De l'utilité des transformées

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je viens de lire un article relativement court sur la transformée de Laplace, et celui-ci faisait également référence à diverses autres transformées, comme par exemple plusieurs transformées de Fourier.

Mais ce que j'aimerais savoir, c'est à quoi sert réellement une transformée

Car une transformée, d'après ce que j'ai compris, associe une autre fonction à une fonction initiale par un simple calcul (principalement par le biai des intégrales d'après ce que j'ai vu).

Mais quelles propriétés a également cette fonction résultante ? Est-ce réellement spécifique à une seule transformée, ou ont-elles toutes une "fonction principale" identique ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur ce point ?

Merci d'avance
Phys2
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[invite3f53d719]

Un exemple simple: si tu prends un signal temporel (genre celui que te délivre un micro), ca fait des vagues plus ou moins régulières, enfin bref un signal parfaitement obscure tel quel. Tu fais la transformée de Fourier de ce signal, et tu obtient son spectre (l'intensité du signal en fonction de la fréquence). La tu peux y voir aisément ses caractéristiques: les fréquences présentes, ou pas, etc...

C'est un domaine assez vaste, on peut aussi les utiliser pour résoudre des systèmes d'équa-diff pour des systèmes complexes (cf transformée de Laplace), etc...

Eric

[invite3e5ede0a]

Selon les transformées utilisées, les applications diffèrent.

Généralement, l'utilisation de la transformation de Laplace permet de transformer des équations différentielles en équations affines, beaucoup plus simple à résoudre. Une fois la solution de l'équation affine obtenue, il suffit d'utiliser la transformation inverse pour retrouver la "vraie" solution.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_de_Laplace
http://fr.wikipedia.org/wiki/Applica...ifférentielles

On peut également résoudre des équations différentielles avec les transformées de fourier. Pour les signaux temporels, la transformées de fourier a également l'avantage de s'interpréter physiquement comme une décomposition : le signal temporel est décomposé en un continuum de fonction périodiques complexes, qui représentent les fréquences du signal temporel.

Il existe encore bien d'autre transformées (melin; etc...)

[invitec053041c]

Les transformées de Laplace permettent de résoudre des équations différentielles linéaire en se ramenant à une réduction de fractions rationnelles en éléments simples, notemment!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

par exemple, si tu dois résoudre:



tu transformes dans le monde de Laplace, y devient Y, la dérivée de y devient p.Y (p est la variable de Laplace).
est l'impulsion de Dirac, et sa transformée est 1 (t'as des tableaux de conversion).
Tu obtiens:


Et la transformée inverse de Laplace (toujours le tableau de conversions) te donne y(t)...
Ca peut paraître laborieux, car ici c'est du premier ordre, mais ça devient pratique dès qu'on monte dans les ordres.
Ca n'est quand même pas une révolution car dans le cas de Laplace, ou dans la résolution banale, il faut savoir scinder des polynômes, et ça devient dans chaque cas assez laborieux

NB: les conditions initiales de mon équa diff sont nulles ici

[Seirios]

OK merci à tous pour vos réponses

[invite31b5cbad]

Et, physiquement, avec la transformée de Fourier, quelle est la signification physique des fréquences NEGATIVES?

Merci!

[invite0e5af214]

Et, physiquement, avec la transformée de Fourier, quelle est la signification physique des fréquences NEGATIVES?

Voila une question que se pose tout le monde dès qu'on lui presente la transformée de Fourier.
A en croire les reponses souvent floues que m'ont donné même les plus savants de mes profs, j'ai l'impression que chacun à sa petite idée sur la question....
Tu devrais donc avoir plusieurs reponses.

Intuitivement voici ce que j'en ai compris :

Au sens mathématique : La transformée de Fourier est un simple calcul : sans unités, sans sens physique à priori, c'est en plus dans le cas général une fonction complexe, ce qui n'aide pas à l'interpretation physique. Elle n'a donc aucune restriction à être négative.

