Probabilité d'être malade: 0.5 ou 0.99?

[invitee087c147]

Bonjour,
j'ai eu à mon contrôle de probabilités un exercice pas bien compliqué mais qui me laisse un peu perplexe:
Une maladie touche 1% d'une population. Le test de dépistage de cette maladie donne un résultat exact dans 99% des cas. On annonce à un patient qui vient de passer le test, que le résultat de celui-ci est positif.

Quelle est la probabilité pour que cette personne soit effectivement malade?

Ma prof de maths dit que cette probabilité est de 1/2, en effet: soit les évènements M: "être malade" et T: "test positif"
T= (M inter T) union ("M barre" inter T) désolé jsais pas faire les "inter" et les "union" ni les "barre"
(M inter T) et ("M barre" inter T) sont incompatibles donc
p(T)= p(M inter T) + p("M barre" inter T) soit

p(T)= p(M)*p(T/M) + p("M barre")*p(T/"M barre")

p(T)=0.01*0.99 + 0.99*0.01=2*0.0099 donc

p(M/T)= p(M inter T)/p(T) =0.01*0.99/0.0099*2=1/2

Seulement voilà moi j'ai tendance à résoudre l'exercice à la façon épicier, pour moi si le test est positif dans 99% des cas, lorsqu'on nous annonce que ce test est positif il l'est effectivement avec 99% de chances... Bref j'ai du mal à me faire à l'idée que les 2 évènements soient liés, et c'est plutôt l'expérience de tous les jours qui me pousse à penser ça: par exemple le SIDA touche moins d'1% de la population et lorsqu'on fait le test celui-ci est à peu près fiable à 99%, pourtant je n'ai pas l'impression qu'on ait une chance sur 2 d'être infecté mais plutôt 99% de chances ...Bref si vous pouviez m'expliquer ce serait sympa!
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[Gwyddon]

Salut,

Il faut s'entendre sur la définition de "donner un résultat exact"

Déjà au vu de la correction j'ai tendance à ne pas être d'accord : pour moi la proba de 99 % c'est p[(T quand M) union (nonT quand nonM)]...

[invite986312212]

salut,

cet exercice est un classique dans l'étude du théorème de Bayes. Et ta prof a raison. Même si le test a l'air plutôt bon (positif à 99% si la personne est réellement malade), pour une maladie rare, si on prend une personne au hasard et qu'on la teste positive, la proba qu'elle soit malade peut être faible.
Pour ce qui est du VIH, le fait est que les personnes qui font le test ont généralement des raisons de se croire infectées, et donc leur proba a priori est plus grande que 1%. Mais de toutes façons un médecin demandera toujours un second test en cas de premier test positif.

[ericcc]

Une manière de comprendre ce qui se passe : fais un arbre de probabilité.

Sur une population, 1% est malade -on la représente par une branche qui part vers le haut, et 99% saine-on la représente par une branche qui part vers le bas.
Si on prend la branche du haut (les malades) le test sera positif pour 99% et négatif pour 1%
Si on prend la branche du bas (les sains), le test sera positif pour 1% et négatif pour 99%
Donc sur une population donnée, le test sera positif avec une probabilité de 1%*99%+99%*1% soit P(T)= 2*1%*99%.
M et T sont indépendants, donc la probabilité de M si T est P(MetT)/P(T).

Donc P(M/T)=1/2 et ton prof a raison.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3b2a0f66]

Sur un grand chantier de construction, on doit pr´eparer 50 cylindres de b´eton.
Pour v´erifier la qualit´e du b´eton, 8 seront choisis au hasard parmi ces 50 cylindres et
seront test´es pour en v´erifier la r´esistance `a la compression. Le b´eton sera consid´er´e de
qualit´e acceptable si au moins 7 cylindres parmi les 8 pr´elev´es rencontrent la r´esistance
minimale exig´ee. Si parmi les 50 cylindres pr´epar´es, 8 sont d´efectueux quelle est la
probabilit´e que le b´eton soit consid´er´e comme acceptable ?
AIDEZ MOI SVP !! Merci