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Convergence d'une suite



  1. #1
    Jice92

    Convergence d'une suite


    ------

    Bonjour à tous!

    J'ai besoin d'aide pour un petit problème de suite convergente, je suis sûr d'avoir déjà fait cet exo, mais impossible de me rappeler comment on procède...

    Alors voilà:
    Soit f la fonction définie par x --> 1 + 1/x
    P une suite de premier terme Po=1 et telle que Pn+1=f(Pn).

    Montrer que cette suite converge.

    Bon, bien évidemment cette suite converge (vers le nombre d'or), mais sinon...


    Merci d'avance!
    Jicé.

    -----

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  4. #2
    alien49

    Re : Convergence d'une suite

    Salut,

    une suite croissante majorée peut-être ?

  5. #3
    Jice92

    Re : Convergence d'une suite

    Euh ben... la suite n'est pas croissante.

  6. #4
    Romain-des-Bois

    Re : Convergence d'une suite

    Bonjour,

    tu peux remarquer que :

    -

    - est contractante sur

    Puis... théorème du point fixe en ayant remarqué que :

    avec
    équivaut à .

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    ericcc

    Re : Convergence d'une suite

    On peut étudier la suite Pn-phi (phi est le nombre d'or)
    Dernière modification par ericcc ; 18/09/2009 à 17h31. Motif: grillé par Romain

  9. #6
    Romain-des-Bois

    Re : Convergence d'une suite

    Au passage :

    On note le -ème terme de la suite de Fibonacci définie par et et :


    Alors .
    Notons , on a alors :


    Ainsi on montre que le rapport de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d'or.
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 18/09/2009 à 17h34. Motif: Erreur dans F_0

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  11. #7
    Jice92

    Re : Convergence d'une suite

    Tout d'abord merci pour vos réponses!
    Ensuite, j'aimerais savoir comment tu montres que f est contractante sur [1;2]? Tu passes par la dérivée?

    Enfin, qu'entends-tu par "théorème du point fixe"?

  12. #8
    Jice92

    Re : Convergence d'une suite

    Rectification, j'ai montré que la fonction est contractante

  13. #9
    Jice92

    Re : Convergence d'une suite

    Mais je ne vois en quoi le fait qu'elle soit contractante et avec un point fixe montre qu'elle est convergente...

  14. #10
    Romain-des-Bois

    Re : Convergence d'une suite

    Ah évidemment si tu ne connais pas le théorème du point fixe, tu ne peux pas procéder de cette manière.

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_contractante

  15. #11
    ericcc

    Re : Convergence d'une suite

    Ici tu peux vérifier à la main que la suite Vn=|Un-phi| est décroissante et minorée, donc converge. Tu montres que sa limite est 0.

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