Petit coup de main

[inviteedb947f2]

J'ai besoin d'une confirmation sur ce critère :

Soit A un anneau.
Soit P une partie de A.

P est sous anneau de A lorsque :

P est stable par +
P est stable par X
1 (de A) appartient à P

Est-il complet ?

Merci
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[invite74530667]

il manque la propriété: "si a est dans P, alors -a est dans P"

un contre exemple serait de prendre les entiers naturels pour P dans A l'anneau des entiers relatifs.

on peut s'en passer en modifiant légèrement ce que tu as énnoncé:

P est stable par -
P est stable par X
1 (de A) appartient à P

[inviteedb947f2]

Merci encore un petit théorème a vérifier.

Soit A un corps non commutatif.
Soit B un ensemble.

Si il existe un isomorphisme de corps de A dans B, alors B est un corps non commutatif.

[invite74530667]

pour avoir un homomorphisme entre deux entités, il faut que ces deux entités soient de meme nature; de meme pour un isomorphisme. Or là, A est un anneau et B un ensemble. On ne peut donc pas parler d'isomorphisme.

cependant, une simple bijection (ensembliste) suffit pour fournir à B la structure d'anneau commutatif à l'ensemble B, et ce dernier une fois muni de cette structure est isomorphe à A par la bijection considérée: elle devient naturellement un isomorphisme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteedb947f2]

En fait, je cherche à montre que B est un corps.
J'ai A qui lui est un corps et une application f suivante :

f : B --> A

f(1B) = f(1A)

Soient x et y dans B.
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(xy) = f(x)f(y)

Est-ce que je peux conclure que B est un corps ?

[Médiat]

Je modifie ton post précédent pour tenir compte de l'énoncé (il existe un isomorphisme de corps de A dans B)








J'ai noté différemment les opérations dans A et B pour que ce soit clair, mais je ne le fait plus par la suite.

Or si est muni de deux opérations identiques :
et , l'application définie par
vérifie bien tes contraintes, mais B n'est pas un corps pour autant.

[inviteedb947f2]

Arf, ok je vois ou est le problème, mais il me semble qu'il existe des théoremes pour prouver que B est un corps.

Car il me semble avoir dans un de mes cours, que si on a un espace vectoriel E, et F un ensemble. Il suffit de trouver une application linéaire de E dans F pour prouver que F est un ev.

Je pensais pouvoir étendre ces notions au corps.
Comment puis-je faire ?
Me manque t'il des axiomes à vérifier ?

[Médiat]

Une première remarque : dans le post précédent j'ai repris ta liste de contraintes, je n'ai pas tenu compte que l'application f de A dans B est une bijection puisque pour transférer la structure de corps, un homomorphisme suffit.

Me manque t'il des axiomes à vérifier ?

Ajouter devrait suffire.

Il te suffit de vérifier qu'alors les axiomes de corps sont vérifiés sur B.

[inviteedb947f2]

Bien je comprend mieux désormais, je récapitule pour vérifier ma comprhension

Nous avons A un corps, et B un ensemble.
et f une application vérifiant les propriétés suivantes :









On peut conclure que B est un corps.

[invite986312212]

J'ai A qui lui est un corps et une application f suivante :

f : B --> A

f(1B) = f(1A)

Soient x et y dans B.
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(xy) = f(x)f(y)

Est-ce que je peux conclure que B est un corps ?

pour donner un sens à cet énoncé il faut supposer que B est déjà un anneau (pour avoir une adition et une multiplication). Mais manifestement il te manque une condition (prends B=Z et A=Q). Que se passe-t-il si on ajoute comme condition que f est bijective?

[inviteedb947f2]

En fait, le but est de prouver que B est un corps sans rien savoir sur lui en terme de structure, donc si je dois prouver que B est un anneau avant cela n'a pas plus beaucoup d'utilité.
Cependant, si je définit simplement une addition et une multiplication sur B, et que je montre la bijectivité sa pourrait fonctionner.

