Bonjour à tous!
J'ai besoin d'aide pour un petit problème de suite convergente, je suis sûr d'avoir déjà fait cet exo, mais impossible de me rappeler comment on procède...
Alors voilà:
Soit f la fonction définie par x --> 1 + 1/x
P une suite de premier terme Po=1 et telle que Pn+1=f(Pn).
Montrer que cette suite converge.
Bon, bien évidemment cette suite converge (vers le nombre d'or), mais sinon...
Merci d'avance!
Jicé.
Salut,
une suite croissante majorée peut-être ?
Euh ben... la suite n'est pas croissante.
Bonjour,
tu peux remarquer que :
-
-est contractante sur
Puis... théorème du point fixe en ayant remarqué que :
équivaut à
On peut étudier la suite Pn-phi (phi est le nombre d'or)
Au passage :
On note
Alors
Notons
Ainsi on montre que le rapport de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d'or.
Tout d'abord merci pour vos réponses!
Ensuite, j'aimerais savoir comment tu montres que f est contractante sur [1;2]? Tu passes par la dérivée?
Enfin, qu'entends-tu par "théorème du point fixe"?
Rectification, j'ai montré que la fonction est contractante
Mais je ne vois en quoi le fait qu'elle soit contractante et avec un point fixe montre qu'elle est convergente...
Ah évidemment si tu ne connais pas le théorème du point fixe, tu ne peux pas procéder de cette manière.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_contractante
Ici tu peux vérifier à la main que la suite Vn=|Un-phi| est décroissante et minorée, donc converge. Tu montres que sa limite est 0.
