je cherche.
ah ouais en effet dans ce cas ça marche pas. je suis quand même à 3 chance sur 4 d'y arriver
Voila la solution:
On partage les boules en 3 groupes A, B, C
on pese A et B si
A=B
donc la boule cherché est dans C
on prend deux boules de C = (C1,C2, C3) disant C1 et C2 on les pese si elles ont le meme poid alors C3 et la boule qu on cherche sinon on prend par exemple la plus lourde(C1 ou C2 peu importe ) et on la compare avec C3 si elles ont le meme poid C1=C3 alors C2 et la boule cherche sinon on sait que C1 plus lourde que C2 donc si elle plus lourde aussi que C3 alors C1 est notre boule (elle ne peut pas etre moins lourde que C3 car dans ce cas on aurai C2<C1<C3 donc deux boules au moin de poid different
si A>B ou (B>A ) c est la meme chose) on prend toujours le plus lourd disant A et on le compare avec C si
A=C alors on sait que notre boule et dans B et qu elle de taille légere que les autres car (B<A)
Si A>C alors la balle et dans A et on Sait qu elle plus lourde que les autres
A<C impossible
dans les deux cas on sera le groupe qui contient la boule differente et les caracteristique de notre boule (plus lourde ou plus leger)
et on a encore une Pese a faire donc ou prend pese deux boule du groupe choisi et sachant que notre boule serai lourde par exemple on la trouve
voila j esepere que c calire
sa me semble juste, bravo!
avec un peu de changement j'arrive maintenant à 5 chances sur 6 de la trouver :/ ah ya une réponse
ya un truc que je suis pas sur d'avoir compris, dans C ya bien 4 boules non ? et pas 3
Mais... dans un groupe il y a 4 boules, non? meme si on sait si elle est plus lourde ou plus legere, on ne peut pas la trouver en une pesee... en pesant 2 boules, il y a une chance sur 2 de la trouver.
Personnellement j'en suis arrivé au meme point que Olle.
Je crois qu'en faisant 4 groupes de 3 on y arrive
Ah non ça marche pas!
A oui, donc le truc de king_ae sa marche pas! C'est au moins certain que c'est possible?
en fait en recalculant correctement les probabilités, j'arrive toujours à 11 chance sur 12 de retrouver la boule différente.
m'enfin g appris à reconnaître que je ne sais pas tout
Quelques remarques générales à propos du problème:
* Si on sait que la boule différente est dans un ensemble de 4 boules, on peut la retrouver avec 2 pesées: on compare 2 boules. Si elles sont identiques, il suffit de comparer la première à une troisième boule. Si elles sont aussi identiques, c'est la dernière qui est différente. Sinon, c'est la 3ème.
Si les 2 premières sont différentes, il suffit encore de comparer la 1ère et la 3ème. Si elles sont identiques, c'est la 2ème qui est différente, sinon, c'est la première.
* Si on sait que la boule se trouve dans un ensemble de 3, et qu'on sait si elle est plus lourde ou moins lourde, il suffit d'une seule pesée.
Ceci étant précisé, la solution est "simple":
Dans un premier temps, on divise les boules en 3 lots de 4 (A, B et C).
La première pesée compare les lots A et B.
S'ils sont identiques, alors la boule différente est dans le lot C, qui contient 4 boules. On peut donc la déterminer en 2 pesées.
Sinon: on suppose que la balance penche du côté du lot A, c'est-à-dire que, si la boule différente appartient au lot A, alors elle est plus lourde. Si c'est au lot B, elle est plus légère.
Maintenant, il faut se ramener à un ensemble d'un maximum de 3 boules avec la seconde pesée.
Pour celà, on utilise, par exemple, 3 boules du lot A et 1 du lot B, d'un côté, et 3 boules du lot C et la dernière du lot A de l'autre.
Si ces deux ensembles sont identiques, ça signifie que la boule différente est une boule du lot B, et qu'elle est plus légère. Il suffit alors d'une pesée pour la retrouver.
Si la balance penche: à gauche (les 3 A et la B), on sait que c'est l'une des 3 A qui est plus lourde (si c'était la B, elle serait plus légère, et si c'était la A de droite, elle devrait être plus légère). On utilise la dernière pesée pour déterminer laquelle des 3.
Si la balance penche à droite, c'est que la boule B est plus légère, ou la boule A de droite plus lourde. Il suffit alors de comparer l'une des 2 à une boule de référence.
Voilà.
Geoffrey
Bien vu et astucieuse méthode, pendant que j'en trouvais une autre
même début, en divisant les 12 en A1 à A4, B1 à B4 et C1 à C4.
Pesons le groupe A et le groupe B : (A/B) si le résultat est :
A=B il faut chercher parmi C, cf la méthode de Geof...
A>B (A plus lourd que B) on effectue la pesée (A1B2B3/B1A2C1) : en fait, on enlève trois boules (A3, A4 et B4), on en inverse trois (A2, B2 et B3), et on ajoute une boule de référence (C)... (Ca revient aux groupes de 3 dont parle Geof...)
alors, si le résultat est :
A1B2B3=B1A2C1, c'est que la boule anormale fait partie des 3 enlevées : A3, A4 ou B4.
si A1B2B3<B1A2C1, il faut chercher parmi les boules inversées : B2, B3 et A2
et si A1B2B3>B1A2C1 il faut chercher parmi les deux boules qui n'ont pas changé de côté : A1 et B1...
En fait, ça revient tout à fait au même que la méthode de Geof, sauf que la seconde pesée ne fait intervenir que 3 boules de chaque côté. Et c'est ce que j'ai trouvé en tâtonnant, sans le raisonnement théorique et subtil de Géof : encore bravo!
Amitiés,
Squale
Tu as le mérite d'avoir cherché
J'avais rencontré ce problème il y a quelques années, et j'avais trouvé la solution à tâtons et en raisonnant avec un collègue.
Je me suis borné à retrouver cette solution sur la base de mes souvenirs.
Geoffrey
l'affaire est close bravo à geof et squale! et biensur à tous ceux qui ont brûlé des neurones dans cette histoire!
il existe effectivement plusieurs manières pour trouver; la mienne était celle squale.
tchô
Voila, pour confirmer tout ca.. encore une petite variante des reponses deja données
En images : http://perso.wanadoo.fr/math.15873/page3b.htm
j ai resolu le probleme avec 9 boule seulement
tres tres bien
Moi je suis a une chance sur douzeen fait en recalculant correctement les probabilités, j'arrive toujours à 11 chance sur 12 de retrouver la boule différente.
m'enfin g appris à reconnaître que je ne sais pas tout
Bonjour,
J'ai eu l'occasion de me pencher sur ce problème il y a peu, et je suis arrivé aux conclusions suivantes :
Soit on doit déterminer quelle est la boule différente en n pesées, et alors le nombre de boules maximum est donné par la formule (3n - 1)/2 donc en 3 pesées on peut déterminer la boule différente parmi 13 boules (pour s'en convaincre, il suffit de prendre la soution précédente en ne pesant jamais la 13 ième boule, et si les 3 pesées sont à l'équilibre, c'est la 13ième qui est différente.
Si on doit pouvoir déterminer si la boule est plus lourde ou plus légère, la formule devient (3n – 3)/2, c'est à dire une de moins que le cas précédent.
Si quelqu'un peut m'indiquer un générateur de PDF gratuit (ou si j'en trouve un ) je joindrai une démonstration dès que possible.