Dans ton cas, si on ajoute la bijectivité on a un probleme pour passer de Q dans Z

[invite986312212]

Dans ton cas, si on ajoute la bijectivité on a un probleme pour passer de Q dans Z

oui mais Z n'est pas un corps.

pour en revenir à ta question, si tu ne supposes aucune structure préalable sur B, je ne vois pas comment tu peux écrire f(x+y), x et y étant éléments de B.

au fait, c'est f:B-->A ou bien f:A-->B ?

[invite986312212]

je me permets d'interpréter ta question de la façon suivante:

A est un corps et B un ensemble quelconque, f est une injection f:B->A. Pour on pose , , etc. Est-ce que B est un corps? La réponse est non, B n'est qu'un sous-anneau de A (à prouver, d'ailleurs (?) )

Si on suppose que f:A->B est une injection et qu'on construit des lois sur de manière analogue, on peut se demander si on peut étendre ces lois à B tout entier et en faire une extension de A. La réponse est toujours non je pense. En effet, si on prend et f l'injection canonique, ça ne peut pas marcher pour des questions de dimension.

[inviteedb947f2]

oui mais Z n'est pas un corps.

pour en revenir à ta question, si tu ne supposes aucune structure préalable sur B, je ne vois pas comment tu peux écrire f(x+y), x et y étant éléments de B.

au fait, c'est f:B-->A ou bien f:A-->B ?

En fait, je définis une addition et une multiplication, mais je ne sais rien sur B muni de ces lois en terme de groupe, anneau corps etc...

au fait, c'est f:B-->A ou bien f:A-->B ?

c'est f de B --> A, mais on peut la supposer bijective dès le départ,

je me permets d'interpréter ta question de la façon suivante:

A est un corps et B un ensemble quelconque, f est une injection f:B->A. Pour on pose , , etc. Est-ce que B est un corps? La réponse est non, B n'est qu'un sous-anneau de A (à prouver, d'ailleurs (?) )

Si on suppose que f:A->B est une injection et qu'on construit des lois sur de manière analogue, on peut se demander si on peut étendre ces lois à B tout entier et en faire une extension de A. La réponse est toujours non je pense. En effet, si on prend et f l'injection canonique, ça ne peut pas marcher pour des questions de dimension.

En réalité, j'essaye de rpouver que l'ensemble des quaternions est un corps (non commutatif), en considérant d'abord l'écriture matricielle des quaternions dans un matrice 4x4.
Ensuite, je trouve une bijection qui vérifie les propriétés précédentes de l'ensemble des quaternions dans l'ensemble de leur ecriture matricielle.

Et je pensais pouvoir en déduire que H est un corps.
H étant une quadruplet de réel muni des lois + et x particulieres.

[invite74530667]

Non mais c'est la bijection f qui fournit à B sa structure de corps, à partir de la structure de corps de A.
pour x,y dans B, on définit + dans B en posant: x + y = f(f^(-1)(x)+f^(-1)y)
de meme pour la multiplication, de meme que pour 0B=f(0A) et 1B=f(1A)

[Médiat]

Je n'avais pas compris parfaitement ton problème, en fait tu peux utiliser le résultat suivant :

Soit un corps, et un ensemble muni de 2 lois de composition. Soit f une injection vérifiant les contraintes suivantes



alors est isomorphe à c'est à dire que c'est le même corps (on ajoute en général "à isomorphisme près"), c'est à dire vérifie les mêmes formules.

[inviteedb947f2]

Voilà Médiat, c'est cela que j'attendais. (J'essaierai d'être plus clair la prochaine fois)

Un grand merci à tous pour vos interventions, car j'avais besoin d'une confirmation sur ce travail que j'ai réalisé pour mon TIPE que je doit rendre vendredi. D'où l'importance et l'urgence.

Encore merci