Au sens physique : Il est evident que si tu regardes n'importe quel signal à l'analyseur de spectre (gradué avec fréquence en abscisse et amplitude en ordonnée), tu ne verras rien dans les frequences négatives. MAIS si tu t'amuses à augmenter les fréquences de ton signal, donc decaler le spectre vers la droite de ton écran, tu t'appercevra que les fréquences que tu croyais négatives, donc inutiles, vont apparaitre sur la droite de l'écran. Où étaient-elles avant ?

Je crois qu'il faut se dire que le spectre d'un signal a des fréquences étalées de part et d'autre de sa fréquence centrale. Si cette fréquence centrale est nulle alors oui, un bout du spectre nous apparaitera négatif, et dans le monde physique, n'existera pas. Si la fréquence centrale est non-nulle, alors le spectre s'etalera des deux cotés.


Voila ma version des choses, maintenant je m'attend bien à ce que d'autres critiques ou rajoutent des choses, j'attend, ..., et je lirai avec attention ce qu'en pensent les autres.

Cordialement

[invite31b5cbad]

Merci pour ce début de réponse.

Oui, très intéressant, on touche même à l'existentiel pour moi

C'est dingue les réponses évasives et/ou imbitables auxquelles j'ai eu droit de la part de mes professeurs.

Donc si quelqu'un détient *LA* vérité, qu'il le dise !

[stefjm]

Et, physiquement, avec la transformée de Fourier, quelle est la signification physique des fréquences NEGATIVES?
Merci!

Leur signification appraît clairement dès qu'on fait de la modulation d'amplitude (à F) sans porteuse d'un sinus de fréquence f.
On obtient deux raies à F+f et F-f.
En l'absence de modulation F=0 (ou si F<f) ce serait très bizare que la raie à fréquence négative disparaisse!

Une version plus mathématique consiste à dire que
1/2 cos(2pi ft) + 1/2 cos(-2pi ft) = cos(2pi ft)
1/2 sin(2pi ft) - 1/2 sin(-2pi ft) = sin(2pi ft)
En maths, on aime bien les symétries!
D'où une demi raie de chaque coté.

JQSA

[invité576543]

En maths, on aime bien les symétries!

En incidente (parce que je ne suis pas sûr que ça aide à comprendre les fréquences négatives...), la symétrie sous-jacente à ce que tu présente ici est très profonde : c'est la symétrie entre i et -i, une symétrie fondamentale de C. De fait, toute formule vraie sur C doit rester vraie si on change i en -i.

On peut voir cela en disant que les deux "faces" d'un plan sont nécessairement équivalentes, que le sens direct est nécessairement équivalent au sens rétrograde.

Pour les fréquences, on peut s'amuser à le voir comme cela : le signe correspond au sens de rotation, et comme on peut voir aussi bien la rotation comme directe ou rétrograde en regardant le plan d'un côté ou de l'autre, en l'absence de choix de point de vue, faut prendre les deux signes... D'où ton découpage de cos (2pi ft).

Il y a plein d'autres manières de voir, mais il me semble que cela revient toujours à la symétrie i et -i, au simple fait que i n'est pas LA racine de -1, mais UNE racine de -1, le choix de laquelle étant nécessairement arbitraire. La symétrie i <-> -i est une symétrie de jauge, de groupe {Identité, conjugaison}...

JQSA

[stefjm]

En incidente (parce que je ne suis pas sûr que ça aide à comprendre les fréquences négatives...), la symétrie sous-jacente à ce que tu présente ici est très profonde : c'est la symétrie entre i et -i, une symétrie fondamentale de C. De fait, toute formule vraie sur C doit rester vraie si on change i en -i.

Exact. Je ne voulais pas parler de complexe; je me croyais sur électronique! (Suite à une recherche globale.)
[/quote]
JQSA : J'ai que ça.

[stefjm]

Mais ce que j'aimerais savoir, c'est à quoi sert réellement une transformée

Réponse tardive suite à relecture...

Coté temporel, la réponse d'un système linéaire est donnée par une convolution entre la réponse impulsionnelle du système et l'entrée. (C'est chiant à la main, facile avec un calculateur)

Coté transformée, la convolution temporelle devient un simple produit. C'est plus sympa pour la tête.